Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 3: Trạng Thái ứng suất

Nội dung text: Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 3: Trạng Thái ứng suất

1. Ch−ơng 3. Trạng thái ứng suất I. Khái niệm về trạng thái ứng suất ⇒ Trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể đμn hồi chịu lực lμ tập hợp tất cả các ứng suất tác dụng trên tất cả các mặt vô cùng bé đi qua điểm đó, đặc tr−ng bởi tenxơ đối xứng cấp 2 có 6 thμnh phần ứng suất độc lập (hình 3.1): ⎛⎞στ τ ⎜⎟xxyxz τστ ⎜⎟yx y yz (3.1) ⎜⎟ ⎝⎠ττσzx zy z nh− biểu thị trên các mặt của phân tố toạ độ Cdxdydz. ⇒ Qua 1 điểm ta luôn tìm Hình 3.1 ba mặt vuông góc với nhau có ứng suất tiếp bằng 0, các mặt đó lμ mặt chính, pháp tuyến mặt chính gọi lμ ph−ơng chính, ứng suất pháp trên các mặt chính gọi lμ ứng suất chính σ1, σ2 vμ σ3: σ1 > σ2 > σ3 (3.2) ⇒ Căn cứ vμo các ứng suất chính ta hân loại trạng thái ứng suất nh− sau: Trạng thái ứng suất khối (hình 3.2a), trạng thái ứng suất phẳng (hình 3.2b), trạng thái ứng suất đơn (hình 3.2c). Hình 3.2 18
2. II. Trạng thái ứng suất phẳng 1. ứng suất trên mặt nghiêng bất kì ⇒ Tách một phân tố khỏi vật thể đμn hồi chịu lực. Giả thiết mặt vuông góc với trục z lμ mặt chính (σz = τzx = τzy = 0), những mặt còn lại có cả ứng suất pháp vμ ứng suất tiếp (hình 3.3). Hình 3.3 ⇒ Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ đáy lμ tam giác, mặt bên nghiêng. Ph−ơng trình tổng mômen các lực với O: dx dy Mdydzdzdx0Oxy=τ −τ yx = ⇒ τ =τ (3.3) ∑ 22xy yx ⇒Đó lμ luật đối ứng của ứng suất tiếp, phát biểu nh− sau: “Nếu trên mặt cắt nμo đó có ứng suất tiếp thì trên mặt cắt vuông góc với nó cũng phải có ứng suất tiếp có cùng trị số nh−ng đối chiều”. ⇒ Lập các ph−ơng trình hình chiếu sau: ∑ u=σux dzds − ( σ dzdscos α )cos α+ ( τ xy dzdscos α )sin α− −σ ( dzdssin α )sin α+τ ( dzdssin α )cos α= 0 yyx ∑ v=τuv dzds − ( σ x dzdscos α )sin α− ( τ xy dzdscos α )cos α+ +σ (yyx dzdssin α )cos α+τ ( dzdssin α )sin α= 0 ⇒ Sau khi rút gọn, sử dụng định luật đối ứng ứng suất tiếp ta đ−ợc giá trị của σu vμ τuv: σ+σxy σ−σ xy σ=uxy +cos2 α−τ sin 2 α (3.4) 22 σ−σxy τ=uvsin 2 α+τ xy cos2 α (3.5) 2 ⇒ Rõ rμng lμ khi α = 0 (hoặc π/2) thì σu vμ τuv có giá trị bằng σx, 19
