Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 12: Tải trọng động

Nội dung text: Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 12: Tải trọng động

1. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng Ch−¬ng 12. t¶i träng ®éng I. Kh¸i niÖm 1. T¶i träng tÜnh, t¶i träng ®éng ⇒ T¶i träng tÜnh tøc lμ nh÷ng lùc hoÆc ngÉu lùc ®−îc ®Æt lªn m« h×nh kh¶o s¸t mét c¸ch tõ tõ, liªn tôc tõ kh«ng ®Õn trÞ sè cuèi cïng vμ tõ ®ã trë ®i kh«ng ®æi, hoÆc biÕn ®æi kh«ng ®¸ng kÓ theo thêi gian. ⇒ T¶i träng t¸c dông mét c¸ch ®ét ngét hoÆc biÕn ®æi theo thêi gian, vÝ dô nh÷ng t¶i träng xuÊt hiÖn do va ch¹m, rung ®éng, v.v nh÷ng t¶i träng nμy ®−îc gäi lμ t¶i träng ®éng. ⇒ Mét c¸ch tæng qu¸t, ta gäi nh÷ng t¶i träng g©y ra gia tèc cã trÞ sè ®¸ng kÓ trªn vËt thÓ ®−îc xÐt, lμ nh÷ng t¶i träng ®éng. 2. Ph©n lo¹i t¶i träng ®éng ⇒ Bμi to¸n chuyÓn ®éng cã gia tèc kh«ng ®æi w=const, vÝ dô, chuyÓn ®éng cña c¸c thang m¸y, vËn thang trong x©y dùng, n©ng hoÆc h¹ c¸c vËt nÆng, tr−êng hîp chuyÓn ®éng trßn víi vËn tèc gãc quay h»ng sè cña c¸c v« l¨ng hoÆc c¸c trôc truyÒn ®éng. ⇒ Bμi to¸n cã gia tèc thay ®æi vμ lμ hμm x¸c ®Þnh theo thêi gian w = w(t). Tr−êng hîp gia tèc thay ®æi tuÇn hoμn theo thêi gian, gäi lμ dao ®éng. VÝ dô bμn rung, ®Çm dïi, ®Çm bμn ®Ó lμm chÆt c¸c vËt liÖu, bμi to¸n dao ®éng cña c¸c m¸y c«ng cô, ⇒ Bμi to¸n trong ®ã chuyÓn ®éng xÈy ra rÊt nhanh trong mét thêi gian ng¾n, ®−îc gäi lμ bμi to¸n va ch¹m. VÝ dô phanh mét c¸ch ®ét ngét, ®ãng cäc b»ng bóa, sãng ®Ëp vμo ®ª ®Ëp ch¾n, 3. C¸c gi¶ thiÕt khi tÝnh to¸n. Ta chÊp nhËn nh÷ng gi¶ thiÕt sau: a) TÝnh chÊt vËt liÖu khi chÞu t¶i träng tÜnh vμ t¶i träng ®éng lμ nh− nhau. b) ChÊp nhËn c¸c gi¶ thiÕt vÒ tÝnh chÊt biÕn d¹ng cña thanh nh− khi chÞu t¶i träng tÜnh, ch¼ng h¹n c¸c gi¶ thiÕt vÒ tiÕt diÖn ph¼ng, gi¶ thiÕt vÒ thí däc kh«ng t¸c dông t−¬ng hç. Sö dông c¸c kÕt qu¶, c¸c nguyªn lý vÒ ®éng lùc häc, ch¼ng h¹n: G G - Nguyªn lý D’Alembert: Fmwqt =− (12.1) - Nguyªn lý b¶o toμn n¨ng l−îng: T + U = A (12.2) - Nguyªn lý b¶o toμn xung l−îng: §éng l−îng cña hÖ tr−íc vμ sau khi va ch¹m lμ mét trÞ sè kh«ng ®æi. 12-1
2. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng II. ChuyÓn ®éng víi gia tèc kh«ng ®æi 1. Bμi to¸n kÐo mét vËt nÆng lªn cao ⇒ XÐt mét vËt nÆng P ®−îc kÐo lªn theo ph−¬ng th¼ng ®øng víi gia tèc kh«ng ®æi bëi mét d©y c¸p cã mÆt c¾t F. Träng l−îng b¶n th©n cña d©y l kh«ng ®¸ng kÓ so víi 1 1 träng l−îng P (h×nh 8.1). z ⇒ ¸p dông nguyªn lÝ §al¨mbe (d’Alembert) vμ ph−¬ng ph¸p mÆt c¾t, chóng ta dÔ dμng suy ra P néi lùc trªn mÆt c¾t cña d©y c¸p: H×nh 8.1 N® = P + Pqt P ⎛⎞w ⇒ N = P + w = ⎜⎟1 + P = K P (12.3) ® g ⎝⎠g ® w Víi K = 1 + ® g ⇒ Khi gia tèc w = 0, th× K® = 1 vμ N® = Nt = P. ⇒ T¶i träng Nt (khi kh«ng cã gia tèc) lμ t¶i träng tÜnh, t¶i träng N® (khi cã gia tèc) lμ t¶i träng ®éng: N® = K®Nt. ⇒ øng suÊt mÆt c¾t cña d©y khi kh«ng cã gia tèc σt, khi cã gia tèc lμ øng suÊt ®éng σ®. V× d©y chÞu kÐo ®óng t©m, nªn: NN®t σ=®®®t =KK = σ (12.4) FF ⇒ C¸c c«ng thøc (12.3) vμ (12.4) cho thÊy: bμi to¸n víi t¶i träng ®éng t−¬ng ®−¬ng nh− bμi to¸n víi t¶i träng tÜnh lín h¬n K® lÇn. HÖ sè K® ®−îc gäi lμ hÖ sè ®éng hay hÖ sè t¶i träng ®éng. ⇒ KÕt luËn: “Nh− vËy, nãi chung, nh÷ng yÕu tè kh¸c nhau gi÷a t¶i träng ®éng vμ t¶i träng tÜnh ®−îc xÐt ®Õn b»ng hÖ sè ®éng vμ viÖc gi¶i c¸c bμi to¸n víi t¶i träng ®éng quy vÒ viÖc x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè ®éng ®ã”. 12-2
3. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng 2. ChuyÓn ®éng quay víi vËn tèc kh«ng ®æi ⇒ Xét vô lăng có bề dày t rất bé so với đường kính trung bình D = 2R quay với vận tốc góc ω không đổi (hình 12- q® (N/cm) 2a). Vô lăng có diện tích mặt cắt ngang F, t trọng lượng riêng của vật liệu là γ. Tính ứng suất động của vô lăng. a) R ⇒ Ðể đơn giản, ta bỏ qua ảnh hưởng của các nan hoa và trọng lượng bản thân vô lăng. Như vậy, trên vô lăng chỉ có lực ly tâm tác dụng phân bố đều qđ ⇒ Vì vô lăng quay với vận tốc góc ω = y const, nên gia tốc góc ω = 0. Vậy gia tốc ds dP=q.ds tiếp tuyến wt = ω R = 0 và gia tốc pháp 2 tuyến wn = ω R dϕ ⇒ Trên một đơn vị chiều dài có khối b) ϕ x lượng γF, cường độ của lực ly tâm là: γγFF22 γ FR N =σ .F N =σ .F q= WRn =ω= ω ® ® ® ® đ gg g Hình 12-2 ⇒ Nội lực trên mặt cắt ngang: tưởng tượng cắt vô lăng bởi mặt cắt xuyên tâm. Do tính chất đối xứng, trên mọi mặt cắt ngang chỉ có thành phần nội lực là lực dọc Nđ, ứng suất pháp σđ được coi là phân bố đều (vì bề dầy t bé so với đường kính). (hình 12-2b) ⇒ Lập tổng hình chiếu các lực theo phương y, ta được: xxγγFR22 FR 2.N =q .ds.sin ϕ d ϕ= . ω22 sin ϕ d ϕ= 2 . ω ®®∫∫ 00gg γω22R σ= ⇒ Ứng suất kéo σđ trong vô lăng là: ® g (12.5) ⇒ Nhận xét: ứng suất trong vô lăng σđ tăng rất nhanh nếu tăng ω hay R. γω22R σ =≤σ[] ⇒ Ðiều kiện bền khi tính vô lăng là: ® g k trong đó [σ]k: ứng suất cho phép khi kéo của vật liệu ⇒ Ghi chú :Chu kỳ T là khoảng thời gian thực hiện một dao động (s). Tần số f là số dao động trong 1 giây (hertz). Tần số vòng (tần số riêng): số dao 2π động trong 2π giây: ω= =2f π T 12-3
4. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng III. DAO ĐỘNG CỦA HỆ ĐÀN HỒI 1. Khái niệm chung về dao động ⇒ Khi nghiên cứu về dao động của hệ đàn hồi, trước tiên ta cần có khái niệm về bậc tự do: bậc tự do của một m hệ đàn hồi khi dao động là số thông a) số độc lập để xác định vị trí của hệ. y ⇒ Ví dụ: hình 12-3a, nếu bỏ qua trọng lượng của dầm thì hệ có 1 bậc tự do (chỉ cần biết tung độ y của khối lượng m xác định vị trí của vật m). b) Nếu kể đến trọng lượng của dầm ⇒ hệ có vô số bậc tự do vì cần biết vô ϕ2 số tung độ y để xác định mọi điểm trên dầm. ⇒ Trục truyền mang hai puli (hình 12-3b). Nếu bỏ qua trọng lượng của ϕ trục ⇒ 2 bậc tự do (chỉ cần biết hai 1 góc xoắn của hai puli ta sẽ xác định vị trí của hệ). ⇒ Khi tính phải chọn sơ đồ tính, dựa vào mức độ gần đúng cho phép H×nh 12.3 giữa sơ đồ tính và hệ thực đang xét. ⇒ Ví dụ: nếu khối lượng m >> so với khối lượng của dầm ⇒ lập sơ đồ tính là khối lượng m đặt trên dầm đàn hồi không có khối lượng ⇒ hệ một bậc tự do. Nếu trọng lượng của khối lượng m không lớn so với trọng lượng dầm, ta phải lấy sơ đồ tính là một hệ có vô số bậc tự do⇒ bậc tự do của một hệ xác định theo sơ đồ tính đã chọn, nghĩa là phụ thuộc vào sự gần đúng mà ta đã chọn khi lập sơ đồ tính. ⇒ Dao động của hệ đàn hồi được chia ra: • Dao động cưỡng bức: dao động của hệ đàn hồi dưới tác dụng của ngoại lực biến đổi theo thời gian (lực kích thích). P(t) ≠ 0 • Dao động tự do: dao động không có lực kích thích P(t)=0: ♦ Dao động tự do không có lực cản: hệ số cản β β = 0; P(t) = 0 ♦ Dao động tự do có để ý đến lực cản của môi trường: β ≠ 0 ; P(t) = 0 ⇒ Trọng lượng của khối lượng m được cân bằng với lực đàn hồi của dầm tác động lên khối lượng. 12-4
5. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng 2. Dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do a) Phương trình vi phân biểu diễn dao động ⇒ Dầm mang khối lượng m z (bỏ qua trọng lượng dầm). Lực P(t) kích thích P(t) biến đổi theo thời m gian tác dụng tại mặt cắt ngang y(t) z có hoành độ z. Tìm chuyển vị y(t) của khối lượng m theo thời a gian t. ⇒ Vận tốc và gia tốc của khối H×nh 12.4 lượng này là: dy d2 y  vy(t)== ; ay(t) ==2 dt dt ⇒ Chuyển vị của m do những lực sau đây gây ra: Lực kích thích P(t), lực cản ngược chiều chuyển động và tỷ lệ với vận tốc: Fc = -β y ; (β - hệ số cản), lực quán tính: Fqt = - my ⇒ Gọi δ là chuyển vị gây ra do lực bằng một đơn vị tại vị trí m ⇒ chuyển vị do lực P(t) gây ra là δ.P(t), chuyển vị do lực cản gây ra là δ.Fc = - δ.