Giáo trình Hàm Chỉnh hình

85 trang huongle 4250

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Hàm Chỉnh hình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_ham_chinh_hinh.pdf

Nội dung text: Giáo trình Hàm Chỉnh hình

Hàm chỉnh hình
Chương 2. Hàm chỉnh hình Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 105-187. Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Hàm khả vi, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Hàm Jukovski, Đẳng cấu. . Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
Chu.o.ng 2 H`amchı’nh h`ınh 2.1 H`amkha’ vi 106 2.1.1 H`am R2 - kha’ vi 106 . . 2.1.2 D- a.o h`amtheo phuong 108 2.1.3 H`am C - kha’ vi 110 . 2 2.1.4 Mˆo´i liˆenhˆe. gi˜ua C - kha’ vi v`a R - kha’ vi . . . . . 114 2.1.5 H`amchı’nhh`ınh 115 2.1.6 Khˆonggian c´ach`amchı’nhh`ınh 121 . 2.2 Mˆo.tsˆo´ h`amchı’nh h`ınhso cˆa´p 122 2.2.1 D- ath´u.c v`ah`amh˜u.uty’ 122 √ 2.2.2 H`am w = zn v`a z = n w, n ∈ N 122 2.2.3 H`am ez 124 2.2.4 H`amlˆogarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.2.5 H`aml˜uyth`u.a zα, α ∈ R 130 2.2.6 C´ach`amso. cˆa´pkh´ac 131 2.2.7 Nh´anhchı’nh h`ınhcu’a h`amda tri. 134 2.3 H`amchı’nh h`ınhv`a´anhxa. ba’o gi´ac . . . . . . . 138
106 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh 2.3.1 Y´ ngh˜ıah`ınhho.ccu’a acgumen cu’ada.o h`am . . . 138 2.3.2 Y´ ngh˜ıah`ınhho.ccu’a mˆodun da.o h`am. . . . . . . 140 2.3.3 Anh´ xa. ba’ogi´ac 141 2.3.4 Anh´ xa. liˆentu. c v`a´anhxa. chı’nh h`ınh . . . . . . . 143 2.4 C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 146 2.4.1 D- ˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´nt´ınh 147 z 2.4.2 Anh´ xa. w = e v`a z = log w 160 2.4.3 H`amJukovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2.4.4 C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´pkh´ac 172 2.4.5 Mˆo.tsˆo´ v´ıdu. 175 2.5 B`aitˆa. p 183 . . . . Su. thu he.ptˆa.pho. p c´ach`ambiˆe´nph´ucb˘a`ng diˆe`ukiˆe.n C - kha’ vi s˜edua . . dˆe´nl´op c´ach`amchı’nh h`ınh.D.inh ngh˜ıat´ınh C - kha’ vi cu’a h`ambiˆe´nph´uc . . . . . . s˜eduo. c tr`ınhb`ayho`anto`antuong tu. nhu d.inh ngh˜ıat´ınhkha’ vi trong gia’i . . . t´ıch thu. c. Tuy c´osu. “giˆo´ng nhau” bˆe` ngo`aid´o,gi˜ua hai kh´ainiˆe.m n`aytˆo`n . . . . ta.inh˜ung su. kh´acnhau rˆa´tcˆo´tyˆe´u m`ata s˜ethˆa´y r˜otrong chuong II n`ay. 2.1 H`amkha’ vi 2.1.1 H`am R2 - kha’ vi . 2 . . Gia’ su’ D l`amiˆe`ncu’am˘a.t ph˘a’ng R v`a f(x, y) l`ah`amgi´atri. thu. c ho˘a.cph´uc x´acd.inh trong D, z0 = x0 + iy0 ∈ D. Ta c´od.inh ngh˜ıasau dˆay. . . 2 D- .inh ngh˜ıa2.1.1. H`am f duo. cgo.il`aR - kha’ vi ta.idiˆe’m(x0,y0) ∈ D nˆe´u . . tˆo`nta.i h`amtuyˆe´n t´ınh Ah + Bk cu’a c´acbiˆe´n thu. c h v`a k sao cho v´oi h v`a . k du’ b´esˆo´ gia cu’a f tho’a m˜anhˆe. th´uc f(x0 + h, y0 + k) − f(x0,y0)=Ah + Bk + ε(h, k)ρ,
2.1. H`amkha’ vi 107 √ . . 2 2 trong d´o A, B thu. c ho˘a.cph´uc, ρ = h + k v`a ε(h, k) → 0 khi ρ → 0. 2 Nˆe´u f l`ah`am R - kha’ vi ta.idiˆe’m z0 = x0 + iy0 ∈ D th`ıc´ach˘a`ng sˆo´ A . . . . . . . v`a B (thu. c ho˘a.cph´uc) duo. c x´acd.inh duy nhˆa´t v`atuong ´ung b˘a`ng ∂f ∂f A = (x ,y ),B= (x ,y ) ∂x 0 0 ∂y 0 0 v`abiˆe’uth´u.c ∂f ∂f df = (x ,y )h + (x ,y )k (2.1) ∂x 0 0 ∂y 0 0 . . duo. cgo.il`avi phˆan cu’a h`am f ta.idiˆe’m(x0,y0). . . B˘a`ng c´ach su’ du. ng k´yhiˆe.u c´ot´ınhchˆa´t truyˆe`n thˆo´ng dˆo´iv´oi h v`a k: h = dx, k = dy,t`u. (2.1) ta c´o ∂f ∂f df = (x ,y )dx + (x ,y )dy. ∂x 0 0 ∂y 0 0 . Ta lu u´yr˘a`ng nˆe´u c´acda.o h`amriˆengtˆo`nta.i trong mˆo.t lˆancˆa.n n`aod´o 2 cu’adiˆe’m(x0,y0) v`aliˆentu.cta.idiˆe’mˆa´yth`ıf l`ah`am R - kha’ vi ta.idiˆe’m . . d´o. H`am f c´oc´acda.o h`amriˆengliˆen tu.c trong miˆe`n D duo. cgo.il`akha’ vi liˆentu. c trong miˆ`end´o. Bˆaygi`o. ta x´etvi phˆan ∂f ∂f df = dx + dy. (2.2) ∂x ∂y Dˆo´iv´o.i c´ach`am z = x + iy v`a z = x − iy ta c´o dz = dx + idy, dz = dx − idy v`ado d´o 1 1 dx = (dz + dz),dy= (dz − dz). (2.3) 2 2i . . . Thˆe´ (2.3) v`ao(2.2) ta thu duo. chˆe. th´uc 1 ∂f ∂f 1 ∂f ∂f df = − i dz + + i dz. z ∂x ∂y 2 ∂x ∂y
108 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh B˘a`ng c´ach d˘a.t ∂f 1 ∂f ∂f ∂f 1 ∂f ∂f = − i , = + i (2.4) ∂z 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂x ∂y ta c´o ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f = + , = i − ∂x ∂z ∂z ∂y ∂z ∂z . 2 . . v`ac´othˆe’ viˆe´tbiˆe’uth´uc vi phˆancu’a h`am R - kha’ vi du´o ida.ng ∂f ∂f df = dz + · dz. (2.5) ∂z ∂z 2 D- .inh l´y2.1.1. Ph´epbiˆe’udiˆe˜n vi phˆan(2.5) cu’a h`am R - kha’ vi f l`aduy nhˆa´t, t´u.cl`anˆe´uc´o ∂f ∂f df = Adz + Bdz th`ı A = ; B = · ∂x ∂z Ch´u.ng minh. V`ı dz = dx + idy, dz = dx − idy nˆen df =(A + B)dx + i(A − B)dy. . . . T`u d´othuduo. c ∂f ∂f A + B = ; i(A − B)= · ∂x ∂y . . . . . Gia’ihˆe. phuong tr`ınhn`ayta thu duo. cdiˆe`u pha’ich´ung minh. . . 2.1.2 D- a.o h`amtheo phuong . 2 Gia’ su’ f(z) l`ah`am R - kha’ vi ta.idiˆe’m z0 ∈ D v`a∆f l`asˆo´ gia cu’a n´ota.i . . iα diˆe’m z0 u´ng v´oi∆z =∆re . ∆f Ta th`anhlˆapty’ sˆo´ v`ax´et gi´o.ihancu’a n´okhi ∆z → 0 sao cho . ∆z . lim α = lim (arg ∆z)=ϕ ∆z→0 ∆z→0 . . trong d´o ϕ l`amˆo.tsˆo´ cˆo´ d.inh cho tru´oc.
2.1. H`amkha’ vi 109 . ∆f D- .inh ngh˜ıa2.1.2. Gi´oiha.ncu’aty’ sˆo´ khi ∆z → 0m`aϕ = lim (arg∆z) ∆z ∆z→0 . . . . duo. cgo.il`ada. o h`amcu’a h`am f theo phuong ϕ ta.idiˆe’m z0. . . . . ∂f . Da.o h`amtheo phuong ϕ duo. ck´yhiˆe.ul`a v`anhu vˆa.y ∂zϕ ∂f ∆f = lim · ∂zϕ ∆z ϕ=const ∆z→0 Ta c´od.inh l´ysau dˆay: . 2 . D- .inh l´y2.1.2. Gia’ su’ f l`ah`am R - kha’ vi. Khi d´otˆa. pho. p c´acgi´atri. . . . . . . . da. o h`amtheo phuong ta. idiˆe’m z0 cho tru´o clˆa. p th`anhdu`o ng tr`onv´oi tˆam ∂f ∂f ’ ` ta. idiˆem v`ab´ank´ınh b˘ang . ∂z ∂z Ch´u.ng minh. Theo gia’ thiˆe´t ta c´o f l`ah`am R2 - kha’ vi, nˆen ∂f ∂f ∆f = ∆z + ∆z + o(∆z), (2.6) ∂z ∂z o(∆z) trong d´olim = 0 khi ∆z → 0. Do d´o ∆z ∆f ∂f ∂f = + e−2iα + ε(∆z), ∆z ∂z ∂z o(∆z) trong d´o ε(∆z)= , v`ata thu du.o.c ∆z . ∂f ∆f ∂f ∂f = lim = + e−2iϕ. (2.7) ∂zϕ ∆z ∂z ∂z . . Cˆongth´uc (2.7) ch´ung to’ r˘a`ng c´acgi´atri. da.o h`amcu’a h`am f theo ∂f phu.o.ng taidiˆe’m z lˆa´pd`ˆaydu.`o.ng tr`onv´o.i tˆamtaidiˆe’m v`ab´ank´ınh . 0 . ∂z ∂f ` b˘ang . ∂z . . . . . . Tru `o ng ho. pd˘a.cbiˆe.t quan tro.ng l`atru`ong ho. p khi da.o h`amtheo mo.i . . . . phuong tr`ung nhau. Khi d´o, du`o ng tr`ond˜a n´oitrong d.inh l´y 2.1.2 s˜esuy ∂f biˆe´n th`anhmˆotdiˆe’m (z ). . ∂z 0
110 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh 2.1.3 H`am C - kha’ vi . . . Gia’ su’ D l`amiˆe`ncu’am˘a.t ph˘a’ng ph´uc C v`a f l`ah`ambiˆe´nph´uc z = x + iy x´acd.inh trong D.Tac´od.inh ngh˜ıaquan tro.ng sau dˆay: - . . D.inh ngh˜ıa2.1.3. H`am f duo. cgo.il`aC - kha’ vi ta.idiˆe’m z0 ∈ D nˆe´utˆo`n . ta.i gi´oiha.n f(z + h) − f(z ) lim 0 0 h → 0 h h =06 . v`ata n´oir˘a`ng h`am f c´oda. o h`amtheo biˆe´nph´uc ta.idiˆe’m z0 v`ak´yhiˆe.ul`a df f 0(z )hay (z ): 0 dz 0 0 df (z0) f(z0 + h) − f(z0) f (z0)= = lim · (2.8) dz h → 0 h h =06 . . D.inh ngh˜ıa2.1.3 d`oi ho’ir˘a`ng gi´oiha.n (2.8) pha’itˆo`nta.idˆo´iv´oi mo. i c´ach . . cho z dˆa`ndˆe´n z0. N´oich´ınhx´achon, hˆe. th´uc (2.8) c´ongh˜ıar˘a`ng: ∀ ε>0, ∃ δ = δ(ε) > 0 sao cho khi 0 < |h| <δth`ıbˆa´td˘a’ng th´u.c − f(z0 + h) f(z0) 0 − f (z0) <ε (2.9) h . . . . duo. c tho’a m˜an.Nhu vˆa.ytad`oiho’ir˘a`ng khi h → 0(t´ucl`az → z0) theo bˆa´t c´u. du.`o.ng n`ao ty’ sˆo´ f(z0 + h) − f(z0) h . . pha’idˆa` nt´oic`ung mˆo.t gi´oiha.n. . . T`u hˆe. th´uc (2.9) c˜ung suy ra r˘a`ng nˆe´u h`am f(z) c´oda. o h`amta. idiˆe’m z0 . . th`ın´oliˆen tu. cta. idiˆe’md´o. Diˆe`u kh˘a’ng d.inh nguo. cla.i l`akhˆongdung.´ . . T`u d.inh ngh˜ıada.o h`am(2.8) v`ac´act´ınhchˆa´tcu’a gi´oiha.n trong miˆe`n . . . . ph´uc suy r˘a`ng c´acquy t˘a´ccoba’ndˆe ’ t´ınhda.o h`amcu’atˆo’ng, t´ıch v`athuong
2.1. H`amkha’ vi 111 . . . . . cu’a hai h`am. cu’a h`amho. p v`ah`amnguo. cdˆo´iv´oi c´ach`ambiˆe´n thu. cd`ˆe u . . . . duo. cba’o to`andˆo´iv´oi c´ach`ambiˆe´nph´uc. . . Bˆaygi`o ta chuyˆe’n sang x´et vˆa´nd`ˆe tu. nhiˆenl`a:t´ınh C - kha’ vi d˜anˆeu tu.o.ng ´u.ng v´o.i t´ınhchˆa´tdo.n gia’n n`aocu’a c´ach`am u(x, y)v`av(x, y) l`aphˆa` n . thu. c v`aphˆa` na’ocu’a h`am f(z). . D- .inh l´y2.1.3. Gia’ su’ h`am f(z)=u(x, y)+iv(x, y) l`a C - kha’ vi ta. idiˆe’m z = x + iy. Khi d´ota. idiˆe’m (x, y) h`am u(x, y) v`a v(x, y) c´oc´acda. o h`amriˆeng theo biˆe´n x v`a y tho’a m˜andiˆe`ukiˆe. n ∂u ∂v = , ∂x ∂y (2.10) ∂u ∂v = − · ∂y ∂x . . . C´achˆe. th´uc (2.10) duo. cgo. i l`ac´acdiˆe`ukiˆe. n Cauchy - Riemann. . . Ch´ung minh. Gia’ su’ h`am w = f(x) x´acd.inh trong miˆe`n D ⊂ C v`ac´oda.o h`amta.idiˆe’m z ∈ D: f(z +∆z) − f(z) ∆w f 0(z) = lim = lim · (2.11) ∆z→0 ∆z ∆z→0 ∆z . . . Nhu vˆa.yv´oimo.i c´ach cho ∆z =∆x + i∆y dˆa` ndˆe´n 0 gi´oiha.n (2.11) pha’i 0 . tˆo`nta.iv`ad`ˆe ub˘a`ng mˆo.t gi´atri. l`a f (z). Do d´o gi´oiha.nˆa´y pha’itˆo`nta.i trong . . . hai tru`ong ho. p riˆengsau a) ∆z =∆x + i0=∆x v`a∆x → 0. b) ∆z =0+i∆y = i∆y v`a∆y → 0. . . . . Trong tru`ong ho. pth´u nhˆa´t ta c´o u(x +∆x, y) − u(x, y) v(x +∆x, y) − v(x, y) f 0(z) = lim h + i i ∆x→0 ∆x ∆x u(x +∆x, y) − u(x, y) v(x +∆x, y) − v(x, y) = lim + i lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∂u ∂v = (x, y)+i (x, y). (2.12) ∂x ∂x
112 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . . . Trong tru`o ng ho. pth´u hai: u(x, y +∆y) − u(x, y) v(x, y +∆y) − v(x, y) f 0(z) = lim h + i i ∆y→0 i∆y i∆y u(x, y +∆y) − u(x, y) v(x, y +∆y) − v(x, y) = lim + lim ∆y→0 i∆y ∆y→0 ∆y ∂u ∂v = −i (x, y)+ (x, y). (2.13) ∂y ∂y . . . T`u (2.12) v`a(2.13) ta thu duo. c ∂u ∂v =  ∂u ∂v ∂v ∂u ∂x ∂y  + i = − i ⇔  ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂v = −  ∂y ∂x . . . D.inh l´yduo. cch´ung minh. . . . . . . R˜or`angl`ac´achˆe. qua’ thu duo. ct`u t´ınh C - kha’ vi l `a ˆa´ntuo. ng hon nhiˆe`u . . . . so v´oic´achˆe. qua’ thu duo. ct`u t´ınh C -liˆen tu. c. Ngo`aiviˆe.c c´ach`am u(x, y) . v`a v(x, y) c´oc´acda.o h`amriˆengcˆa´p 1, c´acda.o h`amn`ayc`onpha’i liˆenhˆe. v´oi nhau bo’.i c´acphu.o.ng tr`ınhvi phˆan(2.10). . Nhu vˆa.y, thˆa.mch´ınˆe´u u(x, y)v`av(x, y) c´oc´acda.o h`amriˆengcˆa´p1th`ı n´oichung h`am u + iv khˆongpha’i l`ah`amkha’ vi cu’a z. . . T`u d´o, c´achˆe. th´uc Cauchy - Riemann (2.10) lˆa.p th`anh diˆe`ukiˆe. ncˆa`n dˆe ’ h`am f(z)l`aC - kha’ vi. Tuy nhiˆend´o khˆongpha’il`adiˆe`ukiˆe.ndu’.Tax´et mˆo.t v`aiv´ıdu Ta x´eth`am f(z)=p|xy|. H`amn`aytriˆe.t tiˆeutrˆenca’ hai tru.c v`ado d´o khi z = 0 ta c´o ∂u ∂u ∂v ∂v = = = =0 ∂x ∂y ∂x ∂y . v`adiˆe`ukiˆe.n Cauchy - Riemann tho’a m˜an.Nhung h`am f(z) khˆong C kha’ vi f(z) p|xy| taidiˆe’m z = 0. Thˆatvˆay, ta c´o = v`anˆe´u x = αr, y = βr trong . . . z x + iy p|αβ| d´o α, β l`anh˜u.ng h˘a`ng sˆo´ c`on r>0th`ıhˆeth´u.cd´odˆa` nt´o.i khi r → 0. . α + iβ . . Nhu vˆa.y gi´oiha.n khˆongduy nhˆa´t v`ah`amkhˆong C - kha’ vi.