3. τxy (hoặc σy, τyx). 2. ứng suất chính vμ ph−ơng chính ⇒ Mặt chính đ−ợc xác định thông qua góc nghiêng α0, sao cho ứng suất tiếp trên đó bằng 0: σ−σ τ xysin 2 cos2 0 tg2 xy α+τ0xy0 α= ⇒ α=− 0 2 σxy−σ τ tgxy tg2 tg ⇒ Đặt β=− ⇒ α0 = β σ−σxy βπ ⇒α0 = +k. (3.6) 22 ⇒ Ta thấy α0 có hai nghiệm lμ α1 vμ α2 (ứng với k = 0 vμ k = 1) lệch nhau 900 ⇒ ta luôn có hai ph−ơng chính vuông góc với nhau. Thay α1 vμ α2 vμo (3.4) ta sẽ đ−ợc các ứng suất chính cần tìm, đó lμ những ứng suất pháp cực trị, vì dσu/dα = - 2τuv = 0: 2 σ+σxy⎛⎞ σ−σ xy 2 σ=max ±⎜⎟ +τ xy (3.7) min 22⎝⎠ ⇒ ứng suất tiếp cực trị xác định bằng dτuv/dα = 0: dτuv σ−σxy =α−τα=2cos22sin20xy d2α σ−σxy ⇒α=tg2 2τxy ⇒ So sánh với (3.7), ta đ−ợc: 1 π tg2 cot g2 α=− =− α0 ⇒α=α0 +k. (3.8) tg2α0 4 Kết luận: những mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt chính 1 một góc 450. Thay (3.8) vμo (3.5) với cos2α=± , ta đ−ợc: 1tg2+ 2 α 1 2 2 τ=±σ−σ+τmax() x y4 xy (3.9) min 2 ⇒ Tính theo ứng suất chính ta có: 20
4. σ−σmax min τ=±max (3.10) min 2 III. Vòng tròn Mo (Mohr) ứng suất 1. Cơ sở của ph−ơng pháp vμ cách vẽ vòng tròn MO ứng suất ⇒ Xét một phân tố với các ứng suất σx, σy, τxy đã cho nh− hình 3.4a. Lập hệ toạ độ Oστ (hình 3.4b) theo tỷ lệ nhất định. Trên trục hoμnh σ đặt các đoạn OE = σy vμ OF = σz. Từ E dựng đoạn ED = τxy vuông góc với OE. Vẽ vòng tròn có tâm C lμ trung điểm của đoạn 2 ⎛⎞σ+σyz ⎛⎞σ−σyz 2 EF⎜⎟ OC = vμ bán kính CD (CD = R = ⎜⎟+τyz ), gọi lμ ⎝⎠2 ⎝⎠2 vòng tròn Mo ứng suất (Mohr). σy τyx τuv τ τyx xy σx σx τxy τxy σy σy σx Hình 3.4 ⇒ Để xác định các ứng suất σu vμ τuv trên mặt xiên có ph−ơng u lμm với trục x một góc α cho tr−ớc (hình 3.4a) hãy lấy trên vòng tròn vừa vẽ một điểm P (th−ờng gọi lμ điểm cực) có hoμnh độ σy vμ 21
5. tung độ τxy (hình 3.4b), rồi từ P vẽ tia song song với ph−ơng u cho cắt vòng tròn tại điểm M. Toạ độ của M chính lμ các ứng suất σu vμ τuv cần tìm. 2. Xác định ứng suất chính vμ ph−ơng chính ⇒ Các giao điểm A vμ B của vòng tròn Mo với trục hoμnh Oσ lμ những điểm có hoμnh độ lớn nhất vμ nhỏ nhất, tung độ bằng 0: 2 σ+σxy⎛⎞ σ−σ xy 2 σ=max ±⎜⎟ +τ xy (3.11) min 22⎝⎠ ⇒ Ph−ơng của các tia PA vμ PB lμ các ph−ơng chính cần tìm của phân tố (hình 3.4a). ⇒ Theo hình 3.4b dễ thấy luôn luôn có: σmax + σmin = 2OC = σy + σz = hằng (3.12) “Tổng ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau lμ hằng số”. ⇒ Gọi α1 vμ α2 lμ góc của ph−ơng chính thứ nhất vμ ph−ơng chính thứ hai đối với trục x. Theo hình 3.4b, có: FP τ FP τ = xy = xy tgα1 = ; tgα2 = (3.13) FA σ−σymax FB σ−σymin ⇒ Trong tr−ờng hợp kéo (nén) y đúng tâm ứng suất tiếp lớn nhất: 1 τ=τ=σmax min z (3.14) 