β y(t) , chuyển vị do lực quán tính gây ra là -δ.my(t) ⇒ Chuyển vị do các lực tác dụng vào hệ gây ra là y(t)=δ P(t) −β y(t) − my(t) [ ] (12.6) β 2 1 ⇒ Chia (12.6) cho m.δ và đặt: 2α = ; ω= m m.δ P(t) y(t)+α 2 y(t)  +ω2 y(t) = ⇒ Do đó ta có : m (12.7) ⇒ Ðây là phương trình vi phân của dao động. Hệ số α biểu diễn ảnh hưởng của lực cản của mối trường đến dao động và α y(0) = y0; y(0)= y0 xác định C1 và C2 12-5
6. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng ⇒ Phương trình (12-9) cho thấy: • Chuyển động tự do không lực cản là một dao động điều hoà có biên độ A 2π và chu kỳ T = . Đồ thị dao động hình ω sin như trên hình 12-5. 1 ω • Tần số dao động f = = . T2π • Tần số góc hay tần số dao động riêng: ω = 2πf ; 1 gg ω= = = (Hert = 1/s) mmδδgy0 c) Dao động tự do có kể đến lực cản ⇒ Vì P(t) = 0, α ≠ 0, khi đó phương trình vi phân của dao động là: y(t)+α 2 y  (t) +ω2y(t) = 0 (12.10) ⇒ Với điều kiện hạn chế α < ω (lực cản không quá lớn), nghiệm có dạng: y(t)=ω+ϕ Ae−αt sin( t ) 1 (12.11) ⇒ Dao động là hàm tắt dần theo thời gian với tần số góc: ω= ω−ε<ω22 1 22ππ 1 T == ⇒ Chu kỳ dao động: 1 ωω α2 1 1− ω2 ⇒ Dạng dao động được biểu diễn trên hình 12.6, biên độ dao động giảm dần theo thời gian, bởi vậy ta gọi là dao động tự do tắt dần. Khi lực cản càng lớn, tức là hệ số α càng lớn thì sự tắt dần càng nhanh. Sau mỗi chu kỳ T1, biên độ dao động giảm với tỉ số: −αt e αT1 −α(t + T ) ==econst e 1 tức là giảm theo cấp số Hình 12.6 nhân 12-6
7. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng 3. Dao động cưỡng bức - hiện tượng cộng huởng ⇒ Dao động cưỡng bức: xét lực P(t) biến thiên tuần hoàn theo thời gian: P(t) = PosinΩt ⇒ Lực cưỡng bức bất kỳ có thể khai triển theo chuỗi Fourier ⇒ trường hợp riêng mà ta nghiên cứu không làm giảm tính tổng quát của kết quả. ⇒ Phương trình vi phân dao động có dạng không thuần nhất: 2 P y(t)+α 2 y(t)  +ω y(t) =0 sin Ω t (12.12) m ⇒ Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: y(t) = y1(t) + y2(t) ⇒ Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất là biểu thức: -αt y1 = e C sin(ω1t + ϕ1) (12.13) ⇒ Còn nghiệm riêng y2(t) có dạng: y2(t) = C1sinΩt + C2cosΩt ⇒ Thay y2 vào (12.12), sau một số biến đổi ta tìm được: y2 = A1sin(Ωt + ψ) (12.14) ⎛⎞ δP ⎜⎟ω−Ω22 A = 0 ψ=arcos với ký hiệu 1 2 ; ⎜⎟2 ⎛⎞ΩαΩ2224 ⎜⎟()ω−Ω22 +4 ωΩ 22 ⎜⎟1−+24 ⎝⎠ ⎝⎠ωω ⇒ Nghiệm tổng quát của dao động cưỡng