Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 2: Kéo (Nén) đúng tâm

Nội dung text: Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 2: Kéo (Nén) đúng tâm

1. Ch−ơng 2. kéo (nén) đúng tâm I. Lực dọc vμ biểu đồ lực dọc Thanh bị kéo (nén) đúng tâm lμ thanh mμ trên mọi mặt cắt ⇒ G ngang chỉ có một thμnh phần nội lực lμ lực dọc Nz nằm trên trục thanh. G ⇒ Để biết sự biến thiên của lực dọc Nz theo trục thanh, ng−ời ta lập một đồ thị biểu diễn, gọi lμ biểu đồ lực dọc. Ví dụ 2.1: Vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực nh− (hình 2.1a) Bμi giải: 1. Xác định phản lực tại C: P1 - P2 - Pc = 0 ⇒ Pc = P1 - P2 = 20 kN, có chiều nh− hình vẽ. 2. Vẽ biểu đồ: + Xét đoạn AB: (hình 2.1b) (0 0 ⇒ z11 + Đoạn BC (hình 2.1c), ( 2a ≤ z2 ≤ 3a ) Xét cân bằng của Hình 2.1 phần phải, ta đ−ợc: FN=+−= PP0 ∑ zz212 N =−=P P 40 − 60 =− 20kN < 0 Suy ra: Z122 - lực nén. T−ơng tự ta có thể xét các mặt cắt từ phần trái, chọn gốc toạ độ tại C (hình 2.1d). Kết quả thu đ−ợc cũng giống nh− trên. Biểu đồ nội lực nh− trên hình 2.1e. 10
2. II. ứng suất vμ biến dạng 1. Các giả thiết tính toán ⇒ Mặt cắt ngang của thanh tr−ớc vμ sau khi biến dạng vẫn luôn thẳng vμ vuông góc với trục thanh. ⇒ Trong quá trình biến dạng các thớ dọc luôn thẳng, song song với trục của thanh vμ không tác dụng t−ơng hỗ lên nhau. O P Nz z z,n dz dz du a) b) Hình 2.2 2. ứng suất ⇒ Theo các giả thiết trên đ−ợc rút ra từ thí nghiệm thì trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm có biến dạng dμi theo ph−ơng trục z: du ε= z dz (2.1) ⇒ Định luật Húc do nhμ khoa học Anh, Robert Hooke tìm ra năm 1660: σz = Eεz (2.2) trong đó, hệ số tỉ lệ E đ−ợc gọi lμ môđun đμn hồi Young. ⇒ Mặt khác, ta có: N NdFdFF= σ =σ =σ σ= z zz∫∫ z z ⇒ z (2.3) FF F Nz ⇒ Trong tính toán th−ờng viết: σ=±z (2.4) F 2. Biến dạng dọc vμ biến dạng ngang Nzz () ⇒ Từ các công thức (2.2) vμ (2.3) suy ra: ε=z ()z (2.5) EF() z l N ⇒ Biến dạng dọc tuyệt đối Δl: Δ=ldz∫ z (2.6) 0 EF 11
3. N ⇒ Tr−ờng hợp đặc biệt khi z = const: EF mn Nlz Nlzi i Δ=l ; Δ=ll∑∑ Δi = (i = 1, 2, , n) (2.7) EF i1== i1EFii ⇒ Biến dạng ngang (t−ơng đối) theo ph−ơng ngang x hoặc y đ−ợc kí hiệu lμ εx hoặc εy: εx = εy = −μεz (2-8) trong đó μ lμ hằng số tỉ lệ, đ−ợc gọi lμ hệ số Poatxông. Ví dụ 2.2. Một thanh thép dμi 4m (hình 2.3a) có tiết diện vuông mỗi cạnh a = 20mm chịu hai lực P1 = 80kN ở mút A vμ P2 = 20kN ở điểm giữa B. Cho biết E = 2.105N/mm2, μ = 0,25. Hãy tính chuyển vị của mút thanh vμ biến dạng tuyệt đối của kích th−ớc ngang tại mặt cắt nguy hiểm. Giải: 1. Lập biểu đồ lực dọc Hình 2.3 2. Biến dạng dọc (độ giãn) của thanh: Nl Nl zz121 Δ=Δ+Δll12 l = + = NN z + z = 4,5mm EF EF EF ()12 Các mặt cắt nguy hiểm thuộc đoạn BC: ứng suất pháp bằng: N 3 z2 100.10 2 σ=z = =250N / mm F400 Biến dạng dọc (t−ơng đối) của đoạn nμy bằng: σ 250 ε=z = =0,00125 = 0,125% E 2.105 Biến dạng ngang: εx = εy = μεz = 0,25.0,00125 = 0,03125% Biến dạng tuyệt đối của mặt cắt ngang (l−ợng co): Δ=ε=ax a 0,0003125.20 = 0,00625mm Biến dạng ngang rất nhỏ so với biến dạng dọc. 12
