Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 6: Uốn phẳng

Nội dung text: Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 6: Uốn phẳng

1. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng I. Kh¸i niÖm vÒ uèn ph¼ng ⇒ MÆt ph¼ng chøa c¸c lùc vμ m«men ®−îc gäi lμ mÆt ph¼ng t¶i träng (h×nh 6.1). ⇒ §−êng t¶i träng lμ giao tuyÕn gi÷a mÆt ph¼ng t¶i träng vμ MCN cña thanh. ⇒ MÆt ph¼ng qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m t¹o nªn bëi trôc cña thanh vμ mét trôc qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m cña MCN. ⇒ Mét thanh chñ yÕu chÞu uèn gäi lμ dÇm. Trôc cña dÇm sau khi bÞ uèn cong vÉn n»m H×nh 6.1 trong mét mÆt ph¼ng qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m th× sù uèn ®ã ®−îc gäi lμ uèn ph¼ng. ⇒ Uèn ph¼ng chia ra lμm hai lo¹i: uèn thuÇn tuý vμ uèn ngang ph¼ng. ⇒ Uèn thuÇn tuý ph¼ng: Trªn MCN cña dÇm chØ cã mét thμnh phÇn m«men uèn Mx (My) n»m trong mÆt ph¼ng qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m. ⇒ Uèn ngang ph¼ng: Trªn MCN cña nã cã hai thμnh phÇn néi lùc lμ lùc c¾t Qy vμ m«men uèn Mx (hoÆc Qx vμ My). II. dÇm chÞu uèn ph¼ng thuÇn tuý 1. øng suÊt trªn MCN cña dÇm chÞu uèn thuÇn tuý b) ThÝ nghiÖm ⇒ Quan s¸t mét ®o¹n dÇm chÞu uèn ph¼ng thuÇn tuý cã MCN h×nh ch÷ nhËt tr−íc vμ sau khi biÕn d¹ng (h×nh 6.2). Tr−íc khi biÕn d¹ng Sau khi biÕn d¹ng H×nh 6.2 47
2. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng Tõ c¸c thÝ nghiÖm dÇm chÞu uèn ph¼ng thuÇn tuý ⇒ mét sè gi¶ thiÕt: ⇒ Gi¶ thiÕt vÒ MCN ph¼ng: MCN cña thanh tr−íc vμ sau biÕn d¹ng vÉn ph¼ng vμ vu«ng gãc víi trôc cña thanh. ⇒ Gi¶ thiÕt vÒ c¸c thí däc: trong suèt qu¸ tr×nh biÕn d¹ng c¸c thí däc lu«n song song víi nhau vμ song song víi trôc thanh. ⇒ Thí kh«ng bÞ d·n, kh«ng bÞ co gäi lμ thí trung hoμ. C¸c thí trung hoμ t¹o thμnh mÆt trung hoμ (líp trung hoμ). Giao tuyÕn cña mÆt trung hoμ víi MCN gäi lμ ®−êng trung H×nh 6.3 hoμ. b) øng suÊt trªn MCN ⇒ XÐt mét MCN nμo ®ã vμ chän hÖ trôc to¹ ®é nh− h×nh 6.1 víi trôc Ox lμ trôc ®−êng trung hoμ. Trªn MCN chØ cã øng suÊt ph¸p, kh«ng cã øng suÊt tiÕp v× øng suÊt tiÕp lμm MCN sÏ bÞ vªnh ®i gãc sÏ y kh«ng cßn vu«ng n÷a. ⇒Theo ®Þnh luËt Hóc: σ=E ε zz (a) z ⇒ Thí trung hoμ kh«ng bÞ biÕn d¹ng: H×nh 6.4 OO12=Δ z → OO 12 =ρΔϕ . ⇒ XÐt mét thí mn (h×nh 6.4): Tr−íc khi biÕn d¹ng ta cã: mn=Δ z =ρΔϕ. Sau khi biÕn d¹ng, ta cã: mn = (ρ + y)Δϕ (y)ρ +Δϕ−ρΔϕ y ε == ⇒ §é d·n dμi tû ®èi cña thí mn b»ng: z ρΔϕ ρ (b) y σ=E ⇒ Thay (b) vμo (a), ta ®−îc: z ρ (c) ⇒ T¹i mét MCN b¸n kÝnh ρ cã trÞ sè x¸c ®Þnh, E lμ mét h»ng sè. VËy quy luËt ph©n bè øng suÊt ph¸p trªn MCN lμ ph¼ng nh− trªn h×nh 6.5a. Giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng øng suÊt víi MCN chÝnh lμ trôc trung hoμ (®−êng trung 48
3. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng hoμ). Râ rμng øng suÊt ph¸p trªn c¸c ®−êng th¼ng song song víi trôc trung hoμ cã trÞ sè nh− nhau. Do ®ã ta cã thÓ vÏ biÓu ®å ph©n bè øng suÊt ph¸p nh− trªn h×nh 6.5b. _ y + H×nh 6.5 Ta cã quan hÖ gi÷a m«men uèn Mx vμ øng suÊt ph¸p σz: EE 1 M MydFydFJ=σ =2 = = x xz∫∫ x ⇒ (6.1) FFρρ ρ EJx So s¸nh (c) vμ (6.2) ta suy ra c«ng thøc øng suÊt ph¸p trªn MCN: Mx σ=z y (6.2) Jx 2. VÞ trÝ trôc trung hoμ Uèn ph¼ng thuÇn tuý ⇒ trªn mäi MCN thμnh phÇn lùc däc Nz = 0. Ta cã: E NdF0=σ = NydF0= = zz∫ ⇒ z ∫ (6.3) F ρ F ydF= S= 0 ⇒ §¼ng thøc trªn ®−îc tho¶ m·n, khi: ∫ x (6.4) F trong ®ã Sx lμ m«men tÜnh cña MCN ®èi víi trôc trung hoμ. ⇒ VËy trôc trung hoμ lμ mét trôc trung t©m. 3. øng suÊt kÐo vμ nÐn lín nhÊt ⇒ σz cã trÞ sè tuyÖt ®èi lín nhÊt t¹i c¸c ®iÓm mÐp trªn hay mÐp d−íi. ⇒ NÕu trôc trung hoμ lμ ®èi xøng, vÝ dô MCN lμ h×nh ch÷ nhËt, h×nh trßn, ch÷ I, kn M J σ=σ σ=x W = x ⇒ zzmax max . Tæng qu¸t ta viÕt: z max ; x (6.5) Wx ymax ⇒ MCN mμ ®−êng trung hoμ kh«ng chia ®Òu chiÒu cao (h×nh 6.6) ⇒ kn σ≠σzmax zmax . KÝ hiÖu kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm xa nhÊt tíi trôc trung hoμ lμ kn k MMxx y(y)max max ⇒ øng suÊt kÐo (nÐn) lín nhÊt: σ=zmax kk = (6.6) Jyxmaxx W 49
4. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng n MMxx σ=zmin nn = (6.7) Jyxmaxx W J x 3 trong ®ã, ®¹i l−îng: Wmx = () lμ m«men ymax chèng uèn cña MCN ®èi víi trôc trung hoμ. VÝ dô, MCN h×nh ch÷ nhËt J2bhbh32 W ==x =, x h2 12h 6 J πd3 H×nh trßn: W0,1d==≈x 3 ; H×nh 6.6 x d/2 32 3 πD 434 d H×nh vμnh kh¨n: W10,1D1x =−η≈−η() (); η = 32 D kn ⇒ §iÒu kiÖn dÇm cã ®é bÒn ®Òu: σ=σz max z max ⇒ NÕu dÇm lμm b»ng vËt liÖu dÎo th× MCN ph¶i ®èi xøng qua ®−êng trung hoμ, nÕu dÇm lμm b»ng vËt liÖu gißn th× MCN ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: k k ymax []σ = n n ymax []σ ⇒ BiÓu thøc trªn cho thÊy: cïng MCN cã diÖn tÝch F, nÕu m«®un chèng uèn lín th× cμng tiÕt kiÖm vËt liÖu ⇒ ng−êi ta ®−a vμo tû sè kh«ng thø W nguyªn ξ= x , ®−îc gäi lμ m«men chèng uèn riªng cña mÆt c¾t. F3 ⇒ ξ cμng lín th× møc ®é tiÕt kiÖm vËt liÖu cμng tèt. MCN hîp lý khi dÇm chÞu uèn lμ tÝnh chÊt lμm tiÕt kiÖm nguyªn vËt liÖu. ViÖc chÕ t¹o c¸c thÐp c¸n ®Þnh h×nh cã MCN h×nh ch÷ I, h×nh ch÷ C dùa trªn