bức: -αt y(t) = e C sin(ω1t + ϕ1) + A1sin(Ωt + ψ) (12.15) ⇒ Số hạng thứ nhất tắt dần theo thời gian, sau một thời gian đủ lớn hệ chỉ còn lại số hạng thứ hai với tần số của lực cưỡng bức Ω, biên độ A1: sin(Ω t+ψ ) δP y(t) = A1sin(Ωt + ψ) = 2 0 (12.16) ⎛⎞ΩαΩ2224 ⎜⎟1−+24 ⎝⎠ωω ⇒ Lượng δP0 tương đương với giá trị chuyển vị gây ra bởi một lực tĩnh yt, có trị số bằng biên độ lực cưỡng bức và có phương theo phương dao động: sin(Ω t+ψ ) y = k(t)y y(t) = 2 t®t (12.17) ⎛⎞ΩαΩ2224 ⎜⎟1−+24 ⎝⎠ωω trong đó kđ(t) là hệ số động, hàm này đạt cực trị Kđ khi sin(Ωt + ψ) = 1. ⇒ Chuyển vị cực trị tương ứng, ký hiệu bằng yđ: y(t) = Kđ. yt (12.18) 1 Kđ = 2 (12.19) ⎛⎞ΩαΩ2224 ⎜⎟1−+24 ⎝⎠ωω 12-7
8. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng ⇒ Có thể giải bài toán động bằng cách giải bài toán tĩnh rồi nhân với hệ số động kđ . Ứng suất có dạng: σ®®t®®t=σk. ; τ=τ k. (12.20) ⇒ Hệ số động cực trị Kđ càng lớn thì hiệu ứng động càng lớn. Hệ số này phụ thuộc vào tỷ số Ω/ω. Đồ thị quan hệ giữa Kđ và Ω/ω ứng với các giá trị khác nhau của hệ số cản nhớt α được trình bày trên hình 12.7. ⇒ Để tính độ bền khi ứng suất thay đổi có thể dùng σđ và τđ theo (12.20). Nếu trên hệ còn có tải trọng tĩnh tác dụng thì σtp là tổng ứng suất do tải trọng tĩnh và ứng suất động σđ, τđ. + Hiện tượng cộng hưởng: ⇒ Đồ thị Kđ - (Ω/ω) cho thấy: khi Ω/ω ≈ 1, nghĩa là khi tần số lực cưỡng bức trùng với tần số dao động riêng của hệ ⇒ yđ rất lớn, có thể bằng vô cùng nếu không có lực cản. Đó là hiện tượng cộng hưởng. Hình 12.7 Ω ⇒ Thực tế tồn tại miền cộng hưởng, nằm trong khoảng 0,75≤≤ 1,25; hệ ω số động trong miền này đạt trị số khá lớn. ⇒ Tránh hiện tượng cộng hưởng, cần cấu tạo hệ sao cho tần số dao động riêng của hệ không gần với tần số của lực cưỡng bức, chẳng hạn thay đổi khối lượng của hệ hoặc thay đổi kết cấu bằng cách thêm các thiết bị giảm chấn như lò xo, các tấm đệm đàn hồi. + Kết luận chung về tính toán kết cấu chịu dao động cưỡng bức ⇒ Đối với hệ đàn hồi, vật liệu tuân theo định luật Húc, ta có thể viết biểu thức (12.18) cho đại lượng nghiên cứu bất kỳ: Sđ = Kđ.St (12.21) và S = S0 + Sđ = S0 + Kđ.St (12.22) trong đó S - đại lượng nghiên cứu có thể là chuyển vị, ứng suất, biến dạng của hệ, S0 - đại lượng tương ứng trong bài toán tĩnh do tác động của trọng lượng m đặt sẵn trên hệ, St - đại lượng tương ứng trong bài toán tĩnh do tác động của một lực tĩnh, trị số bằng biên độ của lực cưỡng bức và có phương theo phương dao động, Kđ - hệ số động cực trị, tính theo biểu thức (12.19). 12-8
9. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng Ví dụ 12.1: Một môtơ trọng lượng 6kN đặt tại chính giữa dầm đơn giản (hình 12.8) có chiều dài nhịp 4,5m làm từ thép I số 30, có tốc độ quay của trục n = 600 vòng/ph. Trục có trọng lượng 50 N, có độ lệch tâm e = 0,5 cm. Bỏ qua lực cản, tính ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trên tiết diện của dầm. P0 50N e A B 0 l/2 l/2 N 30 H×nh 12.8 Bài giải 2nπ 2.600π Tốc độ góc của trục quay: Ω= = =62,85rad / s . 60 60 Lực ly tâm phát sinh khi trục quay lệch tâm: 1150 P=Ω= me22 . 0,5.62,85 = 5038N 0 229,80 Lực cưỡng bức có dạng: P(t) = P0 sinΩt = 5,038 sin62,85 kN. 4 3 4 2 Theo bảng thép định hình Jx=7080 cm ; Wx=472 cm ; E=2,1.10 kN/cm . Độ võng ban đầu, do trọng lượng môtơ P đặt sẵn gây ra: Pl 33 6.(450) y == =0,0766 cm 0 48EJ 48.2,1.104 .7080 g980 Tần số dao động riêng của dầm: ω= = =113 (1/s) y0 0,0766 Hệ số động, khi bỏ qua lực cản: 1 1ω22 113 == = =1,448 2 222 2 2 Kđ = ⎛⎞Ω2 Ωω−Ω−113 62,85 1− 2 ⎜⎟1− 2 ω ⎝⎠ω Mômen uốn lớn nhất tại tiết diện chính giữa nhịp bằng: Pl P0l 6.4,5 5,038.4,5 M =M +M =M +K M = +=+K® 1,448 = 14,957 kNm 0 đ 0 đ t 444 4 Ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện: M 1495,7 σ= = =3,17kN / cm 2 max W 472 12-9
10. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng IV. BÀI TOÁN TẢI TRỌNG VA CHẠM 1. Va chạm theo phương thẳng đứng ⇒ Va chạm: hiện tượng hai vật tác Q dụng vào nhau trong thời gian rất ngắn. H ⇒ Các giả thuyết sau: a) Khi chịu va chạm vật liệu vẫn tuân P y theo định luật Húc t b- Môđun đàn hồi E của vật liệu khi Q y® chịu tải trọng tĩnh và khi chịu va chạm P là như nhau. Các giai đoạn va chạm: H×nh 12.9 a) Giai đoạn thứ nhất: trọng lượng Q rơi vừa chạm trọng lượng P: vận tốc v0 của trọng lượng Q trước lúc va chạm bị giảm đột ngột cho đến lúc cả hai trọng lượng P và Q cùng chuyển động với vận tốc v. Theo định luật bảo toàn QQP+ Q động lượng: vvvv00=⇒= gg QP+ b) Giai đoạn thứ hai: cả hai trọng lượng Q và P gắn vào nhau và cùng chuyển động với vận tốc v đến lúc cả hai dừng lại do sức cản của hệ đàn hồi. Ðoạn đường mà Q và P vừa thực hiện chính là chuyển vị yđ lớn nhất tại mặt cắt va chạm. Trong giai đoạn này động năng của hệ là: 2 1Q++⎛⎞ P22 1Q P Q 1 Q T.=⇒== vT.