4. III. Tính chất cơ học của vật liệu ⇒ Tính chất cơ học của vật liệu lμ những tính chất vật lí thể hiện trong quá trình biến dạng d−ới tác dụng của ngoại lực. Hình 2.4 ⇒ Thông th−ờng, ng−ời ta chia vật liệu lμm hai loại: vật liệu dẻo vμ vật liệu giòn 1. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo Mẫu thử hay mẫu thí nghiệm (hình 2.4). Quan hệ giữa l−ợng giãn Δl vμ lực kéo P đ−ợc biểu diễn bằng biểu đồ kéo (hình 2.5). Quá trình biến dạng gồm 3 giai đoạn: ⇒ Giai đoạn thứ nhất: giai đoạn tỉ lệ hay giai đoạn đμn hồi OA. Giới hạn tỉ lệ hay giới hạn đμn hồi σtl: Ptl σ=tl (2.9) F0 ⇒ Giai đoạn thứ hai: giai Đối với thép số 3: đoạn chảy dẻo. 2 σt1 = 200MN/m ứng suất: 2 σC = 240MN/m 2 PC σB = 420MN/m σ=C (2.10) F0 đ−ợc gọi lμ giới hạn chảy (dẻo). Hình 2.5 Trên mặt mẫu sẽ thấy xuất hiện những đ−ờng gợn nghiêng với trục thanh một góc khoảng 450 (hình 2.6). ⇒ Giai đoạn thứ ba (giai đoạn củng cố): 13
5. PB ứng suất cực đại: σ=B đ−ợc gọi lμ giới hạn bền. F0 Hiện t−ợng tái bền Hình 2.6 Hình 2.7 2. Thí nghiệm nén vật liệu dẻo ⇒ Mẫu thử th−ờng hình 2.8a. Biểu đồ nén (hình 2.8b) có giới hạn tỉ lệ, giới hạn chảy nh−ng không có giới hạn bền. Hình 2.8 Hình 2.9 3. Thí nghiệm kéo vμ nén vật liệu giòn ⇒ Vật liệu giòn chịu kéo rất kém, nên bị phá hỏng đột ngột ngay khi độ giãn còn rất nhỏ. Hình 2.9 - biểu đồ kéo (P−Δl). Khi bị nén cũng bị phá hỏng ngay khi biến dạng còn nhỏ. PB ⇒ Vật liệu giòn chỉ có giới hạn bền: σ=B F0 14
6. IV. Thế năng biến dạng đμn hồi ⇒ Công của ngoại lực chuyển hoá thμnh thế năng biến dạng P.2 l N.2 l đμn hồi U: U = A ⇒ U = = z (2-11) 2EF 2EF ⇒ Nếu nội lực Nz biến thiên từ 0 – l thì có thể biểu diễn: l 2 Nz U = ∫ dz (2-12) 0 2EF ⇒ Gọi u lμ thế năng riêng biến dạng đμn hồi (thế năng tích luỹ trong một đơn vị thể tích) thì thế năng riêng đó có trị số: u=U/V ⇒ Thay V = F.l vμ σz= Nz/F ta đ−ợc 2 ll2 σσεzzz σσε u = = hoặc u = ∫∫zzzdz= dz (2-13) 2E 2 002Ell 2 V. Tính toán về kéo (nén) đúng tâm 1. ứng suất cho phép − Hệ số an toμn 1 ⇒ ng suất cho phép [σ]: []σ =σ0 (2.14) ứ n σch ⇒ Nh− vậy đối với vật liệu dẻo: []σ n = []σ k = (2-15) n ⇒ Đối với vật liệu giòn, vì khả năng chịu nén tốt hơn chịu kéo n k σB > σB , nên ta có hai ứng suất cho phép khác nhau: n k σB σ []σ = ; []σ = B (2-16) n n k n ⇒ Hệ số an toμn n th−ờng lớn hơn 1 vμ phụ thuộc vμo yêu cầu thiết kế cũng nh− tầm quan trọng của công trình, chi tiết máy. 2. Ba loại bμi toán cơ bản ⇒ Để đảm bảo sự lμm việc an toμn khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ứng suất trong thanh phải thoả mãn điều kiện bền: Nz σ=z ≤σ[] (2-17) F ⇒ Từ bất đẳng thức trên, ta có ba loại bμi toán cơ bản sau đây: a. Kiểm tra bền (bμi toán loại 1) Nz ⇒ Điều kiện bền của thanh: σmax =≤σ[] (2-18) F 15