2.1. H`amkha’ vi 113 . V´ıdu. n`aych´ung to’ r˘a`ng h`am f(z) c´othˆe’ khˆong C - kha’ vi nˆe´uhˆe. ty’ sˆo´ f(z) − f(z0) . . . dˆa` ndˆe´n gi´oiha.ndo.c theo hai du`ong th˘a’ng vuˆongg´oc.V`an´oi z − z0 . chung, h`am f c´othˆe’ khˆong C - kha’ vi cho d`uty’ sˆo´ trˆendˆa` ndˆe´n gi´oiha.n . . . theo mˆo.tl´opc´acdu`o ng d˘a.cbiˆe.t n`aod´o.Ch˘a’ng ha.n, ta x´et h`am xy2(x + iy)  nˆe´u z =06 ,  4 4 f(z)= x + y 0nˆe´u z =0.  f(z) − f(0) Dˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng lim =0nˆe´u z → 0doc theo bˆa´tc´u. du.`o.ng z . . . . 2 th˘a’ng n`aoqua gˆo´cto.adˆo Nhung trˆendu`ong cong x = y ta c´o f(z) − f(0) y4 1 = = · z y4 + y4 2 Do d´o h`am f(z) khˆong C - kha’ vi ta.idiˆe’m z =0. . C´achˆe. th´uc (2.10) s˜el`adiˆe`ukiˆe.ndu’ dˆe ’ f(z)l`aC - kha’ vi nˆe´u gia’ thiˆe´t thˆemr˘a`ng ca’ bˆo´nda.o h`amriˆengcˆa´p1cu’a h`am u(x, y)v`av(x, y)d`ˆe utˆo`nta.i trong lˆancˆa.ndiˆe’m(x, y) v`aliˆen tu.cta.idiˆe’m(x, y). Ta c´o D- .inh l´y2.1.4. Nˆe´uta. idiˆe’m (x, y) c´ach`am u(x, y) v`a v(x, y) c´oc´acda. o h`amriˆeng liˆen tu. c tho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe. n Cauchy - Riemann th`ı h`ambiˆe´n . ph´uc f(z)=u + iv c´oda. o h`amta. idiˆe’m z = x + iy. . . Ch´ung minh. Gia’ su’ c´ach`am u v`a v c´oc´acda.o h`amriˆengliˆentu.cta.idiˆe’m . . . . (x, y). Khi d´o u v`a v kha’ vi ta.idiˆe’md´o, t´uc l`asˆo´ gia ∆u v`a∆v tuong ´ung . . . v´oi c´acsˆo´ gia ∆x v`a∆y c´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´oida.ng ∂u ∂u ∆u = u(x +∆x, y +∆y) − u(x, y)= ∆x + ∆y + o (ρ),ρ→ 0 ∂x ∂y 1 ∂v ∂v ∆v = v(x +∆x, y +∆y) − v(x, y)= ∆x + ∆y + o (ρ),ρ→ 0 ∂x ∂y 2 2 2 . trong d´o ρ = |∆z| = p∆x +∆y , o1(ρ)v`ao2(ρ)(ρ → 0) l`anh˜ung vˆoc`ung b´ecˆa´p cao ho.n so v´o.i ρ,t´u.cl`a o (ρ) lim j =0,j=1, 2. ρ→0 ρ
114 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . Do d´o, nˆe´uluu´yr˘a`ng o1(ρ)+io2(ρ)=o(ρ)(ρ → 0) ta c´o ∂u ∂u ∂v ∂v ∆x + ∆y + i ∆x + ∆y ∆f ∆u + i∆v ∂x ∂y ∂x ∂y o(ρ) = = + ∆z ∆x + i∆y ∆x + i∆y ∆z ∂u ∂v (∆x + i∆y)+ (−∆y + i∆x) o(ρ) ρ = ∂x ∂x + · ∆x + i∆y ρ ∆z ∂u ∂v o(ρ) ρ = + i + · · ∂x ∂x ρ ∆z ρ ρ o(ρ) . ` V`ı = = 1 v`alim =0nˆen t`u d´o suy r˘ang ∆z |∆z| ρ→0 ρ ∆f ∂u ∂v lim = + i ∆z→0 ∆z ∂x ∂x ∂u ∂v t´u.c l`ataidiˆe’m z h`am f c´odao h`am f 0(z)= + i · . . ∂x ∂x . 2 2.1.4 Mˆo´iliˆenhˆe. gi˜ua C - kha’ vi v`a R - kha’ vi . . C´acdiˆe`ukiˆe.n Cauchy - Riemann (2.10) c´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´oida.ng go.n g`ang . . . honnˆe´u ta su’ du. ng kh´ainiˆe.mda.o h`amh`ınhth´uc trong 1. v`a2. . T`u d.inh l´y2.1.2 suy ra r˘a`ng nˆe´u f l`ah`am C - kha’ vi ta.idiˆe’m z0 ∈ D th`ı ∂f dao h`amtheo moiphu.o.ng taidiˆe’md´od`ˆe utr`ung nhau v`ab˘a`ng · . . . ∂z Ch´ınh x´acho.n ta c´o 2 D- .inh l´y2.1.5. H`am R - kha’ vi f trong miˆ`en D l`ah`am C - kha’ vi trong miˆe`nd´okhi v`achı’ khi n´otho’a m˜andiˆe`ukiˆe. n ∂f =0. (2.14) ∂z . . Ch´ung minh. 1. Gia’ su’ f l`ah`am C - kha’ vi. Khi d´o,theo d.inh ngh˜ıa2.1.3 . . . gi´oiha.n (2.8) tˆo`nta.i khˆongphu. thuˆo.c v`aophuong ph´apdˆa` n∆z dˆe´n 0, v`a ta c´o 0 ∆f = f (z0)∆z + ε(∆z),
2.1. H`amkha’ vi 115 trong d´o lim ε(∆z)=0.T`u. d´or´ut ra ∆z→0 0 df = f (z0)dz, t´u.cl`a ∂f =0. ∂z ∂f 2. Gia’ su’. =0.T`u. cˆongth´u.c (2.6) ta thu du.o.c ∂z . ∆f ∂f = + ε(∆z), ∆z ∂z . . trong d´o lim ε(∆z)=0.T`u d´o thˆa´y r˜ol`agi´oiha.n (2.8) tˆo`nta.iv`a ∆z→0 ∂f f 0(z )= · 0 ∂z . Diˆe`ukiˆe.n (2.9) ch´ınh l`adiˆe`ukiˆe.n kha’ vi ph´uc Cauchy - Riemann. Diˆe`u . . kiˆe.n Cauchy - Riemann c`onc´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´oida.ng ∂f ∂f + i = 0 (2.15) ∂x ∂y . v`anhu vˆa.y ta c´od.inh l´ysau dˆa y . D- .inh l´y2.1.6. H`am f l`a C - kha’ vi ta. imˆo. tdiˆe’mn`aod´o khi v`achı’ khi n´o l`a R2 - kha’ vi ta. idiˆe’md´o v`ac´acda. o h`amriˆeng cu’a n´ota. idiˆe’mˆa´y liˆenhˆe. . . v´oi nhau b˘a`ng hˆe. th´uc (2.15). 2.1.5 H`amchı’nh h`ınh . . . . . T`u t´ınh C - kha’ vi d˜a d uo. cd.inh ngh˜ıata chuathˆe’ r´ut ra nh˜ung kˆe´t luˆa.n m`ach´ung ta mong muˆo´n khi n´oidˆe´ntˆa` m quan tro.ng cu’a kh´ainiˆe.m n`ay. . . . Dˆe ’ thu duo. cnh˜ung kˆe´t qua’ d´o , d `oi ho’i h`am f pha’il`aC - kha’ vi ta.imˆo.t lˆancˆa.n n`aod´ocu’adiˆe’m z0.V`ıthˆe´ ta c´o
116 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh - . . D.inh ngh˜ıa2.1.4. 1) H`am f duo. cgo.i l`ah`am chı’nh h`ınhta. idiˆe’m z0 nˆe´u . . n´ol`a C - kha’ vi ta.imˆo.t lˆancˆa.n n`aod´ocu’adiˆe’m z0. H`am f duo. cgo.il`a chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D nˆe´un´ochı’nh h`ınhta.imo.idiˆe’mcu’amiˆe`nˆa´y. Tˆa.p . . . ho. pmo.i h`amchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D duo. ck´yhiˆe.ul`aH(D). 1 2) H`am f(z) chı’nh h`ınhtaidiˆe’m vˆoc`ung nˆe´u h`am ϕ(z)=f chı’nh . z h`ınhta.idiˆe’m z =0. Phˆa` n 2) cu’ad.inh ngh˜ıa2.1.4 cho ph´epta x´etc´ach`amchı’nh h`ınhtrˆen . c´actˆa.pho. pcu’am˘a.t ph˘a’ng d´ong C. . . . . Ta nhˆa.nx´et r˘a`ng c`ung v´oi thuˆa.tng˜u “h`amchı’nh h`ınh” ngu`oi ta c`on . . . . . . d`ung nh˜ung thuˆa.tng˜u tuong duong kh´acsau dˆay: . “h`amchı’nh h`ınh” ≡ “h`amch´ınhquy” ≡ “h`amgia’it´ıchdon tri.”. . T`u diˆe`ukiˆe.n Cauchy - Riemann v`ad.inh ngh˜ıa2.1.4 dˆe˜ d`angsuy ra . . D- .inh l´y2.1.7. Gia’ su’ miˆe`n D ⊂ C v`a H(D) tˆa. pho. pmo. i h`amchı’nh h`ınh trong miˆ`en D. Khi d´o 1. H(D) l`amˆo. t v`anh; 1 2. nˆe´u f ∈H(D) v`a f(z) =06 ∀ z ∈ D th`ı ∈H(D); f . 3. nˆe´u f ∈H(D) v`a f chı’ nhˆa. n gi´atri. thu. cth`ıf l`ah˘a`ng sˆo´. . . . . Ch´ung minh. B˘a`ng c´ach t´ınhto´antru. ctiˆe´ptathuduo. c ∂ ∂f ∂g (f + g)= + , ∂z ∂z ∂z ∂ ∂f ∂g (f · g)= · g + f · · ∂z ∂z ∂z T`u. d´o suy ra 1) v`a2). ∂f ∂f Dˆe ’ ch´u.ng minh 3) ta nhˆan x´etr˘a`ng , c˜ung chı’ nhˆan gi´atri thu.c. . ∂x ∂y . . . . Nhung m˘a.t kh´ac: ∂f ∂f = i ∂x ∂y ∂f ∂f nˆensuy ra ≡ ≡ 0. Vˆay f l`ah˘a`ng sˆo´. ∂x ∂y .
2.1. H`amkha’ vi 117 . ∗ D- .inh l´y2.1.8. (vˆ`e h`amho. p).Nˆe´u f(w) l`ah`amchı’nh h`ınhtrong D v`a ∗ . nˆe´u g : D → D l`ah`amchı’nh h`ınhtrong D th`ıh`amho. p f[g(z)] chı’nh h`ınh trong D, . Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, dˆ˜e thˆa´yr˘a`ng ∂[f(g)] ∂f ∂g ∂f ∂g = · + · · ∂z ∂w ∂z ∂w ∂z ∂f ∂g Theo gia’ thiˆe´t =0, =0nˆen suy ra f[g(z)] l`ah`amchı’nh h`ınh ∂w ∂z trong D. . . Tiˆe´p theo, gia’ su’ w = f(z), z ∈ D l`ah`amchı’nh h`ınh´anhxa. don tri. mˆo.t ∗ -mˆo.tmiˆ`en D lˆen miˆe`n D .Diˆe`ud´o c´ongh˜ıa l`atheo h`amd˜a cho mˆo˜i z ∈ D . . . . ∗ . d`ˆe utuong ´ung v´oimˆo.t gi´atri. w ∈ D v`ad`ˆong th`oi theo quy luˆa.td´o m ˆo˜i ∗ . . . . . . . w ∈ D chı’ tuong ´ung v´oimˆo.t gi´atri. z ∈ D.T`u d´o x´acd.inh duo. c h`am . ∗ ∗ . don tri. z = ϕ(w), w ∈ D c´ot´ınh chˆa´tl`af[ϕ(w)] = w, w ∈ D .Nhuta biˆe´t . . . . . h`am z = ϕ(w)duo. cgo.il`ah`amnguo. c v´oi h`am w = f(z), z ∈ D. Tas˜ech´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u f 0(z) =06 , z ∈ D th`ıh`am z = ϕ(w) l`ah`am chı’nh h`ınhtrˆen D∗. . ∗ . . . . . Thˆa.tvˆa.y, gia’ su’ w, w +∆w ∈ D . Nh`o h`amnguo. c, c´acdiˆe’m n`aytuong . . u´ng v´oidiˆe’m z, z +∆z. Theo gia’ thiˆe´t h`am f c´oda.o h`amta.idiˆe’m z nˆen . f(z)liˆen tu.cta.id´o : ∆ w → 0nˆe´u∆z → 0. Do t´ınhdon tri. mˆo.t-mˆo.t ta c´o . . . ca’ diˆe`u kh˘a’ng d.inh nguo. cla.i: ∆z → 0nˆe´u∆w → 0. Nhung khi d´o ∆z 1 1 lim = lim = , (f 0(z) =0)6 . ∆w→0 ∆w ∆z→0 ∆w f 0(z) ∆z . . . Diˆe`ud´o c hu ´ ng to’ r˘a`ng da.o h`amcu’a h`amnguo. c z = ϕ(w)tˆo`nta.ita.idiˆe’m w v`ab˘a`ng 1 ϕ0(w)= ,w∈ D∗. f 0(z) ∗ 0 0 V`ı w l`adiˆe’mt`uy ´ycu’a D , f (z)liˆen tu.cv`af (z) =6 0 nˆenh`am ϕ(w)chı’nh h`ınhtrong D∗.
118 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh Ta x´etv´ıdu. h`am w = az + b, a =6 0 l`ah`amtuyˆe´n t´ınhnguyˆen. H`amn`ay . . . ´anh xa. don tri. mˆo.t-mˆo.tm˘a.t ph˘a’ng ph´uc z lˆenm˘a.t ph˘a’ng ph´uc w. H`am . . nguo. ccu’a n´oc´oda.ng w − b z = · a w − b Dˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng h`am w = az + b v`ah`amngu.o.ccu’an´oz = chı’nh . a 1 h`ınhkh˘a´pno.i trˆenm˘at ph˘a’ng z v`a w tu.o.ng ´u.ng w0 = a, z0 = . . z w a . . D- .inh l´y2.1.9. Gia’ su’ cho chuˆo˜il˜uy th`ua n X anz . (2.16) n>0 Nˆe´u b´ank´ınh hˆo. itu. cu’a chuˆo˜i (2.16) kh´ac0 th`ıtˆo’ng S(z) cu’a n´ol`amˆo. t . h`amchı’nh h`ınhtrong h`ınhtr`onhˆo. itu. {|z| 0} cu’a n´o,t´uc l`akhi |z| 1 ∗ c˜ung b˘a`ng R. Thˆa.tvˆa.y, hiˆe’n nhiˆenr˘a`ng b´ank´ınh R b˘a`ng b´ank´ınhhˆo.itu. cu’a chuˆo˜i n X nanz . n>0 Nhu.ng n 1 n n lim pn|an| = lim n n p|an| = lim p|an| n→∞ n→∞ n→∞
2.1. H`amkha’ vi 119 v`ado d´o −1 −1 ∗ n n R = lim pn|an| = lim p|an| = R. n→∞ n→∞ . 2. Gia’ su’ z l`adiˆe’mcˆo´ d.inh t`uy ´yn˘a`m trong h`ınhtr`on |z| 0, ∃ M = M(ε) sao cho ∀ m>M th`ıphˆa` ndu. ∞ ε X n|a |Rn−1 M,t`u (2.20) thu duo. c ∞ ∞ ε X na zn−1 < X n|a |Rn−1 < · (2.21) n n 1 3 n=m+1 n=m+1 v`a ∞ n−1 n−2 n−1 X an(z +∆z) + z(z +∆z) + ···+ z 6 n=m+1 ∞ ε 6 X n|a |Rn−1 < · (2.22) n 1 3 n=m+1
120 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . Tiˆe´p theo, t`u hˆe. th´uc m m n−1 n−2 n−1 n−1 lim X an(z +∆z) + z(z +∆z) + ···+ z = X nanz ∆z→0 n=1 n=1 . . . . suy r˘a`ng v´oisˆo´ ε>0d˜a c h o.n, t`ım duo. csˆo´ δ = δ(ε) > 0 sao cho v´oi |∆z| Mtrong (2.19), t`u. (2.21) - (2.23) suy r˘a`ng khi |∆z| 0 n≥0 ∗ . n D- .inh l´y2.1.9 . Tˆo’ng f(z) cu’a chuˆo˜il˜uyth`ua P an(z − z0) l`ah`amchı’nh n>0 0 . . h`ınh trong h`ınh tr`onhˆo. itu. |z −z0| 1
2.1. H`amkha’ vi 121 2.1.6 Khˆonggian c´ach`amchı’nh h`ınh . . Gia’ su’ miˆe`n D ⊂ C, C(D) l`atˆa.pho. p c´ach`amliˆen tu.c trong D v`a H(D)l`a . tˆa.pho. p c´ach`amchı’nh h`ınhtrong D. . Khˆongdi sˆauv`aochi tiˆe´t (viˆe.cd´o d`anhcho bˆo. mˆontˆopˆoho.c), o’ dˆaychı’ . . ph´acqua viˆe.c x´acd.inh tˆopˆotrong C(D). Dˆo´iv´oitˆa.pho. p comp˘a´c K ⊂ D bˆa´tk`yv`asˆo´ ε>0bˆa´tk`y, d˘a.t V (K, ε)={f ∈C(D):|f(z)| 0, ∀ n du’ l´o.n suy ra fn − f ∈ V (K, ε). . Diˆe`ud´oc´ongh˜ıa r˘a`ng d˜ay fn ∈C(D) c´ogi´oiha.n l`amˆo.tdiˆe’m trong tˆopˆo . . m`a V (K, ε)lˆa.p th`anhhˆe. lˆancˆa.ncoso’ cu’a f ≡ 0. V`ı H(D) l`akhˆonggian con cu’a khˆonggian C(D)nˆen trˆen H(D) ta x´et tˆopˆoca’m sinh bo’.i tˆopˆocu’a khˆonggian C(D). V´o.i tˆopˆod´o , H(D) l`akhˆong . . gian tˆopˆo.Dˆo´iv´oi khˆonggian C(D)c˜ung nhu H(D) ta c´othˆe’ x´acd.inh tˆopˆo . . bo’ i mˆetrich´oa.Do d´o c´othˆe’ ´ap du.ng cho khˆonggian C(D)v`aH(D)nh˜ung . d.inh l´yquen thuˆo.cvˆe` khˆonggian mˆetric. Ch˘a’ng ha.n, tˆa.pho. p con A cu’a . khˆonggian E l`ad´ong khi v`achı’ khi gi´oiha.ncu’a d˜aydiˆe’mbˆa´tk`ycu’a A thuˆo.c A.
122 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . 2.2 Mˆo.tsˆo´ h`am chı’nh h`ınhso cˆa´p 2.2.1 D- ath´u.c v`ah`amh˜u.uty’ d(const) dz Dˆe ’ yd´ ˆe´n c´acd˘a’ng th´u.c =0, = 1 v`ac´acquy t˘a´c t´ınhdao h`am dz dz . . ta c´othˆe’ kˆe´t luˆa.nr˘a`ng dath´uc Pn(z) l`ah`amchı’nh h`ınh ∀ z ∈ C v`a − n 0 n 1 n−k n−k−1 Pn(z)= X akz = X(n − k)akz . k=0 k=0 P (z) C´ach`amh˜u.uty’ R(z)= , trong d´o P (z)v`aQ(z) l`ac´acdath´u.c, Q(z) chı’nh h`ınh ∀ z ∈ C \ N(Q), trong d´o N(Q)={z ∈ C : Q(z)=0}. Ch˘a’ng az + b d han, h`amphˆantuyˆe´n t´ınh w = chı’nh h`ınh ∀ z ∈ C\n− o nˆe´u c =06 . cz + d c 1 1 v`achı’nh h`ınhtrong C nˆe´u c =0v`ad =6 0; h`amJukovski w = z + 2 z chı’nh h`ınh ∀ z ∈ C \{0}. √ 2.2.2 H`am w = zn v`a z = n w, n ∈ N iϕ1 iϕ2 . Ta x´etc´acgi´atri. z1 = |z1|e , z2 = |z1|e .T`u d´o n inϕ1 inϕ2 w1 − w2 = |z1| e − e n inϕ2 in(ϕ1−ϕ2) = |z1| e e − 1. (2.24) . . Hˆe. th´uc (2.24) ch´ung to’ r˘a`ng z1 v`a z2 c´oc`ung mˆo.ta’nh khi v`achı’ khi 2π ϕ − ϕ = k · ,k∈ Z. 1 2 n n . Do vˆa.y, h`am w = z dondiˆe.p trong miˆe`n D n`aod´o khi v`achı’ khi D khˆong . . ch´uanh˜ung c˘a.pdiˆe’m kh´acnhau z1 v`a z2 m`a |z1| = |z2|  2π arg z = arg z + k, k ∈ Z.  1 2 n
. 2.2. Mˆo.tsˆo´ h`amchı’nh h`ınhso cˆa´p 123 . n V´ıdu. vˆ`e miˆe`ndondiˆe.pcu’a h`am w = z l`ac´ach`ınhqua.t vˆoha.n 2π 2π D = nz ∈ C : k 0. t´u.cl`a iθ Dk = nz ∈ C : z = ρe ,ρ>0,θk 0 . Tiˆe´p theo ta d˘a.t θ = θk + ψ,θk 6 θ<θk+1. 2π T`u. d´onˆe´u06 ψ<θ = th`ı θ 6 θ<θ v`angu.o.clai. 1 n k k+1 . . . n . ∗ Ta ch´ung minh r˘a`ng: h`am w = z ´anh xa. don tri. mˆo. t-mˆo. tmiˆe`n Dk lˆen to`anbˆo. m˘a. t ph˘a’ng ∗ ∗ n iϕ o C = Cw = w ∈ C : w = re , 0 6 ϕ<2π . Thˆa.tvˆa.y, ta c´o iϕ n inθ n in( 2π k+ψ) n inψ re = ρ e = ρ e n = ρ e . Do d´o 2π r = ρn,ϕ= nψ 0 6 ψ<θ = . 1 n
124 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . . ∗ ’ ∗ v`at`u d´o ta thu duo. ca’nh cu’a Dk l`am˘a.t ph˘ang Cw. . . . . T`u ch´ung minh trˆenta c˜ung thu duo. c 1 √ ρ = r n = n r, ϕ ψ = n . ∗ n . . v`at`u d´o suy r˘a`ng trˆenmiˆ`en Dk h`am w = z c´oh`amnguo. c 1 ϕ+2k ∗ iθ n i n z =(z)k = ρe = r e ,k=0, 1, ,n− 1; w ∈ Cw. (2.25) n . . N´oichung: h`am w = z c´oh`amnguo. c n-tri. √ z = n w . . . . l`a n nh´anhliˆen tu.c (2.25) tuong ´ung v´oi c´acsˆo´ k =0, 1, ,n−1. C´acnh´anh . ∗ ∗ ∗ ∗ (2.25) x´acd.inh bo’ i c´acsˆo´ k =0, 1, ,n− 1 ´anhxa. C lˆen D0,D1, ,Dn tu.o.ng ´u.ng. ’ . ∗ Dˆe t´ınhda.o h`amcu’a nh´anhth´u k ta pha’i x´et miˆe`n Dk ⊂ Dk.Tak´yhiˆe.u + ∗ Cw = Cw \ R+. n . + R˜or`angl`ah`amchı’nh h`ınh w = z ´anh xa. don tri. mˆo.t-mˆo.t Dk lˆen Cw , . . . . . . . . . d`ˆo ng th`oi h`amnguo. ctuong ´ung duo. c x´acd.inh theo cˆongth´uc (2.25). ´ . . Ap du. ng quy t˘a´cda.o h`amh`amnguo. ctac´o(z ∈ Dk) √ √ n 0 n 0 1 1 z w = w = 0 = − = k zn nzn 1 nw 1 i ϕ+2kπ 1 r n e n 1 1 −1 i( 1 −1)(ϕ+2kπ) 1 1 −1 = · = r n e n = w n . n rei(ϕ+2kπ) n n 2.2.3 H`am ez Gia’ su’. z = x + iy. Khi d´o def ez = ex(cos y + i sin y).