⎜⎟ v00 v 2g 2g⎝⎠ QP++ 2g1P/Q() ⇒ Khi P và Q cùng di chuyển một đoạn yđ, thế năng của hệ: Π = (Q +P)yđ ⇒ Nếu gọi U là thế năng biến dạng đàn hồi của hệ nhận được do va chạm thì theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: U = T + Π ⇒ Thế năng biến dạng đàn hồi được tính như sau: lúc đầu trên dầm có đặt 1 sẵn trọng lượng P, thế năng biến dạng đàn hồi lúc đó: UP.y1t= 2 ⇒ trong đó: yt là chuyển vị tĩnh tại mặt cắt va chạm do P gây ra, yt = P.δ (δ 1 y2 chuyển vị tĩnh do lực bằng một đơn vị gây ra) ⇒ U = t 1 2 δ ⇒ Khi va chạm, chuyển vị toàn phần ở mặt cắt va chạm là (yt + yđ). Theo 2 1 (yt®+ y ) các giả thuyết trên, thế năng biến dạng đàn hồi lúc đó: U2 = 2 δ ⇒ Như vậy thế năng biến dạng đàn hồi do va chạm là: 11(y+ y )222 y y y y y 2 UU=−= Ut® − t =+ ® t®® =+ P.y 212222δδδδδ® 12-10
11. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng 2 y® 1Q 2 ⇒ Do U = T + Π ⇒ +=P.y®0® v ++ (Q P)y 22g1P/Qδ+() δQv2 y2 −δ2Qy −0 =0 hay ®®g1()+ P/Q (12.23) ⇒ Gọi Δt là chuyển vị tĩnh do trọng lượng Q được đặt một cách tĩnh lên hệ Δ gây ra thì tương tự như trên ta có: Δ = Q.δ Æ Q = t t δ Δ v2 y2y2 − Δ−t0 = 0 ⇒ Thế vào (12.23) ta được: ®t®⎛⎞P g1⎜⎟+ ⎝⎠Q Δ v2 y =Δ + Δ2 + t0 ⇒ Chỉ lấy nghiệm dương của phương trình: ®t t⎛⎞P >0 g1⎜⎟+ ⎝⎠Q 2H 2 y®t=Δ(1 + 1 + ) ⇒ Thay v20 = gH , ta có: ⎛⎞P (12.24) ⎜⎟1+ Δt ⎝⎠Q ⇒ Hệ số động kđ, tức là số lần lớn hơn của chuyển vị động (do va chạm) đối với chuyển vị tĩnh do trọng lượng Q đặt một cách tĩnh lên hệ: 2H y® kyk.y=⇒= k11® =+ + ®®®ty ⇒ ⎛⎞P (12.25) t ⎜⎟1+ Δt ⎝⎠Q Các trường hợp đặt biệt: 1. Nếu trên dầm không có khối lượng P đặt sẵn thì hệ số động: 2H k11® =+ + (12.26) Δt 2. Nếu trọng lượng Q tác dụng đột ngột vào hệ, tức là: H = 0, thì kđ = 2, tức là chuyển vị động, ứng suất động lớn gấp hai lần so với bài toán tĩnh. ⇒ Ứng suất pháp và tiếp do tải trọng va chạm: σđ = kđ.σt ; τđ = kđ.τt ⇒ Nếu trên hệ còn có tải trọng tĩnh thì ứng suất tổng cộng bằng tổng ứng suất động (ứng suất do tải trọng va chạm) σđ và ứng suất do tải trọng tĩnh đó. Nhận xét: trong công thức của hệ số động, ta thấy nếu chuyển vị tĩnh yt lớn, tức là hệ có độ cứng nhỏ thì hệ số động kđ nhỏ. Vậy muốn giảm hệ số 12-11
12. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng động ta phải giảm độ cứng của hệ hay đặt tại mặt cắt va chạm những bộ phận có độ cứng nhỏ như lò xo, để tăng yt. ⇒ Khi xác định hệ số động kđ ta đã bỏ qua trọng lượng bản thân của hệ đàn hồi. Người ta đã chứng minh được rằng nếu kể đến trọng lượng bản thân của hệ thì hệ số động cũng không thay đổi nhiều. Do đó trong khi tính với tải trọng va chạm, ta không xét đến trọng lượng bản thân của hệ. 2. Va chạm ngang của hệ một bậc tự do ⇒ Va chạm ngang