7. ⇒ Đối với các vật liệu giòn lμ: Nz Nz σ=max ≤σ[]; σmin =≤σ[] (2-19) F k F n b. Chọn kích th−ớc mặt cắt ngang hay thiết kế (bμi toán loại 2) Nz FFmin ≥=[] (2-20) []σ ⇒ Để đảm bảo an toμn vμ tiết kiệm, chỉ nên chọn F xấp xỉ tỉ số Nz/[σ] chừng 5% lμ đủ. c. Tải trọng cho phép (bμi toán loại 3) NFNzmax≤σ=[] [ z ] (2.25) ⇒ Từ điều kiện cứng của thanh, cũng dẫn đến ba loại bμi toán t−ơng tự. VI. bμi toán siêu tĩnh ⇒ Trong các bμi toán tĩnh định chỉ cần dựa đơn thuần vμo các ph−ơng trình cân bằng tĩnh học để xác định nội lực. Trong bμi toán siêu tĩnh nếu chỉ dựa vμo ph−ơng trình cần bằng tĩnh học thì không đủ giải đ−ợc nội lực mμ phải dựa thêm vμo một số ph−ơng trình bổ sung lập đ−ợc nhờ việc xét điều kiện biến dạng của cơ hệ. Số ph−ơng trình bổ sung gọi lμ bậc siêu tĩnh của cơ hệ. Ví dụ 2.3. Tìm ứng suất pháp trong các thanh EB vμ FC lμm bằng cùng một loại vật liệu dùng để treo một thanh AD tuyệt đối cứng (hình 2.10). Các thanh treo có diện tích mặt cắt F = 12cm2. Giải Thay liên kết bằng các phản GG GG lực liên kết YAA,Z ,N 1 ,N 2; Lập ph−ơng trình cân bằng: Hình 2.10 ∑ m(F)A = 2aN2 + aN1 − 3aP = 0 ặ 3P = N1 + 2N2 (a) 16
8. Đây lμ bμi tập toán siêu tĩnh bậc 1. Điều kiện t−ơng thích biến dạng (Δl1 = BB’, Δl2 = CC’, Δ ABB’ ∼ Δ ACC’): Δl2 = 2Δl1 (b) NN12ll Theo công thức (2-7) ta có: Δ=l,l12 Δ= EF EF Thay vμo biểu thức (b), dễ thấy: N2 = 2N1 6P 6.160 192 ⇒ N21== = 192kN; N = = 96kN 55 2 ứng suất trong các thanh EB vμ FC lμ: N 96 1 42 2 2 σ=1 = =8.10 kN / m = 80MN / m ; σ = 2σ = 160MN/m F 12.10−4 2 1 Ví dụ 2.4. Dầm tuyệt đối cứng AB đ−ợc giữ bởi các thanh bằng thép có giới hạn chảy 2 σ=ch 24kN / cm . Xác định tải trọng cho phép [q]. Biết n = 1,6; E = 2.104kN/cm2. Bμi giải (hình 2.11). Lấy tổng mômen các lực đối với điểm A, ta Hình 2.11 có: 3 m (F) = N .2 + N .5 − q.3.(2 + ) = 0 ∑ (A) 1 2 2 (a) Ph−ơng trình phụ tìm đ−ợc từ điều kiện hai tam giác đồng ΔlNN111222 ll dạng ABB′ ~ ACC′ , ta có: =⇒52 = (b) Δl521122 EFEF trong đó: E1 = E2 = E ; F1 = F2 = F; l1 = 1,8l ; l2 = l Giải ph−ơng trình (a) vμ (b) ta đ−ợc: 21 84 Nq;Nq== ⇒ N > N . 1244 44 2 1 Vậy điều kiện bền phải xuất phát từ N2. Theo (2.25) ta có: N 2 = F[]σ . Tra bảng thép góc 56ì56ì5 có: F = 4,11cm2 σch 24 2 4,11ì 15 Do []σ= = =15kN / cm ⇒=[]q 44 = 32,3 kN / cm n1,6 84 17