2 đó lμ hai mặt vuông góc với nhau, σ σ x lần l−ợt lμm với trục z một góc 45o τ vμ 135o. 3. Hai tr−ờng hợp đặc biệt Hình 3.5 ⇒ Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, ví dụ σx = σ, σy = 0 (hình 3.5). ⇒ Trạng thái tr−ợt thuần tuý: phân tố mμ trên các mặt chỉ có ứng suất tiếp (hình τ 3.6a). xy ⇒ Lúc nμy vòng tròn Mo có tâm trùng Hình 3.6 22
6. với gốc toạ độ (hình 3.6b). Các ứng suất chính khác dấu nhau vμ có giá trị bằng giá trị của ứng suất tiếp: σ1=−σ3=⎪τxy⎪ (3.15) IV. Liên hệ giữa ứng suất - biến dạng 1. Biến dạng dμi (định luật Húc tổng quát) ⇒ Tr−ớc hết hãy tìm biến dạng dμi t−ơng đối ε1 theo ph−ơng I của phân tố. σ1 Biến dạng do σ sinh ra: ε=11 1 E σ Biến dạng do σ sinh ra: ε = −μ 2 2 12 E σ Biến dạng do σ sinh ra: ε = −μ 3 3 13 E ⇒ Biến dạng dμi (t−ơng đối) theo ph−ơng I do các ba ứng suất σ1, σ2 vμ σ3 sinh ra: ε1 = ε11 + ε12 + ε13. ⇒ Lμm t−ơng tự ta đ−ợc biến dạng (t−ơng đối) theo ph−ơng II vμ Hình 3.7 ph−ơng III của phân tố: 1 1 ⎡ ⎤ ε=1123⎡⎤ σ−μσ+σ() ε=xxyz σ−μσ+σ() E ⎣⎦E ⎣ ⎦ 1 1 ε=⎡ σ−μσ+σ ⎤ ε=2231⎣⎦⎡⎤ σ−μσ+σ() yyzx⎣ ()⎦ E hoặc E (3.16) 1 1 ⎡ ⎤ ε=3312⎡⎤ σ−μσ+σ() ε=zzxy σ−μσ+σ() E ⎣⎦E ⎣ ⎦ ⇒ Các hệ thức bậc nhất (3.16) trên đây giữa biến dạng dμi vμ ứng suất pháp lμ nội dung của định luật Húc tổng quát đối với vật rắn đμn τij hồi tuyến tính. τij 2. Biến dạng góc (Định luật Húc về τij γij tr−ợt) γij ⇒ Xét biến dạng của phân tố. D−ới τ tác dụng của ứng suất tiếp phân tố bị ij biến đổi hình dáng vμ trở thμnh hình Hình3.8 23
7. bình hμnh (hình 3-8). Theo định luật Húc, giữa ứng suất tiếp τ vμ góc tr−ợt γ có liên hệ sau: τ ij = Gγij ( i, j = 1, 2, 3) (3.18) trong đó G lμ hệ số tỷ lệ gọi lμ môđun đμn hồi khi tr−ợt [lực/chiều dμi2], đó lμ hằng số vật liệu, đ−ợc xác định từ thí nghiệm. Môđun G liên hệ với E vμ μ nh− sau: E G = 2(1+μ ) (3.19) 3. Biến dạng thể tích tỷ đối (định luật Húc khối) ⇒ Gọi dx, dy vμ dz lμ các cạnh của phân tố vμ V0 lμ thể tích ban đầu của phân tố, ta có: V0 = dxdydz ⇒ Sau khi biến dạng, chiều dμi các cạnh thay đổi sẽ lμ (dx + Δdx), (dy + Δdy) vμ (dz + Δdz). Thể tích sau khi biến dạng: V1 = V0 + ΔV = (dx + Δdx).(dy + Δdy).(dz + Δdz)= ⎛⎞ΔΔΔdx⎛⎞ dy ⎛⎞dz = dxdydz⎜⎟111+++⎜⎟ ⎜⎟= dxdydz(111+ ε+ε+εxyz)()() ⎝⎠dx⎝⎠ dy ⎝⎠dz ⇒ Vì biến dạng lμ bé nên có thể bỏ qua các đại l−ợng vô cùng bé bậc 2 trở lên. Cuối cùng ta đ−ợc: V1 = V0(1 + εx + εY + εz) ⇒ Gọi θ lμ biến dạng thể tích t−ơng đối của phân tố, ta có: VV− θ= 10 = εx + εY + εz V0 ⇒ Thay εx, εY vμ εz từ (3.16) vμo công thức trên ta đ−ợc: 12−μ θ = εx + εY + εz = ()σxyz+σ +σ E ⇒ Đặt tổng ứng suất pháp lμ: Σ = ()σxyz+σ +σ E Σ= θ (3.20) ⇒ 12−μ ⇒ Công thức trên biểu diễn liên hệ bậc nhất giữa biến dạng thể 24