như hình 12.10. Quá trình va chạm vẫn thực hiện qua hai giai đoạn như trong va chạm đứng. Vì các khối lượng đều di chuyển theo phương ngang nên thế năng Π = 0. vậy theo định luật bảo toàn năng lượng: T = U Q P 1Q Tv= 2 ⇒ Ðộng năng T: 2 ⎛⎞P 0 g1⎜⎟+ ⎝⎠Q ⇒ Thế năng biến dạng đàn hồi mà hệ nhận được sau va chạm được tính như sau: tuy có trọng lượng P đặt trước trên dầm, nhưng P không làm dầm biến dạng ngang nên: U1 = 0. Khi va chạm, chuyển vị của mặt cắt H×nh 12.10 va chạm là yđ nên lúc đó thế năng biến dạng đàn hồi: 2 2 1Q22 1y® δ Q 2 1 y® vy0®=⇒= v 0 U2 = 2 δ ⇒ 22⎛⎞PPδ ⎛⎞ (12.27) g1⎜⎟++ g1 ⎜⎟ ⎝⎠QQ ⎝⎠ ⇒ Nếu gọi yt là chuyển vị tĩnh theo phương ngang ở mặt cắt va chạm do lực có giá trị bằng trọng lượng va chạm Q tác dụng tĩnh lên phương ngang: y y = Q.δ Æ Q = t t δ y yv22= t ⇒ Do đó ta có thể viết biểu thức (12.27) lại như sau: ®0⎛⎞P g1⎜⎟+ ⎝⎠Q ⇒ Giá trị yđ chỉ lấy dấu dương, do đó yđ = kđ.yt v2 k = 0 Với ® ⎛⎞P (12.28) g1⎜⎟+ yt ⎝⎠Q 12-12
13. Ch−¬ng 12. T¶i träng ®éng Ví dụ 12.2: Xác định ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện một cột chịu va chạm theo phương thẳng đứng cho trên hình 12.11. Bỏ qua trọng lượng của cột. Cho biết Q = 600 N; H = 6cm; E = 103 kN/cm2. Giải Chuyển vị tĩnh bằng biến dạng dài của cột do Q trọng lượng Q đặt tĩnh trên cột là: 6 cm Q.ll12 Q. −3 yt = Δt = Δl = +=3,4.10 cm EF12 EF 2 2H F1=30cm 80 cm k11=+ + Hệ số động: ® ⎛⎞P = ⎜⎟1+ Δt ⎝⎠Q 2H 2.6 11++ 11++ = 60,41 = = −3 F =20cm2 Δt 3, 4.10 2 60 cm Ứng suất phát lớn nhất trên tiết diện: Q0,6 σ=k. σ= k. = 60,41. = 1,82kN/cm2 ®®t® Hình 12.11 F202 Ví dụ 12.3: Xác định hệ số động của dầm thép chữ I số 14 (hình 12.12) chịu va chạm bởi vật có trọng lượng 100 N chuyển động theo phương ngang với vận tốc v0 = 20km/h khi không kể và khi có kể đến trọng lượng của dầm. Giải Thép chữ I số 14 ta có các đặc trưng: trọng lượng trên 1m dài là 137N, Jx = 572 cm4, E = 2,1.104 kN/cm2. Chuyển vị tĩnh: Q 33 Q Q0,1.400l −2 yt y1,1.10cmt == = l=4m 4 v0 48EJx 48.2,1.10 .572 - Khi không kể đến trọng lượng bản thân N0 14 2 2 v0 555,5 k® ==−2 = 169 gyt 980.1,1.10 H×nh 12.12 Khi kể đến trọng lượng bản thân, ta thu gọn trọng lượng về tiết diện va chạm ở chính giữa dầm với hệ số thu gọn là 17/35 và có trọng lượng thu gọn là P = (17/35).137.4 = 266 N v22 555,5 k88==0 = ® ⎛⎞P ⎛266 ⎞ 980. 1+ .1,1.10−2 g1⎜⎟+ yt ⎜⎟ ⎝⎠Q ⎝⎠100 Như thế trọng lượng bản thân làm giảm ảnh hưởng của va chạm. Việc không kể đến trọng lượng bản thân khiến phép tính thiên về an toàn. 12-13