. 2.2. Mˆo.tsˆo´ h`amchı’nh h`ınhso cˆa´p 125 . z x . . Nˆe´u z = x l`asˆo´ thu. cth`ıe = e ,t´uc l`akhi z nhˆa.n c´acgi´atri. thu. c th`ıh`am . z . . . . biˆe´nph´uc e tr`ung v´oi h`amm˜ubiˆe´n thu. c thˆongthu`ong. Diˆe`u nhˆa.n x´etn`ay . . . . . . . c`ung v´oimˆo.tsˆo´ t´ınhchˆa´tduo. c nˆeudu´oidˆay s˜ech´ung to’ t´ınhho. pl´ycu’a . . d.inh ngh˜ıah`amm˜ubiˆe´nph´ucv`ua nˆeu. . z Ta lu u´ymˆo.tsˆo´ t´ınhchˆa´tcu’a h`am e . z . . . . x 1) e =06 ∀ z ∈ C.Diˆe`ud´oduo. c suy ra t`u d.inh ngh˜ıav`ahˆe. th´uc e =0,6 |eiy| =1. 2) ez1 · ez2 = ez1+z2 . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2. Khi d´o z1 z2 x1 x2 e · e = e (cos y1 + i sin y1)e (cos y2 + i sin y2) x1+x2 x1+x2+i(y1+y2 ) = e cos(y1 + y2)+i sin(y1 + y2) = e = ez1+z2 . ez1 z1−z2 . . . 3) = e .Diˆe`un`ayduo. c suy ra t`u d.inh ngh˜ıav`at´ınhchˆa´t 2). ez2 4) D˘a’ng th´u.c ez+α = ez ⇔ α =2kπi, k ∈ Z. Ch´u.ng minh. Gia’ su’. α =2kπi, k ∈ Z. Khi d´ota c´o ez+α = ez+2kπi = ez · e2kπi = ez. . . z+α z Nguo. cla.i, nˆe´u e = e , α = λ + iν th`ı ez+λ+iν = ez ⇒ ezeλ+iν − 1 =0. V`ı ez =0nˆ6 en eλ+iν =1.Tas˜ech´u.ng minh r˘a`ng khi d´o λ =0,ν =2kπ, k ∈ Z. . . λ+iν λ iν λ Thˆa.tvˆa.y, t`u d˘a’ng th´uc e = 1 suy r˘a`ng e · e =1v`adod´o e =1, . . ν =2kπ, k ∈ Z;t´ucl`aλ =0,ν =2kπ, k ∈ Z.Nhuvˆa.y α =0+i2kπ = 2kπi.
126 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh C´acsˆo´ 2kπi, k ∈ Z m`av´o.i z ∈ C bˆa´tk`y ta c´od˘a’ng th´u.c ez+2kπi = ez . . z . duo. cgo.il`ac´acchu k`y cu’a h`am e v`asˆo´ 2πi go.il`achu k`ycoba’n cu’a n´o. z . x x 5) e khˆongc´ogi´oiha.n khi z →∞v`ı lim e = 0, lim e = ∞. x→−∞ x→+∞ z . . 6) H`am e dondiˆe.p trong miˆ`en D ⊂ C khi v`achı’ khi miˆe`n D khˆongch´ua . nh˜ung c˘a.pdiˆe’m kh´acnhau z1 v`a z2 m`a z1 − z2 =2nπi, n ∈ Z. . . . Ch´ung minh. Thˆa.tvˆa.y, gia’ su’ z1, z2 (z1 =6 z2)c`ung c´omˆo.ta’nh. Khi d´ot`u . hˆe. th´uc w1 = w2 suy ra z1 z2 z1−z2 e = e ⇔ e =1⇔ z1 − z2 =2kπi. . . V´ıdu. vˆ`e miˆe`ndondiˆe.pcu’ah`amm˜ubiˆe´nph´uc l`ac´ac b˘angvˆoha. n n˘a`m ngang Dk = nz ∈ C : −∞ < Re z<+∞;2kπ < Im z<2(k +1)π,k ∈ Zo. 7) H`am ez liˆentu.c trˆen C. Thˆa.tvˆa.yv`ı c´ach`amRe(ez)=u(x, y)= ex cos y,Im(ez)=ex sin y d`ˆe u liˆentu.cnˆen theo d.inh l´yta c´oh`am ez liˆentu.c. z . x 8) H`am e ∈H(C). Thˆa.tvˆa.y c´ach`amphˆa` n thu. c u(x, y)=e cos y v`a x . phˆa` na’o v(x, y)=e sin y d`ˆe u l`anh˜ung h`amkha’ vi v`atho’a m˜andiˆe`ukiˆe.n Cauchy - Riemann, nˆentheo d.inh l´y2.1.4 ta c´o ez ∈H(C). 2.2.4 H`amlˆogarit . . . . . Gia’ su’ cho sˆo´ ph´uc z ∈ C. Khi d´omo.isˆo´ ph´uc ζ ∈ C tho’a m˜anphuong ζ . . . . tr`ınh e = z duo. cgo.i l`alˆogaritcu’asˆo´ z ∈ C v`aduo. ck´yhiˆe.ul`a Ln z = ζ. . Nhu vˆa.y Ln z = ζ ⇔ eζ = z. (2.26)
. 2.2. Mˆo.tsˆo´ h`amchı’nh h`ınhso cˆa´p 127 Gia’ su’. ζ = x + iy, z = r(cos ϕ + i sin ϕ), r = |z|, ϕ = arg z, −π 0, ⇔  y = ϕ +2kπ, k ∈ Z;  x =lnr ⇔  y = ϕ +2kπ, k ∈ Z.  . Nhu vˆa.y Ln z = ζ = x + iy =lnr + i(ϕ +2kπ),k∈ Z, hay l`a Ln z =ln|z| + iarg z +2kπi, k ∈ Z. (2.27) Ta k´yhiˆe.u ln z =ln|z| + iarg z . v`ago.id´ol`agi´atri. ch´ınh cu’aLnz.T`u d´o Ln z =lnz +2kπi, k ∈ Z. . . . T`u hˆe. th´uc (2.27) suy ra r˘a`ng: mˆo˜isˆo´ ph´uc z =06 , ∞ d`ˆe u c´ovˆosˆo´ gi´a tri. lˆogarit,trong d´o hai gi´atri. lˆogaritbˆa´tk`y l`akh´acnhau mˆo. tbˆo. i nguyˆen . . . . cu’a 2πi.Nˆe´u z l`asˆo´ thu. cduong th`ıgi´atri. ch´ınh cu’a lˆogarittr`ung v´oiln|z| . . v`ado d´on´obiˆe’udiˆe˜nsˆo´ thu. ctr`ung v´oi lˆogaritcˆo’ diˆe’n: Ch˘a’ng ha.n ln 1 = 0, ln e =1, . . . . . Nhung, ngo`aic´acgi´atri. thu. cd´o, lˆogaritcu’a c´acsˆo´ thu. cduong c`on . . . . c´ovˆosˆo´ c´aclˆogaritph´ucduo. c t´ınhtheo cˆongth´uc (2.27). Ch˘a’ng ha.n: Ln 1 = 2kπi,Lne =1+2kπi,
128 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . Ta lu u ´yhai t´ınhchˆa´td˘a.cbiˆe.tcu’a lˆogaritsˆo´ ph´uc a) Ln (z1z2)=Lnz1 +Lnz2, z1 b) Ln =Lnz1 − Ln z2. z2 . . . . . . . C´acd˘a’ng th´uc n`aycˆa` nduo. chiˆe’umˆo.t c´ach u´oclˆe.:d´o l `a d ˘a’ng th´ucgi˜ua c´ac . tˆa.pho. p. N´oic´ach kh´ac;vˆe´ tr´aic´othˆe’ sai kh´acvˆe´ pha’imˆo.tbˆo.i nguyˆencu’a . 2πi ho˘a.cvˆe´ pha’ib˘a`ng vˆe´ tr´aiv´oiviˆe.ccho.nsˆo´ ha.ng 2kπi trong vˆe´ tr´aimˆo.t . c´ach th´ıch ho. p. . . . Bˆaygi`o ta x´etlˆogaritv´oituc´ach l`amˆo.t h`am. Ta d˘a.t C0 = C \{0} v`adu.a v`aox´et h`am Lnk : C0 → C, Lnkz =ln|z| + iarg z +2kπi. . D´o l`ah`amdon tri M˘a.t kh´acv`ı −π<arg z 6 π nˆen LnkC0 ⊂ Dk = nw ∈ C :(2k +1)π<Im w 6 (2k +1)πo l`ab˘angvˆoha.nn˘a`m ngang c´obˆ`e rˆo.ng 2π. Ta s˜ech´u.ng to’ r˘a`ng LnkC0 = Dk, . . t´ucl`ach´ung minh r˘a`ng ∀ w ∈ Dk ∃ z ∈ C0 sao cho Lnkz = w. . Gia’ su’ w = u + iv ∈ Dk. Khi d´o v = v0 +2kπ, −π<v0 6 π. w u . . Ta d˘a.t z = e = e (cos v0 + i sin v0). Khi d´o ta thu duo. c Lnkz =ln|z| + iarg z +2kπi = u + i(v0 +2kπ)=u + iv = w.
. 2.2. Mˆo.tsˆo´ h`amchı’nh h`ınhso cˆa´p 129 . Nhu vˆa.y (lˆen) Lnk : C −→ Dk. . . . V`ı Dk l`amiˆe`ndondiˆe.pcu’aLnk nˆenta.id´o n´oc´oh`amnguo. c −1 Lnk : Dk −→ C0. d´o l `a h `a m −1 w Lnk (w)=e . . H`amn`aydon tri Ta nhˆa.nx´et r˘a`ng h`amLnkz khˆongliˆentu.c trong C0, m`acu. thˆe’ l`an´o . − khˆongliˆentu. c trˆenphˆa` n ˆamtru.c thu. c R . Thˆa.tvˆa.yv`ı∀ z = x0 0 (tuong ´ung: Im z<0) th`ıLnkz dˆa` n . . . dˆe´nln|x0| +(2k +1)π (tuong ´ung: dˆa` ndˆe´nln|x0| +(2k − 1)π). . . . C´ach`amLnkz duo. cgo.il`ac´acnh´anh(don tri.) cu’a h`amda tri. Ln z. . . . Mˆo.t c´ach tu. nhiˆenta dua v`aotˆa.pho. p C∗ = nz ∈ C : −π<arg z<πo . . l`am˘a.t ph˘a’ng ph´uc C c˘a´tbo’ phˆa` n ˆamtru.c thu. cv`ax´et h`am 0 Ln =Lnk ∗ . k C R˜or`angl`a 0 ∗ 0 n o LnkC = Dk = w ∈ C :(2k − 1)π<Im w<(2k +1)π 0 ∗ . . H`amLnk liˆentu.c trˆen C .Dˆe ’ ch´ung minh diˆe`ud´otachı’ cˆa` nch´ung minh r˘a`ng ln z =ln|z| + iarg z
130 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh ∗ . . liˆentu.c trˆen C .Nhung diˆe`ud´o l`ahiˆe’n nhiˆenv`ı phˆa` n thu. cln|z| liˆentu.c ∗ ∗ trˆen C (thˆa.mch´ı n´oliˆentu.cca’ trong C0) v`aphˆa` na’o arg z liˆentu.c trˆen C . . . . . . . nhu ta d˜ach´ung minh trong chuong tru´oc. Nhu vˆa.y: h`am Lnkz liˆentu. c ∗ − . ∗ trˆen C = C \ R .D´o l`ac´acnh´anhdon tri. liˆentu.c trˆen C cu’a h`amlˆogarit Ln z. ∗ . . . Trong miˆe`n C ta thu duo. c vˆosˆo´ nh´anhdon tri. liˆentu. c.Mo.i nh´anhLnkz . . . ho`anto`anduo. cd˘a.c tru.ng bo’ idiˆe`u l`a:C´acgi´atri. cu’a n´othuˆo.cmˆo.t b˘angvˆo ha.nn˘a`m ngang Dk x´acd.inh. . . T`u lˆa.p luˆa.n trˆenc˜ung suy ra r˘a`ng h`am w =Lnkz ´anhxa. don tri. mˆo.t- ∗ . . w mˆo.t v`aliˆentu.cmiˆe`n C lˆen Dk v`ah`amnguo. ccu’an´oz = e c´oda.o h`am . . =0ta6 .imo.idiˆe’m w ∈ Dk.Dod´o theo quy t˘a´cda.o h`amcu’a h`amnguo. c ta c´o 0 1 1 1 Lnkz = 0 = = · (2.28) z ew ew z w . Ta nhˆa´nma.nh r˘a`ng o’ dˆay ta t´ınhda.o h`amkhˆongpha’icu’a h`amda tri. . . . . . Ln z m`al`acu’a nh´anhdon tri. cu’a n´otuong ´ung v´oi gi´atri. k n`aod´o. 2.2.5 H`aml˜uyth`u.a zα, α ∈ R . α . . . H`aml˜uy th`ua z , α ∈ R duo. cd.inh ngh˜ıatheo cˆongth´uc w = zα = eα ln z = eα[ln|z|+i(arg z+2kπ)] = |z|αeiα(argz+2kπ),k∈ Z (2.29) hay l`a w = ραeiα(θ+2kπ),k∈ Z; z = ρeiθ. (2.30) . . . Ta x´etc´actru`o ng ho. p sau dˆay. 1+.Nˆe´u α l`asˆo´ nguyˆen th`ı eiα2kπ =1v`a w =(ρeiθ)α = zα α . . . . . trong d´o z duo. chiˆe’u theo ngh˜ıathˆongthu`ong l`at´ıch cu’a α th`uasˆo´ z.
. 2.2. Mˆo.tsˆo´ h`amchı’nh h`ınhso cˆa´p 131 p 2+.Nˆe´u α = ± , trong d´o p>0, q>0l`anh˜u.ng sˆo´ nguyˆen, th`ıgi˜u.a c´ac q . . . . . sˆo´ o’ vˆe´ pha’icu’a (2.30) chı’ c´oc´acgi´atri. tuong ´ung v´oi k =0, 1, ,q− 1l`a kh´acnhau: w = ραeiα(θ+2kπ),k=0, 1, ,q− 1. 1 1 D˘acbiˆet l`akhi α = , n ∈ N th`ıh`am w = z n d˜adu.o.cx´et trong 2). . . n . + . 3 .Nˆe´u α l`asˆo´ vˆoty’ th`ıdˆo´iv´oi c´acgi´atri. k kh´acnhau c´ach`amx´ac . d.inh bo’ i (2.29) hay (2.30) l`akh´acnhau. Thˆa.tvˆa.y gi´atri. acgumen cu’a c´ac gi´atri. zα b˘a`ng θk = αθ +2kπα v`atrong c´acgi´atri. d´okhˆongc´oc´acgi´atri. n`aokh´acnhau mˆo.tbˆo.i nguyˆen cu’a ´ . 2π v`ınˆeuv´oi k1, k2 nguyˆen v`a k1 =6 k3 m`a θk1 − θk2 =2k1πα− 2k2πα =2nπ, trong d´o n-nguyˆen th`ı n α = k1 − k2 . . α l`asˆo´ h˜uuty’.Vˆol´y. Diˆe`ud´o c hu ´ ng to’ r˘a`ng z l`ah`am vˆosˆo´ tri D´ol`aC´ac nh´anhliˆentu. ccu’a h`amvˆosˆo´ tri. w = zα. Tiˆe´p theo ta c´o(z = ρeiθ) α[lnρ+i(θ+2kπ)] 0 0 α e zα = eα ln z = eα ln z · = α z e[ln ρ+i(θ+2kπ)] = αe(α−1)[lnρ+i(θ+2kπ)] = αzα−1 . . α 0 α−1 . α t´ucl`ad˘a’ng th´uc z = αz dung´ dˆo´iv´oimo.i nh´anhcu’a z . 2.2.6 C´ach`amso. cˆa´p kh´ac C´ach`amchı’nh h`ınhso. cˆa´pd˜ax´et:h`amphˆantuyˆe´n t´ınh,h`am ez v`aln z, . . h`amJukovski d´ong mˆo.t vai tr`oco ba’n trong viˆe.c kha’o s´atc´ach`amso cˆa´p co. ba’n kh´ac.
132 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh Thˆa.tvˆa.y, khi biˆe´t h`am f(z)v`aϕ(z)tac˜ung s˜ebiˆe´tca’ h`am f[ϕ(z)] v`a . . ϕ[f(z)]. C´othˆe’ kh˘a’ng d.inh r˘a`ng mo.i h`amso cˆa´pcoba’n kh´acd`ˆe u c´othˆe’ . . . . . biˆe’udiˆe˜ndu´oida.ng ho. pmˆo.tsˆo´ n`aod´oc´ach`amso cˆa´pm`atad˜a nghiˆen c´uu. . . . Ch˘a’ng ha.ntax´et c´ach`amluo. ng gi´acbiˆe´nph´uc eiz − e−iz sin z def= , (2.31) 2i iz −iz def e + e cos z = , (2.32) 2 def sinz tg z = , (2.33) cos z def cos z cotg z = · (2.34) sin z . . Nˆe´u z = x l`asˆo´ thu. c th`ıtheo d.inh ngh˜ıav`acˆongth´uc Euler ta c´o 1 sin z = (cos x + i sin x) − (cos(−x)+i sin(−x)) = sin x, cos z = cos x. 2i . . . . Nhu vˆa.y khi z = x l`asˆo´ thu. c h`ambiˆe´nph´uc sin z tr`ung v´oi h`amsin x quen . . . . . thuˆo.c. Tuong tu. nhu vˆa.ydˆo´iv´oi h`amcos z v`atg z. . . . Luu´yr˘a`ng c´ach`amluo. ng gi´ac(2.31) ba’o to`annhiˆe`u t´ınhchˆa´tcu’a h`am . . . . . . luo. ng gi´acbiˆe´n thu. c nhung khˆongpha’imo. it´ınh chˆa´td`ˆe uduo. cba’o to`an. e + e−1 e − e−1 Ch˘a’ng han cos i = ≈ 1, 54; sin i = ≈−1, 17i, ngh˜ıal`a khˆong . 2 2i thˆe’ n´oi cos z v`a sin z c´omˆodun bi. ch˘a. n. . . . . H`am w = cos z duo. cx´et nhu l`aho. pcu’a ba h`amsau dˆay: 1 1 z1 z1 = iz; z2 = e ; w = z2 + . 2 z2 . . . . . Do d´oviˆe.c kha’o s´ath`amcos z duo. cduavˆe` kha’o s´atc´ach`amd˜aduo. c nghiˆen c´u.u. . . z T`u hˆe. th´uc (2.32) v`ac´act´ınhchˆa´tcu’a h`am e ta r´ut ra t´ınh C - kha’ vi cu’a h`amcos z. . . . . Tu ong tu. , h`am w = sin z l`aho. pcu’abˆo´n h`amsau dˆay: z 1 1 z1 2 z1 = iz; z2 = e ; z3 = ,w= (z3 + i 2 z3
. 2.2. Mˆo.tsˆo´ h`amchı’nh h`ınhso cˆa´p 133 . . . nˆen viˆe.c kha’o s´ath`am w = sin z c˜ung duo. cduavˆe` kha’o s´atc´ach`amd˜ax´et o’. trˆen. . . . T`u hˆe. th´uc (2.31) v`a(2.32) suy ra r˘a`ng h`amcos z v`asin z l`anh˜ung h`am tuˆa` n ho`anv´o.i chu k`y2π v`al`anh˜u.ng h`am C - kha’ vi: (cos z)0 = − sin z; (sin z)0 = cos z. . Dˆo´iv´oi h`amtg z, theo d.inh ngh˜ıata c´o: sin z π tg z = ,z=6 + kπ, k ∈ Z. cos z 2 . . . . D´o l`ah`amtuˆa` n ho`anv´oi chu k`yco so’ π.B˘a`ng c´ach su’ du.ng (2.31) v`a (2.32) ta c´o 1 e2iz − 1 tg z = · · (2.35) 2 e2iz+1 . . . Do d´o v i ˆe.c kha’o s´ath`amtg z duo. cduavˆ`e kha’o s´atc´ach`am“trung gian” . . d˜a d uo. cx´et sau dˆay z − 1 z1 2 z1 =2iz; z2 = e ; w = −i · · z2 +1 Bˆaygi`o., ta chuyˆe’n sang x´eth`aml˜uy th`u.atˆo’ng qu´at w = zα,α∈ R+. . mˆo.t c´ach chi tiˆe´thon. Ta d˘a.t zα = eαlogz. . H`amn`ayl`aho. pcu’a ba h`amtrung gian sau dˆay z2 z1 = log z; z2 = αz1; w = e . . . C˜ung nhu o’ c´acphˆa` n trˆen,ta c´othˆe’ d.inh ngh˜ıakh´ainiˆe.m nh´anhliˆentu.c cu’a h`am zα trong miˆ`en D.Mˆo˜i nh´anhliˆentu.ccu’a h`amlog z trong miˆ`en D s˜ex´acd.inh mˆo.t nh´anhliˆen tu.ccu’a h`am zα trong miˆ`end´o.