8. tích t−ơng đối vμ tổng các ứng suất pháp, gọi lμ định luật Húc khối. V. Ví dụ áp dụng Ví dụ 3.1. ứng suất toμn phần trên mặt cắt m-n đi qua một điểm của một vật thể trong trạng thái ứng suất phẳng P = 3000 N/cm2 có ph−ơng tạo thμnh một góc 600 với mặt cắt. Trên mặt vuông góc với mặt cắt nμy chỉ có ứng suất tiếp (hình 3.9). Tính ứng suất pháp vμ ứng suất tiếp trên mặt cắt tạo thμnh 0 góc 45 với mặt cắt m-n. Tính τ ứng suất pháp lớn nhất tại m điểm đó. v 600 p Giải x Ta thiết lập hệ trục xy trên 450 mặt cắt m-n vμ hệ trục uv u y trên mặt cắt nghiêng nh− n hình 3.9. Khi đó các thμnh phần ứng suất trên các mặt Hình 3.9 của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: 02 σ=x psin60 = 3.0,86 = 2,6kN / cm τ=−pcos6002 =− 5.0,5 =− 1,5kN / cm xy σ=y 0 áp dụng công thức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng với α = - 1350, ta có: σ+σxy σ−σ xy 2 σ=uxy +cos2 α−τ sin 2 α 2,8kN / cm 22 σ−σ τ = xysin2α + τ cos2α ≈ 1,3 kN/cm2 uv 2 xy ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó lμ: 25
9. 2 σ+σxy⎛⎞ σ−σ xy 2 2 σ = ++τ⎜⎟xy ≈ 3,28 kN/cm max 22⎝⎠ Ví dụ 3.2. Tại một điểm trên mặt một vật thể chịu lực ng−ời ta đo đ−ợc biến dạng tỷ đối theo các ph−ơng -4 om, on, ou nh− sau: εm = 2,81.10 ; u ε = -2,81.10-4 ; ε = 1,625.10-4 n m n u 0 Xác định ph−ơng chính vμ ứng suất 450 45 chính tại điểm ấy. Cho biết μ = 0,3; E = 2.104 kN/cm2. Giải O Từ định luật Húc ta rút ra đ−ợc ứng Hình 3.10 suất pháp ph−ơng m, n: 11 ε=() σ−μσ=() σ−0,3 σ = 2,81.10−4 mmnE 2.104 mn 11 ε=() σ−μσ=() σ−0,3 σ =− 2,81.10−4 nnmE2.104 nm 2 2 ⇒ σ=m 4,32 kN/cm ; σn =−4,32 kN/cm Biến dạng theo ph−ơng u: 1 ε=⎡⎤ σ−μσ+σ−σ() = uumnuE ⎣⎦ 1 =⎡⎤σ− 0,3() 4,32 − 4,32 −σ = 1,625.10−4 2.104 ⎣⎦uu 2 ⇒ σ=m 2,5 kN/cm ứng suất tiếp τmn tình từ công thức: σ+σmn σ−σ mn σ=umn +cos2 α−τ sin 2 α 22 4,32−+ 4,32 4,32 4,32 00 ⇒ 2,5=+ cos 2.45 −τmn sin 2.45 22 2 ⇒ τ=−mn 2,5 kN/cm Giá trị ứng suất chính tại điểm cho tr−ớc: σ+σmn1 2 2 σ=max ±() σ−σ+τ= m n4 mn 2 min 22 ⎪⎧σ=max 5kN / cm ⇒ ⎨ 2 4,32− 4,32 1 2 2 =±−+() 4,32 4,32 4.2,5 ⎩⎪σ=−min 5kN / cm 22 26
10. 0 2τ 2.2,5 1 ⎪⎧α=1 15 Ph−ơng chính: tg2α=−mn =  ⇒ ⎨ σ−σ4,32 + 4,32 0 mn 3 ⎩⎪α=2 105 27