134 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh Dˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng a’nh cu’a g´oc D = z ∈ C : a<arg z<b,b− a 6 2π,b,a ∈ R (2.36) qua ´anhxa. w = zα, α ∈ R+ l`amˆo.t trong c´acg´ocsau: D∗ = w : αa +2παk < arg w<αb+2παk, k ∈ Z . (2.37) Thˆa.tvˆa.y, qua ´anhxa. z1 = log z a’nh cu’a D s˜el`amˆo.t trong c´acb˘angvˆo ha.n sau: D(z1)=z1 ∈ C : a +2kπ < Im z1 <b+2kπ,k ∈ Z , . . trong d´osˆo´ nguyˆen k duo. c x´acd.inh b˘a`ng viˆe.ccho.n nh´anhliˆentu.ccu’a log z trong g´oc(2.36). Qua ´anhxa. z2 = αz1 th`ıa’nh cu’a D(z1) s˜el`ab˘angvˆoha.n D(z2)=z2 ∈ C : αa +2kπα < Im z2 <αb+2kπα . v´oidiˆe`ukiˆe.n α(b − a) 6 2π. T`u. d´o suy ra diˆe`u pha’ich´u.ng minh. 2.2.7 Nh´anhchı’nh h`ınhcu’ a h`amda tri. . . Theo d.inh ngh˜ıa, h`amchı’nh h`ınh f trong miˆe`n D duo. cgo.i l`amˆo.t nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`amda tri. F (z)nˆe´uta.imo.idiˆe’m z ∈ D gi´atri. cu’a h`am f(z) . tr`ung v´oimˆo.t trong c´acgi´atri. cu’a F (z)ta.idiˆe’mˆa´y. . . Ta s˜egia’i th´ıch kh´ainiˆe.m nh´anhchı’nh h`ınh dˆo´iv´oimˆo.t v`aih`amdon gia’n. √ Tru.´o.chˆe´ttax´et h`am w = n z trong miˆ`en D = C \{[0, ∞eiα]}, trong d´o {0, ∞eiα} l`atia arg z = α.Tad˜a thˆa´yr˘a`ng nh´anhdo.n tri liˆentuccu’a h`am √ . . n . . z c´othˆe’ t´ach duo. c trong miˆ`en D nˆe´u trong d´o h`amarg z c´othˆe’ t´ach c´ac . . nh´anhdon tri. liˆentu.c (xem 1.5). Gia’ su’ z0 l`adiˆe’mcˆo´ d.inh n`aod´o thuˆo.c D v`a ϕ0 = arg z0 l`amˆo.t trong c´acgi´atri. cu’a arg z ta.i z0.Tax´et h`am  arg z0,z= z0, ϕ∗(z)= (2.38) ∆ arg z, z ∈ D, z =6 z  γ(z0,z) 0
. 2.2. Mˆo.tsˆo´ h`amchı’nh h`ınhso cˆa´p 135 √ . n nhu d˜al`amtrong 1.5.Tak´yhiˆe.u w∗(z) l`agi´atri. cu’a h`amc˘an z ta.idiˆe’m . . . . z tuong ´ung v´oi gi´atri. ϕ∗(z)ta.idiˆe’mˆa´y. Khi d´o n ϕ∗(z) ϕ∗(z) w∗(z)=p|z|h cos + i sin i. (2.39) n n n . . . Hiˆe’n nhiˆen,v`ı p|z| v`a ϕ∗(z) l`anh˜ung h`amdon tri. liˆentu.cnˆen w∗(z)don tri. liˆentu. c. . Ta ch´ung minh r˘a`ng w∗(z) l`ah`amchı’nh h`ınhtrong D (xem 2.2.2). Thˆa.tvˆa.y, ta k´yhiˆe.u r = |z|, ϕ = ϕ∗(z). Khi d´o √ ϕ Re w (z)=u (r, ϕ)= n r cos , ∗ ∗ n √ ϕ Im w (z)=v (r, ϕ)= n r sin , ∗ ∗ n v`adˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng ∂u 1 ϕ ∂v 1 ϕ ∗ = √ cos , ∗ = √ sin , ∂ϕ n n−1 n ∂r n n−1 n n √r √ n r ∂u n r ϕ ∂v n r ϕ ∗ = − sin , ∗ = cos · ∂ϕ n n ∂ϕ n n T`u. d´o suy ra ∂u 1 ∂v ∗ = ∗ , ∂r r ∂ϕ 1 ∂u ∂v ∗ = − ∗ · r ∂ϕ ∂r . D´och´ınh l`adiˆe`ukiˆe.n Cauchy - Riemann. Nhu vˆa.y h`am u v`a v tho’a m˜an diˆe`ukiˆen Cauchy - Riemann trong D.V`ı u v`a v kha’ vi liˆentuc trong D theo . √ . n r v`a ϕ nˆen w∗(z) l`amˆo.t nh´anhchı’nh h`ınhcu’a h`am z trong D. . . Ta x´etc´ach`am wm(z) x´acd.inh bo’ id˘a’ng th´uc ϕ (z) ϕ (z) w (z)=pn |z| cos m + i sin m m =0, 1, ,n− 1, (2.40) m n n . . . . . trong d´o h`am ϕm(z)duo. cx´acd.inh nhu (5.8), 1.5. Khi m = 0 ta thu duo. c h`am ϕ (z) trong (2.38). Dˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng c´ach`amn`ayd`ˆe ul`anh˜u.ng nh´anh ∗ √ chı’nh h`ınhcu’a h`am n z.
136 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh T`u. l´yluˆan trˆendˆay v`amuc 1.5.3 ta c´othˆe’ kˆe´t luˆanr˘a`ng trong miˆ`en D . . √ . . n . . khˆongch´uadiˆe’m z = 0 h`amda tri. z c´othˆe’ t´ach n nh´anhchı’nh h`ınhduo. c . x´acd.inh bo’ i (2.40). . . . . . . C˜ung tuong tu. nhu o’ mu.c5,dˆe˜ d`angch´ung to’ r˘a`ng trong miˆe`n D bˆa´t k`yc´och´u.agˆo´ctoadˆo ta khˆongthˆe’ t´ach nh´anhchı’nh h`ınhcu’a h`amda tri √ . . . n z. . . Nˆe´ut`u tˆa.pho. p c´acnh´anhchı’nh h`ınhcu’ah`amda tri. F (z) ta muˆo´n t´ach mˆo.t nh´anhx´acd.inh th`ıcˆa` nd˘a.tradiˆe`ukiˆe.nbˆo’ sung. Diˆe`ukiˆe.nd´o thˆong . . . . . thu`ong duo. cchobo’ i gi´atri. cu’a nh´anhcˆa` n t´ach ta.imˆo.tdiˆe’m n`aod´ocu’a miˆe`n D. √ 3 + V´ı du. 1. Cho h`am w = z, D = C\R . H˜ayt´ach nh´anhchı’nh h`ınh wm(z) m`a wm(−1) = −1. T`ımgi´atri. cu’a nh´anhd´ota.idiˆe’m z =8i. V`ı wm(−1) = −1 nˆenta c´othˆe’ d˘a.t ϕ0 = arg z0 = arg(−1)=3π. Khi d´o h`am ϕm(z)l`a 3π, z = −1, ϕm(z)= ∆ arg z, z ∈ D, z =6 −1  γ(−1,z) v`anh´anhchı’nh h`ınhcˆa` n t´ach l`a ϕ (z) ϕ (z) w (z)=p3 |z| cos m + i sin m . m 3 3 Gi´atri. cu’a n´ota.idiˆe’m z =8i b˘a`ng π π √ 3π − 3π − w (8i)= 3 8 cos 2 + i sin 2 m 3 3 5π 5π √ =2 cos + i sin = − 3+i. 6 6 . Bˆaygi`o ta chuyˆe’n sang x´etviˆe.c t´ach nh´anhchı’nh h`ınhcu’a h`amlˆogarit. . . . . . C˜ung tuong tu. nhu trˆen,dˆ˜e d`angch´ung minh r˘a`ng nh´anhchı’nh h`ınhcu’a
. 2.2. Mˆo.tsˆo´ h`amchı’nh h`ınhso cˆa´p 137 . . . . h`amlˆogaritc´othˆe’ t´ach duo. c trong miˆe`n D nˆe´u trong d´oc´othˆe’ t´ach duo. c . nh´anhdon tri. liˆentu.ccu’a h`amarg z. . . iα C˜ung nhu trˆen,gia’ su’ z0 l`adiˆe’mcˆo´ d.inh cu’a D = C \ [0, ∞e ]v`a arg z0 = ϕ0 l`amˆo.t trong c´acgi´atri. cu’a Arg z0.Tad˘a.t  arg z0,z= z0, ϕ∗(z)= ∆ arg z, z ∈ D, z =6 z  γ(z0,z) 0 . . . . v`a w∗(z) l`agi´atri. cu’a w =Lnz =ln|z|+iArg z tuong ´ung v´oi arg z = ϕ∗(z). Khi d´o w∗(z)=ln|z| + iϕ∗(z). . . Hiˆe’n nhiˆenv`ıtrong D ca’ ln|z| lˆa˜n ϕ∗(z)d`ˆe udon tri. liˆentu.cnˆen w∗(z)don . tri. liˆentu.c trong D. Ta c`oncˆa` nch´ung minh r˘a`ng w∗(z) l`ah`amchı’nh h`ınh trong D (xem 2.2.3). D˘a.t Re w∗(z)=u∗(r, ϕ) = log r, Im w∗(z)=v∗(r, ϕ)=ϕ∗(z)=ϕ. Khi d´o ∂u 1 ∂u ∂v ∂v ∗ = , ∗ =0, ∗ =0, ∗ =1. ∂r r ∂ϕ ∂r ∂ϕ Do d´o ∂u 1 ∂v 1 ∂u ∂v ∗ = ∗ , ∗ = − ∗ · ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r . . . Nhu vˆa.y trong D c´acdiˆe`ukiˆe.n Cauchy - Riemann duo. c tho’a m˜an.V`ı u∗ v`a v∗ kha’ vi liˆentu.c trong D nˆen w∗(z) l`anh´anhchı’nh h`ınhcu’a w =Lnz . . . trong D.C˜ung tuong tu. c´ach`am wm(z)=ln|z| + i[ϕ∗(z)+2mπ],m=0, ±1, ±2, . l`anh˜ung nh´anhchı’nh h`ınhcu’a h`amlˆogarit,trong d´o w0(z)=w∗(z). . . . . . . . C˜ung tuong tu. nhu dˆo´iv´oi h`amc˘an,h`amlˆogaritc´othˆe’ t´ach duo. c th`anh . c´acnh´anhchı’nh h`ınhtrong miˆe`n D bˆa´tk`y khˆongch´uagˆo´cto.adˆo. z =0, . . . c`onnˆe´umiˆe`n D ⊃{0} th`ıviˆe.ct´achd´o l`akhˆongthu. chiˆe.nduo. c.
138 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh 2.3 H`am chı’nh h`ınhv`a ´anhxa. ba’ogi´ac . . . Trong mu.c n`ayta s˜el`amquen v´oisu. mˆota’ h`ınhho.cdˆo´iv´oi c´ach`amchı’nh . . . . h`ınh. Cu. thˆe’ hon ta s˜el`amquen v´oimˆo.t trong nh˜ung vˆa´nd`ˆe co ba’ncu’a . . l´ythuyˆe´t h`ambiˆe´nph´ucl`aviˆe.c nghiˆen c´uu c´ach`amchı’nh h`ınhb˘a`ng c´ach . . xuˆa´t ph´att`u d˘a.c t´ınhcu’a c´ac´anhxa. m`ac´ach`amd´o d ˜athu. chiˆe.n-go.il`a ´anh xa. ba’o gi´ac. . . B`aito´anco ba’ncu’a ´anhxa. ba’o gi´acl`ab`aito´ansau dˆay. Gia’ su’ cho hai ∗ ∗ . . miˆe`n D v`a D . H˜ayt`ımh`am f : D → D thu. chiˆe.n ´anhxa. don tri. mˆo.t- ∗ mˆo.t v`aba’o gi´acmiˆ`en D lˆen miˆe`n D . . . . T`u d´oc˜ung s˜ena’y sinh ra nh˜ung vˆa´nd`ˆe tˆo`nta.i v`aduy nhˆa´tdˆo´iv´oi h`am f m`ata s˜e nghiˆen c´u.u k˜ytrong chu.o.ng VII. ´ 2.3.1 Y ngh˜ıah`ınhho. ccu’ a acgumen cu’ ada.o h`am . 0 Gia’ su’ h`am w = f(z) ∈H(D), f (z0) =0,6 z0 ∈ D. Khi d´o, theo d.inh ngh˜ıa, ta c´o: 0 ∆w iα f (z0) = lim = Ae ,A=6 0 (2.41) ∆z→0 ∆z v`at`u. d´o suy ra ∆w 0 lim arg = α = arg f (z0). (2.42) ∆z→0 ∆z . . Gia’ su’ γ = γ(t), t ∈ [a, b] l`acung tron Jordan di qua diˆe’m z0.Ta.idiˆe’m 0 z0 = z0(t0) ta c´o γ (t0) =0.6 ’ Anh cu’a γ qua ´anhxa. w = f(z) l`acung Γ = f(γ)di qua diˆe’m w0. Cung d´o c ´o p h u .o.ng tr`ınhl`a w = f[γ(t)], t ∈ [a, b]. . Theo quy t˘a´c vi phˆanh`amho. p, ta c´o: 0 0 0 w = f (γ(t0))γ (t0) =06 . (2.43) . . T`u hˆe. th´uc (2.43) suy ra r˘a`ng Γ c´otiˆe´p tuyˆe´nta.idiˆe’m w0 v`a 0 0 0 arg f (z0) = arg w (t0) − arg γ (t0)(mod 2π). (2.44)
2.3. H`amchı’nh h`ınhv`a´anhxa. ba’o gi´ac 139 . 0 Nhu vˆa.y, vˆ`e m˘a.th`ınh ho.c, arg f (z0)b˘a`ng g´ocquay cu’a cung γ ta.idiˆe’m z0 qua ´anhxa. f(z). . . Nˆe´uhaidu`ong cong c´otiˆe´p tuyˆe´n γ1 v`a γ2 giao nhau ta.idiˆe’m z0 th`ıqua . . . ´anh xa. w = f(z)tiˆe´p tuyˆe´ncu’anh˜ung du`ong cong n`ays˜equay mˆo.t g´oc . 0 . nhu nhau v`ab˘a`ng arg f (z0). Do d´onˆe´u g´ocgi˜ua γ1 v`a γ2 b˘a`ng ϕ(γ1,γ2)th`ı . g´oc ϕ(Γ1, Γ2)gi˜ua c´aca’nh Γ1 = f(γ1)v`aΓ2 = f(γ2)c˜ung s˜eb˘a`ng ϕ(γ1,γ2). . . . . . . . Nhu vˆa.y, vˆe` dˆo. l´onv`ahu´ong g´ocgi˜ua hai du`o ng cong c˘a´t nhau ta.imˆo.t . . . . . . diˆe’ml`ab˘a`ng g´ocgi˜ua c´acdu`ong cong a’nh tuong ´ung cu’ach´ung qua ´anhxa. 0 w = f(z), f (z0) =0.6 . . . D- .inh ngh˜ıa2.3.1. Gia’ su’ γ1 v`a γ2 l`ahai du`ong cong diquadiˆe’mvˆoc`ung . 1 z = ∞. Khi d´o g´ocgi˜ua c´aca’nh cu’a γ1 v`a γ2 qua ´anhxa. ζ = ta.idiˆe’m . . . . . z ζ =0duo. cgo.i l`ag´ocgi˜ua hai du`o ng cong γ1 v`a γ2 ta.i z = ∞. . . . V´ı du. 1. Gia’ su’ hai tia γ1 v`a γ2 xuˆa´t ph´att`u diˆe’mh˜uuha.n z0. Khi d´o g´oc . . . gi˜ua γ1 v`a γ2 ta.idiˆe’m z = ∞ b˘a`ng g´ocgi˜ua hai tia d´o t a.idiˆe’m z0 v´oidˆa´u . . nguo. cla.i. . . Dˆe ’ don gia’n, ta d˘a.t z0 = 0. Gia’ su’ arg z = ϕi,i=1, 2. z∈γi . . . . Khi d´o g´ocgi˜ua γ1 v`a γ2 (theo hu´ong t`u γ1 dˆe´n γ2)ta.idiˆe’m z =0l`a ’ b˘a`ng α = ϕ2 − ϕ1.Anh cu’a c´actia γ1 v`a γ2 qua ´anhxa. ζ =1/z l`a˜γ1 − . ’ ` v`a˜γ2 v`aarg ζζ∈γ˜ = ϕi.Dod´og´ocgi˜ua˜γ1 v`a˜γ2 ta.idiˆem ζ =0b˘ang i . (−ϕ2) − (−ϕ1)=−α v`atheo d.inh ngh˜ıa2.3.1 g´ocgi˜ua hai tia γ1 v`a γ2 ta.i diˆe’m ∞ b˘a`ng −α. . . Bˆaygi`o ta nˆeura mˆo.tsˆo´ diˆe`ukiˆe.ndu’ vˆ`e su. ba’o to`ang´octa.idiˆe’m z0 qua ´anh xa. w = f(z)liˆen tu.cta.i lˆancˆa.ndiˆe’m z0 khi z0 = ∞ hay khi f(z0)=∞. . . . 1. Gia’ su’ z0 = ∞ v`a f(z0) =6 ∞. H`am ζ =1/z ´anhxa. c´acdu`o ng cong . . . . xuˆa´t ph´att`u diˆe’m z0 = ∞ th`anhc´acdu`ong cong xuˆa´t ph´att`u diˆe’m ζ =0. . Do d´o, dˆe ’ c´osu. ba’o to`anc´acg´octa.idiˆe’m z0 = ∞ qua ´anhxa. w = f(z)chı’ ` ’ . . ’ 1 ’ cˆan c´acg´octa.idiˆem ζ =0duo. cbao to`anqua ´anhxa. w = f ζ .V`adˆe
140 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . . duo. cdiˆe`ud´o ta chı’ cˆa` nc´osu. tˆo`nta.ida.o h`amkh´ac0 cu’a h`am f(1/ζ)ta.i diˆe’m ζ =0,t´u.cl`a f(1/ζ) − f(∞) lim = lim[z(f(z) − f(∞))] =06 . ζ→0 ζ − 0 z→0 . . . . . . 2. Gia’ su’ z0 =6 ∞ c`on f(z0)=∞. Trong tru`ong ho. p n`ayc´acdu`ong . . . . . cong xuˆa´t ph´att`u diˆe’m z0 duo. c ´anhxa. th`anhc´acdu`ong cong di qua diˆe’m w = ∞.Dod´odˆe ’ c´acg´octa.idiˆe’m z0 ba’o to`anqua ´anhxa. f(z)diˆe`ukiˆe.ndu’ 1 1 l`ac´acg´octaidiˆe’m z du.o.cba’o to`anqua ´anhxa ζ = = .V`adˆe ’ c´o . 0 . . w f(z) . . diˆe`ud´o, diˆe`ukiˆe.ndu’ l`atˆo`nta.i gi´oiha.nh˜uuha.n sau dˆay: 1 1 − f(z) f(z ) 1 lim 0 = lim =06 . z→z0 z − z0 z→z0 f(z)(z − z0) . . 3. Bˆaygi`o gia’ su’ z0 = ∞ v`a f(z0)=∞.Dˆe ’ ba’o to`anc´acg´octa.idiˆe’m 1 z0 = ∞ qua ´anhxa. w = f(z)diˆe`ukiˆe.ndu’ l`ac´acg´octa.idiˆe’m ζ0 = =0 z0 1 ba’o to`anqua ´anhxa ζ = .V`adˆe ’ c´odiˆe`ud´o, diˆe`ukiˆendu’ l`atˆo`ntai . 1 . . f ζ . . gi´oiha.nh˜uuha.n 1/f(1/ζ) − 1/f(∞) z lim = lim =06 . ζ→0 ζ − 0 z→∞ f(z) ´ 2.3.2 Y ngh˜ıah`ınhho. ccu’ a mˆodun da. o h`am . . . . . . Bˆaygi`o t`u diˆe’m z0 ∈ D ta ke’ tia theo hu´ong vecto donvi. ~s v`alˆa´y trˆentia . . d´o d iˆe’m z.Talˆa.pty’ sˆo´ khoa’ng c´ach gi˜ua c´aca’nh f(z0)v`af(z)v´oi khoa’ng . c´ach gi˜ua c´acdiˆe’m z0 v`a z. . . . Gi´oiha.ncu’aty’ sˆo´ n`aykhi z dˆa` ndˆe´n z0 theo tia duo. cgo.il`ahˆe. sˆo´ co ’ . . . ~s gi˜an cu’a ´anhxa. f ta.idiˆem z0 theo hu´ong vecto ~s v`ak´yhiˆe.ul`amf (z0). Nˆe´u z = z0 + ~s t ,0<t<∞ th`ı ~s |f(z0 + ~s t ) − f(z0)| 0 mf (z0) = lim = |f (z0)|. t→0 |~s t |
2.3. H`amchı’nh h`ınhv`a´anhxa. ba’o gi´ac 141 . Nhu vˆa.y, nˆe´u h`am f kha’ vi ta.idiˆe’m z0 th`ıdˆo. co gi˜antuyˆe´n t´ınhta.idiˆe’m . . 0 0 ~s 0 z0 theo hu´ong ~s qua ´anhxa. f, f (z0) =0l`ab˘a6 `ng |f (z0)|,(mf (z0)=|f (z)0)|) . . v`akhˆongphu. thuˆo.cv`aohu´ong ~s . Bˆaygi`o. gia’ su’. γ l`adu.`o.ng cong Jordan nhu. trong 1. v`aΓ=f(γ)l`aa’nh cu’a n´o. 2 2 1/2 |dz0| =(dx0 + dy0) dt = ds0, 2 2 1/2 |dw0| =(du0 + dv0) dt = dσ0 . . . . . . l`anh˜ung yˆe´utˆo´ dˆo. d`ailˆa` nluo. tcu’a γ v`aΓ ta.i c´acdiˆe’m z0 v`a w0 tuong ´ung nˆen 0 dσ0 |f (z0)| = · (2.45) ds0 . . Hˆe. th´uc (2.45) ch´ung to’ r˘a`ng qua ´anhxa. w = f(z)hˆe. sˆo´ co gi˜antuyˆe´n t´ınh ta.idiˆe’m z0 cu’amˆo.t cung γ bˆa´tk`ydi qua diˆe’md´o khˆongphu. thuˆo.c v`aoda.ng v`ahu.´o .ng cu’a γ. ´ 2.3.3 Anh xa. ba’o gi´ac . Bˆaygi`o ta c´othˆe’ ph´atbiˆe’ud.inh ngh˜ıa´anhxa. ba’o gi´ac. ´ D- .inh ngh˜ıa2.3.2. Anh xa. tˆopˆo w = f(z)=u(z)+iv(z), . ∗ . biˆe´nmiˆe`n D cu’am˘a.t ph˘a’ng ph´uc(z)lˆen miˆ`en D cu’am˘a.t ph˘a’ng ph´uc(w) . . . duo. cgo.il`a´anhxa. ba’o gi´actrong miˆe`n D nˆe´uta.imˆo˜idiˆe’m z ∈ D, g´ocgi˜ua . . . . . . . c´acdu`ong cong duo. cba’o to`an(ca’ vˆ`e dˆo. l´onv`ahu´o ng) v`adˆo. co gi˜anl`ad`ˆe u. . . . T`u 2.3.1 v`a 2.3.2 ta c´othˆe’ ph´atbiˆe’unh˜ung diˆe`ukiˆe.n m`ah`ambiˆe´nph´uc cˆa` n tho’a m˜andˆe ’ n´ol`a´anhxa. ba’o gi´ac. . D- .inh l´y2.3.1. Gia’ su’ ´anhxa. tˆopˆo w = f(z) chı’nh h`ınhtrong miˆe`n D v`a 0 f (z) =06 , ∀ z ∈ D. Khi d´o ´anhxa. w = f(z) ba’o gi´actrong miˆe`n D.
142 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . 0 Ch´ung minh. V`ı f (z) =0,6 ∀ z ∈ D nˆen dˆo. co gi˜anl`ad`ˆe u qua ´anhxa. d´o. . . . . . . Ta cˆa` nch´ung minh r˘a`ng g´ocgi˜ua c´acdu`o ng cong duo. cba’o to`anqua ´anh . . xa. d´o.Thˆa.tvˆa.y, gia’ su’ z0 l`adiˆe’mt`uy ´ythuˆo.c D, γ1 v`a γ2 l`ahai cung tron . . 0 Jordan xuˆa´t ph´att`u z0,o’ dˆay γ1 : z = z1(t), t ∈ [a, b], z0 = z1(t0), z1(t0) =06 0 . v`a γ2 : z = z2(τ), τ ∈ [a2,b2], z2 = z2(τ0), z2(τ0) =6 0, v`ag´ocgi˜ua γ1 v`a . . . γ2 l`a ϕ(γ1,γ2). Ta k´yhiˆe.ua’nh cu’a γ1 v`a γ2 tuong ´ung qua ´anhxa. f l`a Γ1 = f(γ1), Γ2 = f(γ2). Hai cung Γ1 v`aΓ2 d`ˆe udi qua diˆe’m w0 = f(z0) v`ac´o . . . . . phuong tr`ınhtuong ´ung l`a w1(t)=f[z1(t)], z1(t0)=z0 v`a w2(τ)=f[z2(τ)], 0 0 . z2(τ0)=z0. Theo gia’ thiˆe´t ta c´o w1(t0) =0v`a6 w2(τ0) =0.D6 iˆe`ud´o c hu ´ ng to’ r˘a`ng ta.idiˆe’m w0 = f(z0) hai cung Γ1 v`aΓ2 c´otiˆe´p tuyˆe´n. Ta k´yhiˆe.u g´oc . . . gi˜ua c´aca’nh Γ1 v`aΓ2 l`a ϕ(Γ1, Γ2). Trˆenco so’ (2.45) ta c´o 0 arg f(z0) = arg w1(t0) − arg z1(t0)(mod 2π), (2.46) arg f(z0) = arg w2(τ0) − arg z2(τ0)(mod 2π). . . . T`u (2.46) suy ra r˘a`ng v´oisu. sai kh´acsˆo´ ha.ng 2kπ ta c´o 0 0 0 0 arg w1(t0) − arg w1(τ0)=argz1(t0) − arg z2(τ0) hay l`a ϕ(Γ1, Γ2)=ϕ(γ1,γ2). . . . T`u d.inhl´yv`uach´ung minh suy ra r˘a`ng t´ınhchı’nh h`ınh v`ada. o h`amkh´ac . . . khˆongl`adiˆe`ukiˆe.ndu’ dˆe ’ h`am f l`a´anhxa. ba’o gi´ac.Diˆe`ud´oduo. c luˆa.nch´ung trong d.inh l´ysau dˆay. . . D- .inh l´y2.3.2. Gia’ su’ h`am w = f(z) thu. chiˆe.n ´anhxa. ba’o gi´acmiˆe`n D ∗ 0 . lˆen miˆe`n D . Khi d´o h`am f ∈H(D) v`a f (z) =06 v´oimo. i z ∈ D. . Ch´ung minh. D˘a.t∆w =∆f = f(z +∆z) − f(z), ∀ z,z +∆z ∈ D. Theo diˆe`ukiˆe.ncu’ad.inh l´y, f l`aba’o gi´acnˆenta.idiˆe’m z0 ∈ D bˆa´t k`y´anhxa.
2.3. H`amchı’nh h`ınhv`a´anhxa. ba’o gi´ac 143 . w = f(z) c´ot´ınhchˆa´tba’o to`ang´ocv`adˆo. co gi˜and`ˆe u. Do d´ov´oimo.i z1, z2 . . . . thuˆo.c lˆancˆa.ncu’a z0,v´oisu. sai kh´acda.iluo. ng vˆoc`ung b´e,ta c´o: a) arg ∆w2 − arg ∆w1 = arg ∆z2 − arg∆z1 v`ado d´o ∆w ∆w arg 2 = arg 1 = α, (2.47) ∆z2 ∆z1 b) ∆w2 ∆w1 = = A =06 , (2.48) ∆z2 ∆z1 trong d´o ∆z1 = z1 − z0, ∆z2 = z2 − z0, ∆w1 = f(z1) − f(z0), ∆w2 = f(z2) − f(z0). . . . . . . T`u hˆe. th´uc (2.47), (2.48), v´oisu. sai kh´acda.iluo. ng vˆoc`ung b´e,ta c´o ∆w ∆w 2 = 1 = A · eiα. (2.49) ∆z2 ∆z1 . . V`ı z1, z2 l`anh˜ung diˆe’mt`uy ´ytrong lˆancˆa.ndiˆe’m z0 nˆen hˆe. th´uc (2.49) . ch´ung to’ tˆo`nta.i ∆w lim ∆z→0 ∆z 0 v`ado d´otˆo`nta.ida.o h`am f (z0). V`ı A =0nˆ6 en ∆w 0 lim = f (z0) =06 . ∆z→0 ∆z V`ı z0 l`adiˆe’mt`uy ´ythuˆo.c D,nˆenf chı’nh h`ınhtrong D. 2.3.4 Anh´ xa. liˆentu. c v`a´anhxa. chı’nh h`ınh . . T`u c´acmu.c 2.3.1 - 2.3.3 cu’atiˆe´t n`ay, ta thˆa´yr˘a`ng ´anhxa. chı’nh h`ınhv´oi . . . . da.o h`amkh´ac0 duo. cd˘a.c trung bo’ i hai t´ınhchˆa´t
144 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh 1. T´ınhchˆa´tba’o to`ang´oc; 2. Dˆo. co gi˜and`ˆe u. . . . Mˆo.t b`aito´anduo. cd˘a.t ra tu. nhiˆenl`a: I) Mo.i ´anhxa. liˆentu.c w = u + iv (2.50) c´ot´ınhchˆa´tba’o to`ang´occ´opha’id`ˆe ul`achı’nh h`ınhkhˆong? (N´oic´ach kh´ac: . t´ınhchˆa´tba’o to`ang´occ´ok´eo theo su. co gi˜and`ˆe u khˆong?) . . . Ho˘a.c b`aito´antuong tu. : II) Mo.i ´anhxa. liˆentu.cc´odˆo. co gi˜and`ˆe u c´opha’i l`achı’nh h`ınh hay khˆong? . . . Ca’ hai vˆa´nd`ˆe trˆendˆay d`ˆe u c´ol`oi gia’iho. pl´ynˆe´ungayt`u d`ˆa u ta gia’ thiˆe´t . r˘a`ng dˆo´iv´oi ´anhxa. d˜a cho (2.50) c´ach`am u v`a v d`ˆe uc´oda.o h`amriˆengliˆen tu.c. . . D- .inh l´y2.3.3. Gia’ su’ phˆa`n thu. c u(z) v`aphˆa`na’o v(z) cu’a ´anhxa. f(z)= u(z)+iv(z) c´oc´acda. o h`amriˆengcˆa´pmˆo. tliˆen tu. c v`a´anhxa. f(z) c´ot´ınh 0 chˆa´tba’o to`ang´octa. imo. idiˆe’m z ∈ D. Khi d´o f ∈H(D) v`a f (z) =06 . Ch´u.ng minh. Ta c´o ∆w ∂f ∂f lim = + e−2iϕ, ∆z→0 ∆z ∂z ∂z trong d´o ϕ = lim arg∆z. ∆z→0 ∆w Theo diˆe`ukiˆe.ncu’ad.inh l´y,khi cˆo´ d.inh z th`ıarg lim khˆongphu. ∆z→0 ∆z thuˆo.c v`ao ϕ nˆen ∂w =0. ∂z ´ 2 . . D- .inh ngh˜ıa2.3.3. Anh xa. R - kha’ vi f duo. cgo.il`apha’n chı’nh h`ınh(dˆo´i chı’nh h`ınh) trong miˆ`en D nˆe´u ∂f =0 ∂z ta.imo.idiˆe’m z ∈ D.
2.3. H`amchı’nh h`ınhv`a´anhxa. ba’o gi´ac 145 Hiˆe’n nhiˆenr˘a`ng nˆe´u f ∈H(D) th`ıh`am f l`apha’nchı’nh h`ınhtrong D. . D- .inh l´y 2.3.4. Gia’ su’ u(z) v`a v(z) c´oc´acda. o h`amriˆengcˆa´p1liˆen tu. c trong ∆w ’ . miˆe`n D v`ata. imo. idiˆem z ∈ D n´oc´odˆo. co gi˜and`ˆe u, t´ucl`a lim =06 ∆z khˆongphu. thuˆo. c v`ao ϕ. Khi d´o´anhxa. w = f = u + iv l`achı’nh h`ınhho˘a. c pha’n chı’nh h`ınh. . . . Ch´ung minh. T`u hˆe. th´uc (2.7) ta c´o ∆w 2 ∂w 2 ∂w 2 ∂w ∂w n 2iϕo lim = + + 2Re · e . ∆z ∂z ∂z ∂z ∂z . T`u diˆe`ukiˆe.ncu’ad.inh l´yta r´ut ra ∂w ∂w · =0. ∂z ∂z ∂w ∂w Ta s˜ech´u.ng minh r˘a`ng ho˘ac =0,∀ z ∈ D ho˘ac =0,∀ z ∈ D. . ∂z . ∂z . . . . . Thˆa.tvˆa.y, nˆe´uca’ hai hˆe. th´ucv`ua n´oid`ˆong th`oiduo. c tho’a m˜anta.imˆo.t diˆe’m n`aod´o t h u ˆo.c D th`ıc´acda.o h`amriˆengcu’a f theo x v`a y d`ˆe ub˘a`ng 0 ta.i . diˆe’md´o.Nhung diˆe`ud´okhˆongthˆe’ xa’y ra do diˆe`ukiˆe.ncu’ad.inh l´y.V`ıc´ac ∂f ∂f h`am v`a d`ˆe u liˆentucnˆen c´actˆapho.p ∂z ∂z . . . ∂w ∂w E = nz ∈ D : =0o,E= nz ∈ D : =0o 1 ∂z 2 ∂z . . . . d`ˆe u l`anh˜ung tˆa.pho. pd´ong trong D.Nhuvˆa.ymiˆe`n D l`aho. pcu’a hai tˆa.p . ho. pd´ong khˆonggiao nhau E1 v`a E2.DoD liˆenthˆongnˆen mˆo.t trong hai . . tˆa.pho. p n`aypha’i l`atˆa.pho. p trˆo´ng. . . . Trong tru`ong ho. pnˆe´u x´et´anhxa. liˆentu.ct`uy ´yn`aod´oth`ıhai vˆa´nd`ˆe . . d˘a.t ra trˆendˆays˜etro’ nˆenrˆa´t kh´okh˘an.Tuy nhiˆen,b˘a`ng c´ach ´ung du.ng c´ac . . . . 1 phuong ph´apcu’a l´ythuyˆe´t h`ambiˆe´n thu. cdˆo´iv´oi b`aito´anI, D. Menchoﬀ . . . d˜a c hu ´ ng minh duo. cr˘a`ng 1D. Menchoﬀ, Sur la repr´esentation conforme des domaines planes, Math. Ann. 1926.
146 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . Nˆe´u ´anhxa. dondiˆe.p liˆentu. c w = f(z) c´ot´ınh chˆa´tba’o to`ang´octh`ı f(z) l`ah`amchı’nh h`ınh. . . . . . . Thˆe´ nhung dˆe´n nay ngu`oi ta chua r˜ot´ınhdondiˆe.p trong ph´ep ch´ung . . minh d.inh l´ytrˆencˆa` n thiˆe´tdˆe´nm´uc n`ao.C`ondˆo´iv´oi b`aito´anII th`ın´od˜a . . 2 . . . duo. c gia’i quyˆe´t tro.nve.n. H. Bohr d˜ach´ung minh duo. cr˘a`ng . Nˆe´u ´anhxa. dondiˆe.p liˆentu. c w = f(z) c´odˆo. co gi˜and`ˆe uta. imo. idiˆe’m z ∈ D th`ıho˘a. c f(z) l`ah`amchı’nh h`ınhho˘a. c f(z) l`apha’n chı’nh h`ınh. ’. . O dˆay, gia’ thiˆe´t“dondiˆe.p” d´ong vai tr`ocˆo´tyˆe´u. Thˆa.tvˆa.y, x´et v´ıdu. h`am z khi Im z > 0, f(z)= z khi Im z 6 0.  . . H`am f(z) liˆentu.c trˆen C nhung khˆongdondiˆe.p. H`am f(z)c´odˆo. co gi˜an d`ˆe uv`ır˘a`ng ∆w ∆z lim = lim = 1 khi Im z > 0, ∆z ∆z ∆w ∆z lim = lim = 1 khi Im z 6 0. ∆z ∆z Thˆe´ nhu.ng f(z) khˆongchı’nh h`ınhv`ac˜ung khˆongpha’nchı’nh h`ınhtrong . m˘a.t ph˘a’ng ph´uc(z). 2.4 C´ac d˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p . . ∗ Gia’ su’ D l`amiˆe`ncu’am˘a.t ph˘a’ng biˆe´nph´uc z, D l`amiˆe`ncu’am˘a.t ph˘a’ng . ∗ . . biˆe´nph´uc w. Theo d.inh ngh˜ıa, ph´ep d`ˆong phˆoi f : D → D duo. cgo. i l`amˆo. t . . −1 ph´ep d˘a’ng cˆa´unˆe´uca’ ´anh xa. f lˆa˜n ´anhxa. nguo. c f d`ˆe u chı’nh h`ınh. Ph´ep . . . d˘a’ng cˆa´umiˆe`n D lˆench´ınhn´oduo. cgo.il`aph´ep tu. d˘a’ng cˆa´u. . ∗ . . Vˆ`e sau ´anhxa. ba’o gi´ac(dondiˆe.p) f biˆe´nmiˆe`n D lˆen miˆ`en D c`onduo. c ∗ . . . go.il`ad˘a’ng cˆa´u(ba’o gi´ac), c`on D v`a D duo. cgo.i l`anh˜ung miˆe`nd˘a’ng cˆa´u 2H. Bohr, Uber¨ streckentreue und conforme Abbildung, Math. z., 1918, s, 403
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 147 . . . v´oi nhau. Trong mu.c n`ayta s˜etr`ınhb`ayc´acd˘a’ng cˆa´udon gia’n nhˆa´t thu. c . . . hiˆe.nbo’ i c´ach`amso cˆa´p ho˘a.ctˆo’ ho. pcu’a c´ach`amˆa´yc`ung mˆo.tv´ıdu. dˆe ’ tiˆe.n l`amquen v´o.i c´ach gia’i b`aito´ant`ımc´acd˘a’ng cˆa´ubiˆe´nmiˆe`n n`aylˆen miˆ`en kia. . D`ˆong th`oi thˆongqua viˆe.c tr`ınhb`ayd´o, ch´ung tˆoimuˆo´ndidˆe´nmˆo.tkˆe´t luˆa.n . . l`a:qu´atr`ınhgia’i b`aito´ant`ımd˘a’ng cˆa´ubiˆe´nmˆo.tmiˆ`en cho tru´oclˆen miˆe`n . . . kh´acduo. ctiˆe´n h`anhgˆa` n giˆo´ng nhu qu´atr`ınht`ımnguyˆenh`amcu’amˆo.t h`am . . . . . . . cho tru´ocm`ao’ dˆayc´ac´anhxa. so cˆa´ps˜eduo. c tr`ınhb`ayc´ovai tr`onhu mˆo.t “ba’ng t´ıch phˆanco. ba’n”. . . . Khi gia’i c´acb`aito´an´anhxa. ba’o gi´acta thu`ong su’ du. ng hai t´ınhchˆa´t . . sau dˆaycu’a ´anhxa. ba’o gi´ac(s˜eduo. c tr`ınhb`ayk˜y trong 7.1): . . . (i) Anh´ xa. nguo. cv´oi ´anhxa. ba’o gi´acl`a´anhxa. ba’o gi´ac. . (ii) Ho. pcu’a hai ´anhxa. ba’o gi´acl`a´anhxa. ba’o gi´ac. 2.4.1 D- ˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh . . . . ’. Anh´ xa. phˆantuyˆe´nt´ınhd˜aduo. cd`ˆe cˆa.pdˆe´n trong chuong I. O dˆay, ta s˜e . tr`ınhb`ayc´act´ınhchˆa´tcoba’n nhˆa´tcu’a ´anhxa. d´o. . . . . Anh´ xa. phˆantuyˆe´nt´ınhduo. c x´acd.inh bo’ ihˆe. th´uc az + b w = ,ad− bc =06 , (2.51) cz + d trong d´o a, b, c, d l`ac´acsˆo´ ph´u.c. . . V´oidiˆe`ukiˆe.n ad − bc =6 0 ta c´o w 6≡ const. Trong cˆongth´uc (2.51) nˆe´u c = 0 c`on d =0th`ı6 a b w = z + =˜az + ˜b. d d D´o l`amˆo.t h`amnguyˆen. ´ D- .inh l´y2.4.1. Anh xa. phˆantuyˆe´nt´ınh (2.51) l`amˆo. tph´ep d`ˆong phˆoibiˆe´n C lˆen C. . . . . Ch´ung minh. 1. Tru`o ng ho. p c = 0 l`ahiˆe’n nhiˆen.
148 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . . . . . 2. Ta x´et tru`o ng ho. p c =6 0. Gia’iphuong tr`ınh(2.51) dˆo´iv´oi z ta c´o dw − b z = ,ad− bc =06 . (2.52) −cw + a . . . D´o l`ah`amnguo. ccu’a (2.51). Anh´ xa. (2.52) don tri. trong m˘a.t ph˘a’ng C v`a . l`a´anhxa. phˆantuyˆe´n t´ınh.Do d´o (2.51) don tri. mˆo.t-mˆo.t trˆen C. d T´ınh liˆen tuccu’a (2.51) tai c´acdiˆe’m z =6 − , ∞ l`ahiˆe’n nhiˆen. B˘a`ng . . c c´ach d˘a.t a d w(∞)= ,w − = ∞ c c . . . ta thˆa´yr˘a`ng (2.51) liˆen tu.c trˆen C.D.inh l´yduo. cch´ung minh. ´ . D- .inh l´y2.4.2. Anh xa. phˆantuyˆe´n t´ınhba’o gi´ackh˘a´pnoi trˆen C. . . . . . Ch´ung minh. 1. Dˆo´iv´oi z =6 −d/c, ∞ t´ınhba’o gi´acduo. c suy t`u chˆo˜ l`ata.i c´acdiˆe’mˆa´y dw ad − bc = =06 . dz (cz + d)2 . . . . 2. Bˆaygi`o gia’ su’ hai du`ong cong γ1 v`a γ2 diquadiˆe’m z = −d/c v`a α l`a . . . ∗ g´ocgi˜ua γ1 v`a γ2 ta.idiˆe’mˆa´y. T`u 2.3.1 suy ra r˘a`ng g´ocgi˜ua c´aca’nh γ1 v`a ∗ . . . . . . γ2 cu’a γ1 v`a γ2 tuong ´ung qua ´anhxa. (2.51) ta.idiˆe’m w = ∞ (tuong ´ung v´o.i z = −d/c) l`ab˘a`ng α v`ı 1 c lim = lim =06 . z→−d/c az + b z→−d/c az + b (z + d/c) cz + d . . . . . . . . . Tru `ong ho. p z = ∞ c˜ung duo. cch´ung minh tuong tu. . ´ ∗ . . D- .inh ngh˜ıa2.4.1. Anh xa. phˆantuyˆe´n t´ınhbiˆe´nmiˆe`n D lˆen miˆ`en D duo. c ∗ . . . go.il`ad˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´nt´ınh, c`onc´acmiˆ`en D v`a D duo. cgo.i l`anh˜ung miˆe`nd˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınhv´o.i nhau.
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 149 . D- .inh l´y 2.4.3. Tˆa. pho. pmo. id˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınhlˆa. p th`anhmˆo. t nh´om, ngh˜ıa l`a . 1. Ho. p(t´ıch) c´acd˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınhl`ad˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh. . . 2. Anh´ xa. nguo. ccu’ad˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´nt´ınh l`ad˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh. . Ch´ung minh. Diˆe`u kh˘a’ng d.inh 2) l`ahiˆe’n nhiˆen. Ta ch´u.ng minh 1). Gia’ su’. a1z + b1 ζ = ,a1d1 − b1c1 =06 , c1z + d1 a2ζ + b2 w = ,a2d2 − b2c2 =06 . c2ζ + d2 Khi d´o a z + b a 1 1 + b 2 c z + d 2 w = 1 1 a1z + b1 c2 + d2 c1z + d1 (a a + c b )z +(b a + d b ) az + b = 1 2 1 2 1 2 1 2 = , (a1c2 + c1d2)z +(b1c2 + d1d2) cz + d trong d´o ad − bc =(a1d1 − b1c1)(a2d2 − b2c2) =0.6 Nhˆa. nx´et. Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng nh´omc´acd˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınhl`anh´om 1 khˆonggiao ho´an.Thˆatvˆay, gia’ su’. w(z)= , ϕ(z)=z +1. . . z Khi d´o 1 1 w(ϕ(z)) = ,ϕ(w(z)) = +1. z +1 z Do d´o w(ϕ(z)) =6 ϕ(w(z)). V`ı qua ph´epchiˆe´unˆo’ica’ du.`o.ng th˘a’ng lˆa˜ndu.`o.ng tr`ontrˆen C d`ˆe utu.o.ng . . . . . . . . u´ng v´oidu`o ng tr`ontrˆenm˘a.tcˆa` u Riemann nˆen ta c´othˆe’ quy u´ocgo.idu`ong
150 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . . . . th˘a’ng hay du`o ng tr`ontrˆenm˘a.t ph˘a’ng ph´ucd`ˆe u l`a“du`o ng tr`on”trˆen C (ta . . . . xem du`ong th˘a’ng trˆen C l`adu`ong tr`ontrˆen C diquadiˆe’m ∞), v`ago.i h`ınh . . tr`on,phˆa` n ngo`aih`ınhtr`onv`anu’ am˘a.t ph˘a’ng (h`ınhtr`onv´oi b´ank´ınh vˆo c`ung) d`ˆe u l`a“h`ınhtr`on”trˆen C. S(a, R)=|z − a| R – phˆa` n ngo`aih`ınhtr`on, −iϕ . P (R, ϕ)=z ∈ C : Re(e z) >R l`anu’ am˘a.t ph˘a’ng. Thˆa.tvˆa.y, d˘a.t e+iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, z = x + iy, ta c´o P (R, ϕ)={(x, y) ∈ R2 : x cos ϕ + y sin ϕ>R}. . D´ol`anu’ am˘a.t ph˘a’ng; . . D- .inh l´y2.4.4. D˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınhbˆa´tk`ybiˆe´n “h`ınhtr`on”(“du`ong tr`on”)th`anh“h`ınh tr`on”(tu.o.ng ´u.ng th`anh“du.`o.ng tr`on”). N´oic´ach kh´ac:“h`ınh tr`on”v`a“du.`o.ng tr`on”d`ˆe u l`abˆa´tbiˆe´ncu’a nh´om c´acd˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh. . . . . Ch´ung minh. Anh´ xa. phˆantuyˆe´n t´ınhc´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´oida.ng ho. pcu’a c´ac´anhxa.: a bc − ad 1 d w = + ξ; ξ = ; ζ = z + , c c2 ζ c . trong d´o c´ohai ´anhxa. tuyˆe´n t´ınhv`a´anhxa. ξ =1/ζ.Dˆo´iv´oi c´ac´anhxa. 1 tuyˆe´nt´ınhdinh l´y2.4.4 l`ahiˆe’n nhiˆen.Ta chı’ cˆa` nx´et ph´epnghich da’o w = . . . z . . . ’ 1. Ta x´et tru`o ng ho. p h`ınhtr`on S(a, R). Anh cu’a n´os˜el`a 1 2 2 2 − a <R, |1 − aw| <R|w|, |1 − aw| <R |w| w ⇒ 1 − 2Re(aw)+|a2||w|2 <R2|w|2. . . . Tiˆe´p theo ta x´et ba tru`ong ho. p sau
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 151 a) |a| >R.Tac´o (|a|2 − R2)|w|2 − 2Re(aw)+1 · 2 2 2 2 |a| − R R −|a| . iϕ c) Gia’ su’ |a| = R.D˘a.t a = |a|e , ϕ = arg a, ta c´o: 1 1 Re(aw) > ⇒ Re(eiϕw) > · 2 2|a| . D´ol`anu’ am˘a.t ph˘a’ng. . ∗ . . . . . 2. Dˆo´iv´oi phˆa` n ngo`aih`ınhtr`on A (a, R)d.inh l´yduo. cx´et tuong tu. . . . −iϕ 3. Bˆaygi`o ta x´etph´ep ´anhxa. nu’ am˘a.t ph˘a’ng Re(e z) > −R, R>0. A’ nh cu’a n´os˜el`a 1 w Ree−iϕ > −R ⇒ Ree−iϕ > −R w |w|2 ⇒ Re(eiϕw) > −R|w|2, v`ado d´o 2R|w|2 + 2Re(eiϕw) > 0 eiϕ 1 1 ⇒|w|2 + 2Re w + > 2R 4R2 4R2 e−iϕ 2 1 e−iϕ 1 ⇒w + > , w + > · 2 2R 4R 2R 2R
152 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . −iϕ D´o l`aphˆa` n ngo`aih`ınh tr`on.Ph´ep´anhxa. nu’ am˘a.t ph˘a’ng Re(e z) >R>0 . . . . . duo. cx´et tuong tu. . . . . . . Nhˆa. nx´et 2.4.1. Trong mo.i tru`ong ho. p, diˆe’m a duo. c ´anhxa. th`anhdiˆe’m1/a. . Diˆe’m n`aythuˆo.ca’nh h`ınhtr`on S(a, R)c`ung v´oimˆo.t lˆancˆa.nn`aod´ocu’a n´o. ´ D- .inh l´y2.4.5. Anh xa. phˆantuyˆe´n t´ınhbiˆe´nmiˆe`n th`anhmiˆ`en. . . Ch´ung minh. Gia’ su’ B l`amiˆe`n, w = ϕ(z) l`a´anhxa. phˆantuyˆe´n t´ınh, D = ϕ(B). . . . . 1. Ch´ung minh D l`atˆa.pho. pmo’ .V´oimo.i w0 ∈ D,tˆo`nta.i duy nhˆa´t . diˆe’m z0 ∈ B sao cho ϕ(z0)=w0. Gia’ su’ U(z0) ⊂ B l`alˆancˆa.ncu’adiˆe’m z0 . (h`ınhtr`onv´oi tˆam z0 nˆe´u z0 =6 ∞ ho˘a.c phˆa` n ngo`aih`ınhtr`onnˆe´u z0 = ∞). . Khi d´o theo d.inh l´y2.4.4 ta c´o ϕ(U(z0)) l`a“h`ınhtr`on”ch´uadiˆe’m w0 c`ung . . v´oimˆo.t lˆancˆa.nn`aod´ocu’a n´o.Nhu vˆa.y w0 l`adiˆe’m trong cu’a D v`ado d´o . . D l`atˆa.pho. pmo’ . . . . 2. Ch´ung minh D l`atˆa.pho. p liˆenthˆong.V`ı B l`atˆa.p liˆenthˆongnˆen t`u . d.inh l´y2.4.1 suy ra r˘a`ng D l`atˆa.pho. p liˆenthˆong. . . . Nhu vˆa.y D l`atˆa.pho. pmo’ liˆenthˆong,ngh˜ıal`a: D l`amˆo.tmiˆ`en. . . D.inh l´y 2.4.1, 2.4.2 v`a2.4.4 l`anh˜ung t´ınh chˆa´td˘a.c trung cu’a ´anhxa. phˆantuyˆe´n t´ınh. Ngo`ait´ınhba’o gi´acv`aba’o to`andu.`o.ng tr`on,nh´omc´acd˘a’ng cˆa´u phˆan tuyˆe´n t´ınhc`onc´onh˜u.ng bˆa´tbiˆe´n kh´acn˜u.a. D˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh(2.51) ch´u.a ba tham sˆo´ ph´u.cl`aty’ sˆo´ cu’aba . . . . . trong bˆo´nhˆe. sˆo´ a, b, c, d v´oihˆe. sˆo´ th´u tu (=6 0). C´actham sˆo´ n`ayduo. c x´ac . . . . . d.inh don tri. bo’ idiˆe`ukiˆe.n: ba diˆe’m cho tru´o c z1,z2,z3 cu’am˘a.t ph˘a’ng ph´uc . . . (z)biˆe´n th`anhba diˆe’m w1,w2,w3 cu’am˘a.t ph˘a’ng ph´uc(w). Diˆe`ud´o d uo. c . suy ra t`u d.inh l´ysau dˆay. D- .inh l´y2.4.6. Tˆo`nta. id˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´nt´ınh duy nhˆa´tbiˆe´nbadiˆe’m . . . kh´acnhau z1,z2,z3 ∈ C th`anhba diˆe’m kh´acnhau w1,w2,w3 ∈ C tuong ´ung. . . . D˘a’ng cˆa´ud´o d uo. cx´acd.inh theo cˆongth´uc w − w w − w z − z z − z 1 · 3 2 = 1 · 3 2 · (2.53) w − w2 w3 − w1 z − z2 z3 − z1
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 153 . . Ch´ung minh. 1.T´ınh duy nhˆa´t. Gia’ su’ ta c´ohai d˘a’ng cˆa´u w1(z)v`aw2(z) . . . tho’a m˜anc´acdiˆe`ukiˆe.ncu’ad.inh l´y.Gia’ su’ ζ2(w) l`a´anhxa. nguo. ccu’a w2(z). Ta x´et´anhxa. ζ2[w1(z)]. D´o l `a m ˆo.td˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh.D˘a’ng cˆa´u n`ayc´oba diˆe’mbˆa´tdˆo.ng z1,z2 v`a z3 v`ı w1(zk)=wk,k=1, 2, 3, ζ2(wk)=zk,k=1, 2, 3. az + b Do d´onˆe´ud˘a t ζ [w (z)] = th`ı . 2 1 cz + d azk + b = zk,k=1, 2, 3, czk + d hay l`a 2 czk +(d − a)zk − b =0,k=1, 2, 3. . . Dath´ucbˆa.c hai o’ vˆe´tr´aichı’ c´othˆe’ c´oba nghiˆe.m kh´acnhau (z1 =6 z2 =6 z3) . khi mo.ihˆe. sˆo´ cu’an´od`ˆe ub˘a`ng 0, t´ucl`aa = d, b = c =0v`aζ2[w1(z)] ≡ z hay l`a w1(z) ≡ w2(z). . . 2. D˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınhtho’a m˜andiˆe`ukiˆe.ncu’ad.inh l´yduo. c x´ac . . . . d.inh theo cˆongth´uc (2.53). Thˆa.tvˆa.y, gia’iphuong tr`ınh(2.53) dˆo´iv´oi w . . ta thu duo. c h`amphˆantuyˆe´n t´ınh. Ngo`aira khi thˆe´ c˘a.p z = z1 v`a w = w1 v`ao(2.53) th`ıca’ hai vˆe´ cu’a (2.53) d`ˆe ub˘a`ng 0. Thˆe´ c˘a.p z = z3 v`a w = w3 . . v`ao(2.53) ta thu duo. cca’ hai vˆe´ d`ˆe ub˘a`ng 1 v`acuˆo´ic`ung, thˆe´ c˘a.p z = z2 v`a . . w = w2 ta thu duo. cca’ hai vˆe´ d`ˆe ub˘a`ng ∞. . Trong h`ınh ho.c, biˆe’uth´uc z − z z − z λ = 1 : 3 1 z − z2 z3 − z2 . . duo. cgo.il`aty’ sˆo´ phi diˆe`u h`oa cu’abˆo´ndiˆe’m z,z1,z2 v`a z3. . . . . Nˆe´ubˆo´ndiˆe’m z1,z2,z,z3 n˘a`m trˆenmˆo.tdu`ong tr`on(ho˘a.cdu`o ng th˘a’ng) . th`ıty’ sˆo´ phi diˆe`u h`oal`amˆo.tsˆo´ thu. c. Thˆa.tvˆa.y
154 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . iα a) Nˆe´u c´acdiˆe’m z1,z2,z,z3 n˘a`mtrˆendu`ong th˘a’ng ζ = ζ0 + te , −∞ 0, iϕ1 iϕ2 iϕ3 . 0 6 t 6 2π, ta c´o z1 = ζ0 + re , z2 = ζ0 + re , z3 = ζ0 + re v`at`u d´ota c´o eiϕ0 − eiϕ1 eiϕ3 − eiϕ1 (z1,z2,z,z3)= : eiϕ0 − eiϕ2 eiϕ3 − eiϕ2 − − − − i ϕ0+ϕ1 i ϕ0 ϕ1 −i ϕ0 ϕ1 i ϕ2+ϕ1 i ϕ3 ϕ1 −i ϕ3 ϕ1 e 2 he 2 − e 2 i e 2 he 2 − e 2 i = − − : − − i ϕ0+ϕ2 i ϕ0 ϕ1 −i ϕ0 ϕ1 i ϕ1+ϕ3 i ϕ3 ϕ2 −i ϕ3 ϕ2 e 2 he 2 − e 2 i e 2 he 2 − e 2 i ϕ − ϕ ϕ − ϕ sin 0 1 sin 0 1 2 2 ∈ = ϕ − ϕ : ϕ − ϕ R. sin 0 2 sin 3 2 2 2 . . T`u d.inh l´y2.4.6 ta r´ut ra mˆo.t t´ınhchˆa´t quan tro.ng n˜uacu’ad˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh. Hˆe. qua’ 2.4.1. Ty’ sˆo´ phi diˆe`u h`oal`amˆo. tbˆa´tbiˆe´ncu’a nh´omc´acd˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh. ∗ . . . . D- .inh ngh˜ıa2.4.2. 1. Hai diˆe’m z v`a z duo. cgo.il`adˆo´ix´ung v´oi nhau qua . . du`ong tr`on Γ=|z − z0| = R ⊂ C nˆe´uch´ung c´oc´act´ınhchˆa´t sau: ∗ . a) z v`a z c`ung n˘a`m trˆenmˆo.t tia dit`u z0; ∗ 2 b) |z − z0|·|z − z0| = R . . . . . . . 2. Mo.idiˆe’mtrˆendu`ong tr`onΓ duo. cxeml`adˆo´ix´ung v´oich´ınh n´oqua Γ.
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 155 . . . . T`u d.inh ngh˜ıa2.4.2 suy ra r˘a`ng c´acdiˆe’mdˆo´ix´ung qua du`o ng tr`onΓ liˆen . . . hˆe. v´oi nhau bo’ ihˆe. th´uc R2 w = z0 + · z − z0 . . . Thˆa.tvˆa.y, t`u biˆe’uth´ucv`uaviˆe´t suy ra 2 |w − z0||z − z0| = R v`a arg(w − z0) = arg(z − z0). . ∗ . . Trong h`ınh ho.csocˆa´p ta biˆe´tr˘a`ng hai diˆe’m z v`a z dˆo´ix´ung v´oi nhau . . . . ∗ qua du`ong tr`onΓ khi v`achı’ khi mo.idu`ong tr`on γ ⊂ C di qua z v`a z d`ˆe u . . tru. c giao v´oiΓ. Ta c´od.inh l´ysau. . . . . D- .inh l´y2.4.7. T´ınh dˆo´ix´ung tuong hˆo˜ gi˜ua c´acdiˆe’ml`amˆo. tbˆa´tbiˆe´ncu’a nh´omc´acd˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh. . . . . Ch´ung minh. Kˆe´t luˆa.ncu’ad.inhl´yduo. csuyt`u d.inh l´y2.4.2 v`a2.4.4. . . . . . . T`u su. bˆa´tbiˆe´ncu’at´ınhdˆo´ix´ung gi˜ua c´acdiˆe’m suy ra r˘a`ng trong tru`ong . . . . . . . ho. p khi du`ong tr`onbiˆe´n th`anhdu`ong th˘a’ng, t´ınhdˆo´ix´ung tr`ung v´oi kh´ai . . . niˆe.mdˆo´ix´ung thˆongthu`ong. . Ta minh ho.aviˆe.c ´apdu.ng t´ınhbˆa´tbiˆe´ncu’a c´acdiˆe’mdˆo´ix´ung qua d˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınhb˘a`ng c´acd.inh l´ysau dˆay. . D- .inh l´y2.4.8. D˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınhbˆa´tk`ybiˆe´nnu’ am˘a. t ph˘a’ng trˆen . lˆen h`ınh tr`ondonvi. d`ˆe uc´oda. ng z − α w = eiλ , Im α>0, (2.54) z − α . trong d´o λ ∈ R l`asˆo´ thu. ct`uy´y.
156 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . . Ch´ung minh. Gia’ su’ d˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh w = w(z) ´anhxa. nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆenIm z>0lˆenh`ınh tr`on {|w| 0). . . . . Ta nhˆa.n x´etr˘a`ng diˆe’m w =0v`aw = ∞ s˜etuong ´ung v´oi c´acgi´atri. liˆen . . . . . ho. pcu’a z,dod´o c =0(v`ınˆe6 ´u c =0th`ıdiˆe’m ∞ s˜etuong ´ung v´oidiˆe’m ∞). b d C´acdiˆe’m w =0,w = ∞ s˜etu.o.ng ´u.ng v´o.ic´acdiˆe’m − v`a − .Dod´o a c b d a z − α c´othˆe’ viˆe´t − = α, − = α v`a w = · a c c z − α . . . . . V`ı c´acdiˆe’mcu’a tru.c thu. cc´oa’nh n˘a`mtrˆendu`ong tr`ondonvi.,t´ucl`a |w| = 1 khi z = x ∈ R,chonˆen − a x α a = =1 c x − α c z − α v`a a = ceiλ.Nhu. vˆay w = eiλ · . z − α . Ta ch´ung minh r˘a`ng d´o l `a d ˘a’ng cˆa´u pha’i t`ım. Thˆa.tvˆa.y, nˆe´u z = x ∈ R th`ıhiˆe’n nhiˆen |w| =1.Nˆe´uImz>0th`ız gˆa` n α ho.nsov´o.i α (t´u.cl`a |z − α| < |z − α|) v`ado d´o |w| < 1. . . Nhˆa. nx´et2.4.2. Trong ´anhxa. (2.54) g´ocquay cu’a c´acdu`ong cong ta.idiˆe’m π α l`ab˘a`ng λ − v`ıt`u. (2.54) ta c´o 2 π arg w0(α)=λ − · 2 D- .inh l´y 2.4.9. D˘a’ng cˆa´u phˆan tuyˆe´n t´ınh bˆa´tk`ybiˆe´nh`ınh tr`on {|z| < 1} lˆen h`ınh tr`on {|w| < 1} d`ˆe uc´oda. ng z − α w = eiλ , (2.55) 1 − αz . trong d´o |α| < 1, λ ∈ R l`asˆo´ thu. c t`uy´y. Ch´u.ng minh. Gia’ su’. d˘a’ng cˆa´u phˆantuyˆe´n t´ınh w = w(z)biˆe´nh`ınh tr`on {|z| < 1} lˆenh`ınhtr`on {|w| < 1} sao cho w(α)=0(|α| < 1). Theo t´ınh chˆa´tba’o to`andiˆe’mdˆo´ix´u.ng, c´acdiˆe’m w =0,w = ∞ tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac 1 diˆe’m liˆenho.p z = α v`a z = , |α| < 1. Do d´o: . α b d 1 − = α, − = , |α| < 1, a c α
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 157 v`a a z − α aα z − α w = = · c 1 c αz − 1 z − α aα z − α = − · c 1 − αz . . . . . V`ı c´acdiˆe’mcu’adu`ong tr`ondonvi. pha’ibiˆe´n th`anhc´acdiˆe’mcu’adu`ong . 2 tr`ondonvi. nˆen |w| = 1 khi |z| =1.V`ız · z = |z| nˆen zz = 1 khi |z| =1.V`ı . . sˆo´ 1 − αz v`a1 − αz liˆenho. pv´oi nhau v`a |1 − αz| = |1 − αz| nˆen nˆe´u |z| =1 th`ı |1 − αz| = |1 − αz|·|z| = |z − αzz| = |z − α|. Do d´o khi |z| = 1 th`ıta c´o: − z α =1. 1 − αz aα aα . iλ . Nhung khi d´o |w| = 1 cho nˆen =1v`a = e , λ ∈ R.Nhuvˆa.yta . . c c thu duo. c (2.55). . iθ Ta cˆa` nch´ung minh r˘a`ng d´ol`ad˘a’ng cˆa´umuˆo´n t`ım.Thˆa.tvˆa.ynˆe´u z = e iβ v`a α = r1e th`ı eiθ − r eiβ 1 − r eiβe−iθ |w| = 1 = 1 =1. −iβ iθ −iβ iθ 1 − r1e · e 1 − r1e e Nˆe´u z = reiθ (r<1) th`ı 2 2 2 2 2 2 |z − a| −|1 − αz| = r − 2rr1 cos(θ − β)+r1 − (r1r − 2r1r cos(θ − β)+1) 2 2 =(r − 1)(1 − r1) < 0 v`ado d´o |z − α|2 −|1 − αz|2 < 0v`a|w| < 1. Nhˆa. nx´et 2.4.3. V`ı dw 1 = eiλ , |α| < 1, dz z=α 1 −|α|2
158 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh cho nˆen vˆ`e m˘a.th`ınh ho.c λ b˘a`ng g´ocquay cu’a ´anhxa. (2.55) ta.idiˆe’m α: dw λ = harg i . dz z=α . . . T`u cˆongth´uc (2.55) ta c`onr´ut ra hˆe. th´uc dw 1 = 2 dz z=α 1 −|α| . v`ado d´odˆo. gi˜andˆa` ndˆe´n ∞ khi diˆe’m α dˆa` ndˆe´n biˆencu’a h`ınhtr`ondonvi Nhˆa. nx´et 2.4.4. Ph´epd˘a’ng cˆa´ubiˆe´nh`ınh tr`on {|z| <R} lˆenh`ınh tr`on 0 {|w| <R} c´oda.ng z − α w = RR0eiλ , |α| <R,λ∈ R. αz − R2 . V´ı du. 1. Gia’ su’ U1 = {|z| < 1}, U2 = {|z − 1| < 1} v`a D = U1 ∩ U2.T`ım . d˘a’ng cˆa´ubiˆe´nmiˆe`n D lˆen nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆen. . Gia’i. Giao diˆe’mcu’a c´accung tr`ongi´oiha.nmiˆe`n D l`ac´acdiˆe’m sau: √ √ 1 3 1 3 a = + i ,a∗ = − i · 2 2 2 2 . . . Gia’ su’ cung tr`ondi qua diˆe’m z =1duo. ck´yhiˆe.ul`aδ1 v`acung tr`ondi qua diˆe’m z =0l`aδ2.Ta´apdu.ng c´ac´anhxa. trung gian sau 1. Anh´ xa. √ 1 3 z − − i 2 2 z1 = √ , 1 3 z − + i 2 2 . biˆe´nmiˆe`nd˜achoD th`anhmˆo.t g´octrong m˘a.t ph˘a’ng z1 v´oid’ınh l`a z1 =0. 2π V`ı g´ocgi˜u.a hai cung tr`on δ v`a δ tai c´acdiˆe’m a c˜ung nhu. a∗ d`ˆe ub˘a`ng 1 2 . 3
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 159 2π nˆen dˆo mo’. cu’a g´ocv`u.athudu.o.cb˘a`ng .Dˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng . . 3 √ 1 3 √ 1 − − i 2 2 1 3 z1(1) = √ = − + i 1 3 2 2 1 − + i 2√ 2 1 3 z (0) = − − i 1 2 2 . . v`ado d´og´oc-a’nh thu duo. cc´oca.nh di qua diˆe’m z1(1) v`a z1(0). Ta k´yhiˆe.u g´ocd´ok`aD(z1). ´ −2πi 2. Anh xa. quay z2 = e 3 z1 biˆe´n g´oc D(z1) th`anhg´occ´omˆo.tca√.nh tr`ung 1 3 v´o.i phˆa` ndu.o.ng cu’a truc thu.c, c`oncanh kia di qua diˆe’m − + i · . . . 2 2 ´ 3/2 3. Anh xa. cˆa` n t`ımc´oda.ng w = z2 2π 3 g´occ´odˆo mo’. · = π ! . 3 2 . . . Ho. p nhˆa´t 1) - 3) ta thu duo. c √ 2z − 1+i 3 3/2 w = − √ 2z − 1 − i 3 . v`ahiˆe’n nhiˆend´o c h’ ı l`amˆo.t trong c´ach`amthu. chiˆe.n ´anhxa. pha’i t`ım. ´ . V´ı du. 2. Anh xa. miˆe`n D l`ag´oc {0 < arg z<πβ,0 <β<2} v´oi nh´at . . . . iαπ c˘a´t theo mˆo.t cung cu’adu`ong tr`ondonvi. t`u diˆe’m z =1dˆe´ndiˆe’m z = e , . 0 <α<β(h˜ayv˜eh`ınh)lˆennu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆen. . Gia’i. Ta su’ du.ng c´ac´anhxa. trung gian sau dˆay ´ 1/β . 1. Anh xa. z1 = z biˆe´n g´ocd˜a cho th`anhg´oc D(z1)c´odˆo. mo’ b˘a`ng π . . . . . i α π v´oi nh´atc˘a´t thuˆo.cdu`ong tr`ondonvi. dit`u diˆe’m z =1dˆe´ndiˆe’m z = e β . 2. Anh´ xa. phˆantuyˆe´n t´ınh z1 − 1 z2 = z1 +1 . . . biˆe´nmiˆe`n D(z1) th`anhnu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆenv´oi nh´atc˘a´t theo tru.ca’ot`u gˆo´c α toadˆo dˆe´ndiˆe’m itg π.Tak´yhiˆeumiˆe`na’nh d´ol`aD(z ). . . 2β . 2
160 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh ´ 2 ’ . 3. Anh xa. z3 = z2 biˆe´nmiˆe`n D(z2) th`anhm˘a.t ph˘ang v´oi nh´atc˘a´t theo α − tg2 π,∞ ⊂ R.Tak´yhiˆeumiˆe`nthudu.o.cl`aD(z ). 2β . . 3 Hiˆe’n nhiˆenh`amcˆa` n t`ımc´oda.ng α s z1/β − 1 2 α w = rz +tg2 π = +tg2 π. 3 2β z1/β +1 2β . Dˆe ’ kˆe´tth´uc tiˆe´t n`ay, ta ch´ung minh r˘a`ng ´anhxa. phˆantuyˆe´n t´ınh (2.51) az + b w = , ad−bc =06 biˆe´nnu’.am˘at ph˘a’ng trˆen lˆen ch´ınh n´okhi v`achı’ khi cz + d . . . mo. ihˆe. sˆo´ a, b, c, d d`ˆe u l`anh˜ung sˆo´ thu. c tho’a m˜andiˆe`ukiˆe. n ad − bc > 0. Gia’ . . su’ ´anh xa. (2.51) biˆe´nnu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆenlˆen ch´ınhn´o.Ta x´et ba diˆe’m kh´ac . ’ nhau z1,z2 v`a z3 cu’a tru.c thu. c trong m˘a.t ph˘a’ng z.Anh cu’abadiˆe’m n`ayl`a . . . nh˜ung diˆe’m biˆencu’anu’ am˘a.t ph˘a’ng Im w>0, t´uc l`ac´acsˆo´ wk = w(zk), . . . . . . . . k =1, 2, 3 l`anh˜ung sˆo´ thu. c. T`u d´o, ta thu duo. chˆe. phuong tr`ınhv´oi c´achˆe. . . . . sˆo´ thu. cdˆe ’ x´acd.inh a, b, c, d.Dod´ov´oisu. ch´ınh x´acdˆe´nmˆo.tth`uasˆo´ n`aod´o . . . . . . t`u hˆe. phuong tr`ınhtuyˆe´nt´ınhv`uathuduo. cdˆ˜e d`angsuy ra r˘a`ng c´achˆe. sˆo´ . cu’a (2.51) d`ˆe u l`athu. c. V`ı w = u + iv, z = x + iy nˆenkhi y>0 ta c´o v>0. Thay w = u + iv, z = x + iy v`ao(2.51) ta c´o y(ad − bc) v = · (cx + d)2 +(cy2) T`u. d´o suy ra ad − bc > 0. . . . . Nguo. cla.i, nˆe´u c´achˆe. sˆo´ a, b, c v`a d d`ˆe u thu. c th`ıtru.c thu. ccu’am˘a.t ph˘a’ng . . . . (z)duo. c ´anhxa. lˆentru.c thu. ccu’am˘a.t ph˘a’ng (w)v`av`ıad − bc > 0nˆen nu’ a . . . m˘a.t ph˘a’ng trˆenduo. c ´anhxa. lˆen nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆen. ´ z 2.4.2 Anh xa. w = e v`a z = log w . . Nˆe´u cho tru´ocmiˆe`n D v`ah`am f ∈H(D) th`ıta khˆongthˆe’ t`ımngay mˆo.t ∗ thuˆa.t to´ancho ph´ep t`ıma’nh D cu’amiˆe`n D qua ´anhxa. f. . . . . . . Dˆo´iv´oic´acdu`ong cong su. viˆe.c c´ogia’ndonhon. Thˆa.tvˆa.ynˆe´u z = z(t) . . . . . . l`aphuong tr`ınhcu’adu`ong cong trong m˘a.t ph˘a’ng z th`ıphuong tr`ınhcu’a . . . . du`ong cong - a’nh l`a f[z(t)]. Do d´odˆe ’ kha’o s´ata’nh cu’amˆo.tmiˆ`en cho tru´oc
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 161 . . . . tˆo´thonca’ l`atiˆe´n h`anhnhu sau: ta cho.nmˆo.tho. du`ong cong “phu’”miˆe`nd˜a . . . . cho v`at`ıma’nh cu’aho. du`ong cong d´o. Tˆa´t nhiˆen, viˆe.ccho.nho. du`ong cong . . . duo. c x´acd.inh bo’ ida.ng cu. thˆe’ cu’a h`amd˜a cho v`amiˆ`end˜a cho. . . . . Bˆaygi`o ta ´apdu.ng phuong ph´apd´odˆe ’ kha’o s´atmˆo.tsˆo´ h`amso cˆa´p. . z . . Dˆo´iv´oi ´anhxa. w = e v`a z = log w ta d˜a c´odi.pd`ˆe cˆa.pdˆe´n trong chuong . z . II. Ta luu´yr˘a`ng ´anhxa. w = e dondiˆe.p trong miˆ`en D n`aod´o khi v`achı’ khi . . . miˆe`n n`aykhˆongch´uanh˜ung c˘a.pdiˆe’m kh´acnhau z1 v`a z2 liˆenhˆe. v´oi nhau . . bo’ ihˆe. th´uc z1 − z2 =2kπi, k ∈ Z. . z D- .inh l´y2.4.10. V´oisˆo´ nguyˆen n bˆa´tk`y (n ∈ Z) h`am w = e ´anh xa. ba’o gi´acb˘angvˆoha. n Dn = {a +2nπ < Im z<b+2nπ, b − a<2π},n∈ Z (2.56) lˆen g´oc ∆={a<arg w<b}. (2.57) H`am z = log w ´anhxa. ba’o gi´acg´oc ∆={a<arg w<b} lˆen mˆo. t trong . . . c´acb˘angvˆoha. n Dn (sˆo´ n duo. cx´acd.inh bo’ i c´achcho. n nh´anhchı’nh h`ınh cu’a h`amlˆogarittrong g´oc ∆). . . . . . Ch´ung minh. 1. Dˆe ’ ch´ung minh phˆa` nth´u nhˆa´t ta x´etho. c´acdu`o ng th˘a’ng . . song song v´oi tru.c thu. c: {λ} = {λ : z = x + iα, α ∈ R}, −∞ <x<+∞. ’ . . z . . Anh cu’a c´acdu`ong th˘a’ng n`ayqua ´anhxa. e c´ophuong tr`ınhl`a: x+iα x iα x w = e = e · e =(d˘a.t e = t) = teiα,α∈ R, 0 <t<∞. Hiˆe’n nhiˆenr˘a`ng w = teiα l`aphu.o.ng tr`ınhcu’a tia {arg w = α}.
162 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . . . Bˆaygi`o ta cho α biˆe´n thiˆenliˆentu. ct`u a+2nπ dˆe´n b+2nπ. Khi d´o, du`ong . . th˘a’ng λ s˜equ´et hˆe´t b˘ang D0 v`atia a’nh cu’adu`ong th˘a’ng λ c˜ung s˜equay liˆen . . . . tu.c nguo. cchiˆe`u kim d`ˆong hˆo` t`u vi. tr´ıarg w = a dˆe´nvi. tr´ıarg w = b.T`u d´o suy ra a’nh cu’a b˘ang(2.56) v´o.i b − a 2π v`al´uc n`ay . ´anh xa. khˆongdondiˆe.p. . . . . . . Bˆaygi`o ta x´eta’nh cu’a c´acdu`ong th˘a’ng song song v´oi tru.ca’o. Phuong . . . . . tr`ınhcu’anh˜ung du`o ng th˘a’ng n`ayc´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´oida.ng λ : z = c + iy, −∞ <y<∞. . z . . T`u d´or´ut ra a’nh cu’a λ qua ´anhxa. e c´ophuong tr`ınh ez = ec+iy = ec · eiy; −∞ <y<∞. z∈λ Hiˆe’n nhiˆend´o l `a p h u .o.ng tr`ınhcu’adu.`o.ng tr`on {|w| = ec} . . . . . . duo. c v`ongquanh nhiˆ`eulˆa` n. Mˆo˜idoa.n th˘a’ng c´odˆo. d`ai2π s˜etuong ´ung v´oi . mˆo.tlˆa` n v`ongquanh d`ˆaydu’.T`u d´otar´ut ra
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 163 . z D- .inh l´y2.4.11. V´oisˆo´ nguyˆen n ∈ Z bˆa´tk`y, h`am w = e ´anhxa. ba’o gi´ac . h`ınh ch˜u nhˆa. t R = {c<Re z<d,a+2nπ < Im z<b+2nπ, b − a<2π} (2.58) lˆen h`ınh qua. t v`ong Q = {ec < |w| <ed,a<arg w<b}. (2.59) H`am z = log w ´anhxa. ba’o gi´ach`ınh qua. t v`ong (2.59) lˆen mˆo. t trong c´ac . . . . h`ınh ch˜u nhˆa. t (2.58) (sˆo´ n duo. c x´acd.inh bo’ iviˆe. c cho. n nh´anhchı’nh h`ınh cu’a h`amlˆogarittrong h`ınhqua. t). ´ . V´ı du. 3. Anh xa. b˘angvˆoha.nn˘a`m ngang {0 <y<2π} v´oi nh´atc˘a´t {−∞ 6 x 6 a, y = H} lˆenb˘ang {0 <v<2H} (h`ınhII.1) H`ınh II.1 Gia’i πz/2H . . 1. H`am z1 = e ´anh xa. miˆe`nd˜a cho lˆennu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆenv´oi nh´at c˘a´t theo doan truca’o[0,bi], b = eaπ/2H.Tak´yhiˆeumiˆe`nthudu.o.cl`aD(z ). . . √ . . 1 2 2 πz/H πa/H . 2. H`am z2 = pz1 + b = e + e ´anh xa. miˆe`n D(z1) lˆen nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆen. H`am´anhxa. cˆa` n t`ımc´oda.ng 2H H w = ln z = ln[eπz/H + eπa/H]. π 2 π
164 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh ´ . . . . . . . V´ı du. 4. Anh xa. miˆe`n gi´oiha.nbo’ idu`ong tr`ondonvi. v`adu`ong th˘a’ng λ . . . . tiˆe´px´uc v´oidu`ong tr`onta.idiˆe’m z = i lˆen nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆen. Gia’i z + i 1. H`am z = biˆe´ndiˆe’m chung cu’adu.`o .ng tr`onv`adu.`o.ng th˘a’ng λ 1 z − i . . . th`anhdiˆe’m z1 = ∞.T`u t´ınhchˆa´tba’o to`andu`ong tr`onv`at´ınhba’o gi´accu’a ´anh xa. phˆantuyˆe´n t´ınhsuy ra a’nh cu’amiˆe`n D(z) l`ab˘angvˆoha.n: D(z1)={0 < Re z1 < 1}. 2. H`am z2 = πz1 ´anh xa. b˘ang D(z1) th`anhb˘ang D(z2)={0 < Re z2 < π}. πi/2 . . . 3. H`am z3 = e z2 quay b˘angv`uathuduo. c th`anhb˘angn˘a`m ngang D(z3)={0 < Im z3 <π}. T`u. d´odˆe˜ d`angsuy r˘a`ng h`am z πi z+i w = e 3 = e z−i l`a´anhxa. pha’i t`ım. 2.4.3 H`amJukovski H`am 1 1 w = z + (2.60) 2 z . . duo. cgo.i l`ah`amJulovski. H`amn`aychı’nh h`ınhta.imo.idiˆe’m z =0,6 ∞; trong d´o dw 1 1 = 1 − dz 2 z2 . . . v`ac´ocu. cdiˆe’mdonta.ic´acdiˆe’m z =0;∞.Dod´oh`amJukovski dondiˆe.p . ta.imˆo˜idiˆe’m z =6 ±1v`ıw(z) =6 0 khi z =6 ±1 v`akhˆongdondiˆe.pta.idiˆe’m z = ±1.
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 165 . . Ta lu u´yr˘a`ng h`amJukovski dondiˆe.p trong miˆ`en D n`aod´o khi v`achı’ khi . . . . miˆe`n D khˆongch´uanh˜ung c˘a.pdiˆe’m kh´acnhau z1,z2 liˆenhˆe. v´oi nhau bo’ i . d˘a’ng th´uc z1z2 =1. 1 Ta nhˆanx´et r˘a`ng v`ı w(z) ≡ w nˆen a’nh cu’amiˆe`n D v`amiˆe`n D = . z 1 nt = : z ∈ Do l`atr`ung nhau. Dˆe ’ kha’o s´at´anhxa. (2.60) ta x´et c´acho. . . z . . du`o ng cong l`a:ho. c´acdu`o ng tr`on {|z| = r} v`aho. c´actia {arg z = ϕ}. . . D`ˆau tiˆenta t`ıma’nh cu’aho. du`o ng tr`on. iθ . . Ta d˘a.t z = re , w = u + iv v`athu duo. c 1 1 u + iv = reiθ + e−iθ, 2 r hay l`a 1 1 u = r + cos θ 2 r   (2.61) 1 1 v = r − sin θ. 2 r  Ta x´et du.`o.ng tr`on γ(ρ)=z = ρeiθ, 0 6 θ 6 2π , (2.62) . (ρ>0l`asˆo´ cˆo´ d.inh). T`u (2.61) suy ra r˘a`ng qua ´anhxa. Jukovski, a’nh cu’a du.`o .ng tr`on(2.62) l`aelip 1 1 u = ρ + cos θ, 2 ρ   (2.63) 1 1 v = ρ − sin θ, 2 ρ  . v´oi c´acb´antru.cl`a 1 1 1 1 a(ρ)= ρ + ,b(ρ)= ρ − 2 ρ 2 ρ v`av´o.i c´actiˆeudiˆe’ml`aw = ±1(v`ıa2(ρ) − b2(ρ) = 1). B˘a`ng c´ach khu’. tham . . . . . . . sˆo´ θ t`u phuong tr`ınh(2.63) ta thu duo. cda.ng ch´ınh t˘a´ccu’aphuong tr`ınh
166 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh elip u2 v2 + =1,ρ=16 . (2.64) a2(ρ) b2(ρ) 1 1. Tru.`o.ng ho.p 0 0 v`agia’mt`u. a(ρ)dˆe´n 0, c`on v 1. Trong tru`ong ho. p n`ayhu´ong cu’adu`o ng tr`on (2.62) v`aelip - a’nh cu’a n´otrong m˘a.t ph˘a’ng w l`atr`ung nhau v`acha.y theo hu.´o.ng du.o.ng. . . . . . . . . 3. Tru`ong ho. p r = 1. Trong tru`ong ho. pn`aydu`o ng tr`on {|z| =1} c˜ung . biˆe´n th`anhelip v´oi c´acb´antru.c a(ρ)=1,b(ρ) = 0 ngh˜ıal`abiˆe´n th`anhnh´at c˘a´t[−1, +1] ⊂ R. Bˆaygi`o. ta x´etc´actia z = reiα, 0 <r<∞ (2.65) . . (α l`asˆo´ cˆo´ d.inh). Qua ´anhxa. Jukovski a’nh cu’a tia (2.65) l`adu`ong cong 1 1 u = r + cos α, 2 r   0 <r<+∞ (2.66) 1 1 v = r − sin α. 2 r  . . . . B˘a`ng c´ach khu’ tham sˆo´ r t`u (2.66) ta thu duo. c u2 v2 kπ − =1,α=6 ,k∈ Z. (2.67) cos2 α sin2 α 2 . . . . . Du`ong cong (2.67) l`adu`ong hypecbˆonv´oi tiˆeudiˆe’mta.i w = ±1, dˆ˜e d`ang . . . . . ch´ung minh r˘a`ng c´acc˘a.pdu`o ng k´ınh dˆo´ix´ung v´oi nhau qua c´actru.cto.adˆo.
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 167 . (lˆa.pnˆent`u c´acb´ank´ınh z = ±r(cos α ± i sin α), 0 6 r<1) . . . duo. c ´anhxa. th`anhc´achypecbˆonkhˆongkˆe’ d’ınh, v´oitiˆeudiˆe’m ±1 v`ac´ac b´antru.c | cos α|, | sin α|. Khi α = 0 ta c´o 1 1 u = r + ,v=0 (06 r<1). 2 r . . . Do d´o a’nh cu’adu`ong k´ınh n˘a`m ngang cu’ah`ınh tr`ondonvi. l`akhoa’ng vˆo . ha.ncu’a tru.cdit`u diˆe’m −1dˆe´ndiˆe’m +1 qua ∞. π Khi α = ta c´o 2 1 1 u =0,v= − − r, 0 6 r<1. 2 r . . . . T`u d´odˆe˜ d`angsuy ra a’nh cu’adu`ong k´ınh th˘a’ng du´ng l`ato`anbˆo. tru.ca’o . tr`u gˆo´cto.adˆo . . Hiˆe’n nhiˆenr˘a`ng qua ´anhxa. Jukovski hai ho. du`ong cong (2.64) v`a(2.67) . . tru. c giao v´oi nhau do t´ınhba’o gi´accu’a ´anhxa. (2.60). Ta c´od.inh l´ysau dˆay: 1 1 D- inh l´y2.4.12. H`amJukovski w = z + : . 2 z . . 1. Anh´ xa. du`ong tr`on {|z| = ρ} th`anhelip (2.64) 0 <ρ<1. . 2. Anh´ xa. ba’o gi´ach`ınhtr`ondonvi. {|z| < 1} lˆen to`anbˆo. m˘a. t ph˘a’ng . d´ong tr`u nh´atc˘a´t theo doa. n [−1, +1] ⊂ R. . . Ch´ung minh. 1. Diˆe`u kh˘a’ng d.inh th´u nhˆa´t l`ahiˆe’n nhiˆen. 1 1 1 1 2. V`ı a(ρ)= ρ + , b(ρ)=− ρ − , nˆen nhu. ta d˜an´oio’. trˆenelip 2 ρ 2 ρ . . . . . . . . (2.64) cha.y theo hu´ong ˆamkhi v`ongquanh du`o ng tr`ontheo hu´ong duong. a) Khi ρ → 0 ta c´o lim a(ρ)=∞, lim b(ρ)=∞, ρ→0 ρ→0 lim(a(ρ) − b(ρ)) = lim ρ =0. ρ→0 ρ→0
168 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . T`u d´o suy ra r˘a`ng khi ρ → 0 th`ıc´acelip to dˆa` n ra v`atr`ondˆa` nla.i. b) Khi ρ → 1 − 0 ta c´o lim a(ρ)=1, lim b(ρ)=0. ρ→1−0 ρ→1−0 . T`u d´o suy ra r˘a`ng c´acelip a’nh co - de.tdˆa` n th`anhdoa.n[−1, +1] ⊂ R. . . . . . . . . . Ta x´et su. tuong ´ung gi˜uadu`ong tr`ondonvi. v`ac´acb`o cu’a nh´atc˘a´t [−1, +1]. Khi r → 1 − 0v`a0 1}.Anh cu’aho. n`ayqua ´anhxa. (2.60) l`anh˜ung elip cha.y . . . . . theo hu´ong duong v`av´oi c´acb´antru.cl`a 1 1 1 ! a(ρ)= ρ + ,b(ρ)= ρ − . 2 ρ 2 ρ a) Khi ρ → 1 + 0 ta c´o lim a(ρ)=1, lim b(ρ)=0. . . . . Do d´o c´acelip (2.60) co - de.tdˆa` n th`anhdoa. n[−1, +1]. Ta x´etsu. tuong ´ung gi˜u.adu.`o.ng tr`onv`anh´atc˘a´t[−1, +1]. Khi ρ → 1 + 0, v`a0 <θ<πta c´o v → +0 v`akhi ρ → 1+0v`aπ<θ<2π ta c´o v →−0. . . . . . T`u d´or´ut ra kˆe´t luˆa.n: nu’ adu`ong tr`ontrˆenbiˆe´n th`anhb`o trˆencu’a nh´at c˘a´tv`anu’.adu.`o.ng tr`ondu.´o.ibiˆe´n th`anhb`o. du.´o.icu’a nh´atc˘a´t[−1, +1].
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 169 b) Khi ρ →∞ta c´o lim a(ρ)=∞, lim b(ρ)=∞ 1 lim[a(ρ) − b(ρ)] = lim =0. ρ Do d´o c´acelip - a’nh to dˆa` n ra v`atr`ondˆa` nla.i. Nhˆa. nx´et 2.4.6. Ta.i c´acdiˆe’m z = ±1, ´anhxa. Jukovski khˆongba’o gi´ac.Thˆa.t . vˆa.yt`u (2.60) ta c´o 1 1 w − 1 z + − 1 z2 +1− 2z = 2 z = w +1 1 1 z2 +1+2z z + +1 2 z z − 1 2 = . (2.68) z +1 . Bˆaygi`o ta d˘a.t z − 1 1+ω ζ = ; ω = ζ2; w = · (2.69) z +1 1 − ω . . T`u d´o ta suy ra r˘a`ng ´anhxa. Jukovski l`aho. pcu’a ba ´anhxa. (2.69). Anh´ xa. . . . . th´u nhˆa´t v`ath´u ba ba’o gi´ackh˘a´pnoi trˆen C, ´anhxa. th´u hai khˆongba’o gi´ac . . . . . . . ta.idiˆe’m ζ = 0 (tuong ´ung v´oidiˆe’m z = 1) v`ata.idiˆe’m ζ = ∞ (tuong ´ung v´o.idiˆe’m z = −1). . . . . . . Bˆaygi`o ta x´et ´anhxa. nguo. cv´oi ´anhxa. Jukovski. Gia’iphuong tr`ınh . . . (2.60) dˆo´iv´oi z,tat`ımduo. c √ z = w + w2 − 1 . nhu vˆa.y h`am √ w = z + z2 − 1 (2.70) . . . l`ah`amnguo. cdˆo´iv´oi h`amJukovski. H`amn`ayl`ah`amda tri.:mˆo˜idiˆe’m z s˜e . . . . . . . tuong ´ung v´oi hai gi´atri. w1 v`a w2 liˆenhˆe. v´oi nhau bo’ ihˆe. th´uc w1w2 =1.
170 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh Trong miˆ`en D = C \ [−1, +1] h`am(2.70) c´othˆe’ t´ach th`anhhai nh´anh chı’nh h`ınh:mˆo.t nh´anhs˜e´anhxa. ba’o gi´acphˆa` n ngo`aidoa.n[−1, +1] lˆen phˆa` n . ngo`aih`ınh tr`ondonvi., c`onnh´anhkia ´anhxa. phˆa` n ngo`aidoa.n[−1, +1] lˆen . phˆa` n trong cu’a h`ınhtr`ondonvi . . . Ta nhˆa.n x´etr˘a`ng hai nh´anhchı’nh h`ınhv`ua n´oitrˆendˆay khˆongthˆe’ duo. c . . . . d˘a.c trung bo’ idˆa´ucu’a c˘anth´uc. Thˆa.tvˆa.y, ta x´et nh´anhth´u nhˆa´t: nh´anh ´anh xa miˆe`n D = C \ [−1, +1] lˆenphˆa` n ngo`aih`ınhtr`ondo.nvi.Taidiˆe’m . √ . . √ z = 2 n´onhˆa.n gi´atri. (2+ 3), v`ata.idiˆe’m z = −2 n´onhˆa.n gi´atri. −(2+ 3). ´ . . . V´ı du. 5. Anh xa. nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆenc˘a´tbo’ nu’ a trˆencu’ah`ınh tr`ondonvi. . v`atia {x =0,y >2} lˆen nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆen(h`ınhII.2). H`ınh II.2 . Gia’i. Ta su’ du.ng c´ac´anhxa. trung gian sau dˆay 1. H`am 1 1 z = z + 1 2 z . . . ´anh xa. miˆe`n D(z)lˆen nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆentr`u nh´atc˘a´t theo tru.ca’odit`u 3 i.Tak´yhiˆeumiˆe`n n`ayl`a D(z ). 4 . 1 2 ’ . 2. H`am z2 = z1 ´anh xa. miˆe`n D(z1)lˆen to`anbˆo. m˘a.t ph˘ang z2 tr`u nh´at 9 c˘a´t −∞, − v`a[0, ∞). Ta chı’ miˆe`nthudu.o.cl`aD(z ). 16 . 2 ´ z2 +9/16 3. Anh xa. phˆantuyˆe´n t´ınh z3 = biˆe´nmiˆe`n D(z2) th`anhmiˆe`n z2
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 171 + . D(z3)=C \ R .T`u c´ac´anhxa. 1) - 3) suy ra r˘a`ng: √ √ 4z4 +17z2 +4 w = z = · 3 2(z2 +1) x2 y2 V´ı du 6. Anh´ xa phˆa` n ngo`aielip + =1lˆen phˆa` n ngo`aih`ınh tr`ondo.n . . 25 16 vi . Gia’i. Ta su’ du.ng c´ac´anhxa. trung gian sau dˆay: 1. V`ıelip d˜a cho c´otiˆeudiˆe’mta.ic´acdiˆe’m √ c = ± 25 − 16 = ±3, z nˆen d`ˆau tiˆenta d`ung ´anhxa z = v`athu du.o.c elip v´o.itiˆeudiˆe’m ±1. . 1 3 . 2 . . . 2. H`am z2 = z1 + pz1 − 1 ´anhxa. h`ınhelip v`uathuduo. clˆen h`ınh tr`on {|z2| < 3}. z 3. Anh´ xa d`ˆong dang w = 2 cho ta a’nh cu’amiˆe`nv`u.athudu.o.c l`ah`ınh . . 3 . . . tr`ondonvi Nhuvˆa.y ´anhxa. cˆa` n t`ıml`a √ z + z2 − 9 w = · 3 π V´ı du 7. Anh´ xa h`ınhquat Q = n|z| < 1, 0 < arg z< o trong d´o n ∈ N . . . n lˆench´ınhn´osao cho c´acdoa.n |z| 6 α, arg z =0 , 0 <α<1 v`a π |z| 6 α, arg z = , 0 <α<1 n . . . biˆe´n th`anhdoa.n b´ank´ınhtuong ´ung. . Ta su’ du.ng c´ac´anhxa. trung gian sau: n . . 1. H`am z1 = z ´anh xa. h`ınhqua.t Q lˆen nu’ a trˆencu’a h`ınhtr`ondon vi Doa.n b´ank´ınh[0,α]biˆe´n th`anhdoa.n[0,αn], doa.n[0,αeiπ/n] th`anhdoa.n [0, −αn].
172 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh 1 1 . . . . 2. H`am z2 = z2 + biˆe´nmiˆe`nv`uathuduo. c th`anhnu’ am˘a.t ph˘a’ng 2 z2 1 1 du.´o.iv`adoan[−αn,αn]biˆe´n th`anhphˆa` n biˆent`u. − (αn + α−n)dˆe´n (αn + . 2 2 − α n)di qua ∞.Tak´yhiˆe.u phˆa` nbiˆend´ol`aλ(α). . . 2 . 3. H`amnguo. ccu’a h`amJukovski z4 = z3 + pz3 − 1biˆe´nmiˆe`nv`uathu . . . . . . duo. c lˆen nu’ a trˆencu’a h`ınhtr`ondonvi. v`adu`ong k´ınhn˘a`m ngang l`aa’nh cu’a phˆa` nbiˆent`u. −1dˆe´n +1 (qua ∞). . Anh´ xa. ho. p trong kˆe´t qua’ b˘a`ng w =(αn + α−n)−1/nqzn − z−n + p(zn + z−n)2 − (αn + α−n)2 . 2.4.4 C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p kh´ac . . . . C´acd˘a’ng cˆa´usocˆa´pduo. c nghiˆen c´uu trong 2.4.1, 2.4.2 v`a 2.4.3 mang la.i . . . . cho ta mˆo.tdu. tr˜u cu.ck`y quan tro.ng c´ac´anhxa. co ba’n. Nh`o c´acd˘a’ng cˆa´u . . . . n`ayta c´othˆe’ xˆaydu. ng c´ac´anhxa. thu. chiˆe.nbo’ i c´ach`amso cˆa´p kh´ac.Thˆa.t vˆa.y, khi biˆe´t c´ac´anhxa. w = f(ζ)v`aζ = ϕ(z) ta s˜ebiˆe´tca’ ´anh xa. f[ϕ(z)] . (ph´epho. p c´ac´anhxa.). . . . . . Anh´ xa. so cˆa´pcoba’nbˆa´tk`yd`ˆe uc´othˆe’ biˆe’udiˆe˜ndu´o ida.ng ho. pmˆo.tsˆo´ . n`aod´o c´ac´anhxa. m`ata d˜a nghiˆenc´uu trong 1. 2. v`a 3. Thˆa.tvˆa.y, ta x´et . . . . . c´ac´anhxa. so cˆa´p thu. chiˆe.nbo’ i c´ach`amluo. ng gi´acsau dˆay: 1. H`am w = cos z. Theo d.inh ngh˜ıata c´o eiz + e−iz cos z = · (2.71) 2 . Anh´ xa. n`ayl`aho. pcu’a ba ´anhxa. 1 1 a) ζ = iz;b)ω = eζ;c)w = ω + , trong d´omoi ´anhxa trung gian 2 ω . . . . . d`ˆe ud˜aduo. c kha’o s´ato’ trˆen. . Gia’ su’ qua ´anhxa. a) a’nh cu’amiˆe`n D l`amiˆe`n D1, qua ´anhxa. b) a’nh ∗ ´ cu’amiˆe`n D1 l`a D2 v`aqua ´anhxa. c) a’nh cu’amiˆe`n D2 l`amiˆe`n D . Anh xa. . . . a) dondiˆe.p kh˘a´pnoi, ´anhxa. b) dondiˆe.p trong miˆe`n D1 khi v`achı’ khi D1 . . . . . khˆongch´uanh˜ung c˘a.pdiˆe’m ζ1 v`a ζ2 liˆenhˆe. v´oi nhau bo’ ihˆe. th´uc ζ1 − ζ2 =2kπi, k ∈ Z
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 173 hay l`a z1 − z2 =2kπ, k ∈ Z. ´ . . . Anh xa. c) dondiˆe.p trong miˆ`en D2 khi v`achı’ khi D2 khˆongch´uanh˜ung c˘a.p . . . diˆe’mliˆenhˆe. v´oi nhau bo’ ihˆe. th´uc ω1ω2 =1, hay l`a D khˆongch´u.anh˜u.ng diˆe’mm`a eiz1 · eiz2 = ei(z1+z2) =1 t´u.cl`aD khˆongch´u.anh˜u.ng diˆe’mm`a z1 + z2 =2kπ. . . T`u d´o suy ra r˘a`ng ´anhxa. (2.71) dondiˆe.p trong miˆ`en D n`aod´o khi v`achı’ . . khi miˆe`n D khˆongch´uanh˜ung diˆe’mm`az1 − z2 =2kπ, ho˘a.c z1 + z2 =2kπ. . . 2. H`am w = sin z.T`u hˆe. th´uc π sin z = cos z − 2 . . suy r˘a`ng ´anhxa. w = sin z kh´acv´oi ´anhxa. cos z bo’ i ph´epdi.ch chuyˆe’nm˘a.t ph˘a’ng z. . . Anh´ xa. w = sin z c˜ung c´othˆe’ biˆe’udiˆe˜n qua c´ac´anhxa. d˜a nghiˆenc´uuo’ trˆen.Ta biˆe´tr˘a`ng, theo d.inh ngh˜ıa eiz − e−iz sin z = (2.72) 2i . v`ado d´o ´anhxa. n`ayl`aho. pcu’abˆo´n ´anhxa.: 1 1 a) z = iz;b)z = ez1 ;c)z = −iz ;d)w = z + = sin z, 1 2 3 2 2 3 z . . . . 3 trong d´o m ˆo˜i ´anhxa. v`uaviˆe´td`ˆe ud˜aduo. c nghiˆen c´uu. 3. Anh´ xa. w =tgz. Theo d.inh ngh˜ıata c´o sin z tg z = (2.73) cos z
174 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh v`ado d´ot`u. (2.71) v`a(2.72) r´ut ra: eiz − e−iz e2iz − 1 tg z = −i = −i · eiz + w−iz e2iz +1 . Do d´o ´anhxa. (2.73) l`aho. pcu’a ba ´anhxa. quen biˆe´t sau dˆay z2 − 1 a) z =2iz;b)z = ez1 ;c)w = −i · 1 2 z +1 . . . 2 . 4. C˜ung tuong tu. , ´anhxa. w = cotg z c˜ung l`aho. pcu’a ba ´anhxa. quen biˆe´t z2 +1 a) z =2iz;b)z = ez1 ;c)w = i , 1 2 z − 1 2 . . trong d´omo.i ´anhxa. trung gian d`ˆe ud˜aduo. cx´et. α α αlnz . 5. H`am w = z , α ∈ R.Tac´oz = e . Anh´ xa. n`ayl`aho. pcu’a c´ac ´anh xa. trung gian sau dˆay: z2 a) z1 =lnz;b)z2 = αz1;c)w = e . (2.74) V´ıdu.:Tat`ıma’nh cu’a g´oc D(z)=a<arg z<b,b− a 6 2π α . qua ´anhxa. w = z (t´uc l`a´anhxa. (2.74)). Qua ´anhxa. a) g´oc D(z)biˆe´n th`anhmˆo.t trong c´acb˘angsau D(z1)=a +2kπ < Im z1 <b+2kπ,k ∈ Zo . . (sˆo´ k duo. c x´acd.inh b˘a`ng viˆe.ccho.n nh´anhcu’a logarit trong g´oc D(z)). Qua ´anhxa. b) b˘ang D(z1)biˆe´n th`anhb˘ang D(z2)=αa + α2kπ < Im z2 <αb+ α2kπ,k ∈ Z . v´oidiˆe`ukiˆe.nl`aα(b − a) 6 2π. Do d´o qua ´anhxa. w = zα g´ocd˜a cho c´oa’nh l`amˆo.t trong c´acg´ocsau αa + α2kπ < arg w<αb+ α2kπ,k ∈ Z nˆe´u b − a 6 2π v`a α(b − a) 6 2π.
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 175 2.4.5 Mˆo.tsˆo´ v´ı du. . . . C´ac´anhxa. ba’o gi´acd˜a x ´e t o’ trˆenl`anh˜ung ´anhxa. “mˆa˜u”. Nh`o c´ac´anhxa. . d´o,ta c´othˆe’ t`ım´anhxa. ba’o gi´acc´acmiˆ`endon gia’n kh´ac. V´ı du. 8. T`ım ´anhxa. ba’o gi´ach`ınh tr`on {|z| 0. Khi d´o c´acdiˆe’m z = e biˆe´n th`anh z1 = e = i v`adiˆe’m z =0 . . . biˆe´n th`anhdiˆe’m z1 = 0. Bˆaygi`o ta ´anhxa. nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆenv`uathu . . duo. clˆen h`ınh tr`on {|z2| < 1} sao cho diˆe’m z1 = i biˆe´n th`anhtˆamcu’a h`ınh tr`on z1 − i z2 = k · z1 + i
176 Chu.o.ng 2. H`amchı’nh h`ınh . . . Sˆo´ k duo. c x´acd.inh t`u diˆe`ukiˆe.nl`adiˆe’m z1 =0biˆe´n th`anhdiˆe’m z2 =1.Dˆe˜ d`angthˆa´yr˘a`ng k = −1. T`u. d´osuy ra r˘a`ng h`am: z4 − i i − z4 w = − = z4 + i i + z4 l`a´anhxa. cˆa` n t`ım. . . V´ı du. 10. T`ım ´anhxa. phˆantuyˆe´n t´ınhbiˆe´nmiˆe`n nhi. liˆengi´oiha.nbo’ i hai du.`o.ng tr`on γ = {|z − 3| =9} v`aΓ = {|z − 8| =16} lˆenv`anhd`ˆo ng tˆamv´o.i tˆamta.idiˆe’m w = 0 sao cho b´ank´ınh ngo`aicu’a v`anhb˘a`ng 1. Gia’i. Diˆe’m w =0v`aw = ∞ d`ˆong th`o.idˆo´ix´u.ng v´o.i nhau qua hai du.`o.ng . tr`onbiˆencu’a v`anhd`ˆong tˆam.T`u d´o, theo d.inh l´y2.4.7 c´acnghi.ch a’nh cu’a w =0v`aw = ∞ c˜ung s˜ed`ˆong th`o.idˆo´ix´u.ng qua hai du.`o.ng tr`onΓ v`a γ.Ta . x´acd.inh c´acnghi.ch a’nh n`ay. V`ıtˆamcu’aΓv`aγ n˘a`m trˆentru.c thu. cnˆen c´ac . diˆe’mcˆa` nt`ımc˜ung n˘a`m trˆentru.c thu. c. Ta k´yhiˆe.u c´acdiˆe’mˆa´yl`ax1 v`a x2. Theo d.inh ngh˜ıa9.2 ta c´o (x1 − 3)(x2 − 3) = 81, (x1 − 8)(x2 − 8) = 256. . . Gia’ihˆe. phuong tr`ınhn`ayta c´o: x1 = −24, x2 = 0 (ho˘a.c x1 =0,x2 = −24). . . . . . Mˆo.t trong hai diˆe’mv`uat`ımduo. ccˆa` nduo. c ´anhxa. lˆen diˆe’m w = 0, c`ondiˆe’m kia lˆendiˆe’m w = ∞. a) Gia’ su’. w = 0 khi z = −24 v`a w = ∞ khi z = 0. Khi d´o z +24 w = k , (2.75) z . . trong d´o h ˆe. sˆo´ k cˆa` nduo. c x´acd.inh. V`ı ´anhxa. (2.75) biˆe´ndiˆe’m z = 0 th`anh . . . . diˆe’m w = ∞ nˆenphˆa` n trong cu’amˆo˜idu`ong tr`ontrong m˘a.t ph˘a’ng z s˜eduo. c . . . ´anh xa. lˆenphˆa` n ngo`aicu’aa’nh tuong ´ung. V`ı γ n˘a`m trong Γ nˆen qua ´anh . . . . . . xa. (2.75) b´ank´ınhcu’aa’nh du`ong tr`on γ s˜el´onhonb´ank´ınh cu’aa’nh du`ong . . . tr`onΓ. T`u d´ohˆe. sˆo´ k cˆa` nduo. c x´acd.inh sao cho |w| = 1 khi z ∈ γ. Ch˘a’ng . . . ha.ntax´et diˆe’m z =12∈ γ. Gi´atri. w tuong ´ung s˜el`a w =3k; |w| =3k = 1 hay l`a k =1/3.
2.4. C´acd˘a’ng cˆa´uso. cˆa´p 177 . . . . Nhu vˆa.y, trong tru`ong ho. p n`ayta c´o: 1 z +24 w = eiα,α∈ R. (2.76) 3 z b) Nˆe´utad`oi ho’i w = 0 khi z =0v`aw = ∞ khi z = −24 th`ıc˜ung tu.o.ng . . . tu. nhu o’ trˆenta c´o: 2z w = eiα · (2.77) z +24 . . . . Nhˆa. nx´et 2.4.7. Trong diˆe`ukiˆe.ncu’a b`aito´anngu`oi ta chı’ cho tru´o c b´an k´ınh ngo`aicu’a v`anhtr`on.Ta s˜ech´u.ng to’ r˘a`ng khi d´o b´ank´ınhtrong c˜ung ho`anto`anx´acd.inh. Thˆa.tvˆa.y, b˘a`ng c´ach thˆe´ v`ao(2.76) ho˘a.c (2.77) mˆo.tdiˆe’mbˆa´tk`yn˘a`m trˆen du.`o .ng tr`onc´oa’nh l`adu.`o.ng tr`ontrong cu’a v`anhtr`on,dˆ˜e d`angthˆa´yr˘a`ng . b´ank´ınh trong b˘a`ng 2/3. T`u d´osuy ra r˘a`ng miˆe`n nhi. liˆend˜a cho chı’ c´othˆe’ . ´anh xa. lˆenv`anhtr`onm`aty’ sˆo´ gi˜ua b´ank´ınhtrong v`ab´ank´ınhngo`aib˘a`ng 2/3. ´ . V´ı du. 11. Anh xa. b˘angvˆoha.n {0 <x<1} v´oi c´acnh´atc˘a´tdo.c theo c´ac tia 1 1 nx = ,h 6 y<∞o v`a nx =+ , −∞ <y6 h o. 2 1 2 2 . trong d´o h2 <h1 (H`ınhII.3) lˆen nu’ am˘a.t ph˘a’ng trˆen. . Gia’i. Ta su’ du.ng c´ac´anhxa. trung gian sau dˆay: 1. H`am z1 =2πiz ´anhxa. miˆe`n D(z)lˆen miˆ`en D(z1) l`ab˘angn˘a`m ngang . {0 < Im z1 < 2π} v´oi hai nh´atc˘a´t(−∞,πi− 2πh1]v`a[πi +2πh1, ∞). z1 2. H`am z2 = e ´anhxa. miˆe`n D(z1)lˆen miˆ`en −2πh1 −2πh2 D(z2)=C \ [(−∞, −e ] ∪ [e , ∞]. . T`u d´o suy ra r˘a`ng ´anhxa. cˆa` n t`ımc´oda.ng se2πiz + e−2πh1 w = · e2πiz + e−2πh2