tÝnh chÊt hîp lý nμy. 4. §iÒu kiÖn bÒn k n ⇒ DÇm lμm tõ vËt liÖu dÎo v× σch = σch theo (6.5), ta cã: M σ=≤σx z max [] (6.13) Wx kn ⇒ DÇm lμm tõ vËt liÖu gißn, v× σch≠σ ch ⇒ ph¶i viÕt 2 ®iÒu kiÖn bÒn: M n M σ=k x ≤σ σn =σ =x ≤ σ zmax k []k (6.14); zmin z maxn [] n (6.15) Wx Wx ⇒ T×m vÞ trÝ MCN cã øng suÊt ph¸p lín nhÊt. NÕu dÇm cã MCN kh«ng thay ®æi vμ vËt liÖu cña dÇm lμ dÎo th× lÊy ë MCN cã m«men uèn lín nhÊt. Tr−êng hîp dÇm cã MCN thay ®æi ta ph¶i lÊy MCN cã øng suÊt ph¸p lín nhÊt. Tr−êng hîp dÇm lμm b»ng vËt liÖu gißn ta ph¶i t×m MCN tho¶ m·n c¸c biÓu thøc (6.14), (6.15) (kÐo - nÐn). 50
5. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng III. Uèn ngang ph¼ng ⇒ Uèn ngang ph¼ng, trªn MCN cña thanh cã øng suÊt ph¸p do m«men uèn vμ øng suÊt tiÕp do lùc ngang g©y ra. H×nh 6.7 m« t¶ hiÖn t−îng uèn ngang (trôc bÞ uèn cong), lμm cho c¸c MCN ban ®Çu kh«ng cßn ph¼ng n÷a sau khi bÞ uèn ngang. H×nh 6.7 1. øng suÊt ph¸p Trong uèn ph¼ng, lùc c¾t ⇒ øng suÊt tiÕp. C¸c øng suÊt tiÕp ph©n bè theo chiÒu cao mÆt c¾t kh«ng ®Òu. Do ¶nh h−ëng ®ã, c¸c biÕn d¹ng gãc còng cã trÞ sè thay ®æi theo chiÒu cao cña MCN lμm cho mÆt c¾t sau khi bÞ uèn kh«ng cßn ph¼ng n÷a mμ h¬i bÞ vªnh theo ch÷ S (h×nh 6.8). NÕu lùc c¾t b»ng h»ng sè th× MCN ®Òu vªnh nh− nhau ⇒ sù vªnh kh«ng ¶nh h−ëng ®Õn ®é d·n hoÆc ®é co ⇒ c«ng thøc tÝnh øng suÊt ph¸p (6.2) vÉn cßn ®óng M σ= x y trong tr−êng hîp uèn ngang ph¼ng: z . Jx 2. øng suÊt tiÕp H×nh 6.8 ⇒ øng suÊt tiÕp trªn MCN: τzx vμ τzy (h×nh 6.9a). Theo ®Þnh luËt ®èi øng øng suÊt tiÕp (mÆt ngoμi dÇm kh«ng chÞu ngo¹i lùc theo ph−¬ng z) ⇒ τzx =0, cã nghÜa t¹i ®iÓm xÐt cã τ = τzy. Tõ lý thuyÕt ®μn håi ⇒ gi¶ thiÕt: ⇒ TÊt c¶ c¸c øng suÊt tiÕp trªn MCN ®Òu // víi lùc c¾t. ⇒ øng suÊt tiÕp ph©n bè ®Òu theo chiÒu réng cña MCN. ⇒ T¸ch tõ dÇm mét ®o¹n cã chiÒu dμi dz (h×nh 6.9), sau ®ã b»ng mÆt c¾t ABCD song song vμ c¸ch mÆt ph¼ng Oxz mét kho¶ng y chia ®o¹n thanh nμy thμnh hai phÇn vμ xÐt phÇn kh«ng chøa gèc O (ABCDEFGH). 51
6. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng Qy x τtp τzy y τzx c) a) b) H×nh 6.9 σσva ⇒ Gäi z12z lμ øng suÊt ph¸p trªn c¸c mÆt c¾t 1−1 vμ 2−2, b(y) = AB vμ Fc lμ diÖn tÝch cña mÆt c¾t ABEF, bc chiÒu réng cña phÇn diÖn tÝch ®ã t¹i ®iÓm c¸ch trôc trung hoμ y. Cã thÓ thÊy: MMdM+ σ=xzxy; σ= y zz12 (a) JJxx ⇒ XÐt sù c©n b»ng ph©n tè phÇn d−íi, ta cã: FdFdFb.dz0=σ −σ +τ. = ∑ zz∫∫12 z yzc (b) FFcc dM x ⇒ Thay (a) vμo (b) vμ chó ý r»ng = Qy , ta cã: dz Q.y QQS. c τ=τ= y dF τ=yyxydF = zy yz ∫ Jbc ⇒ zy J bJbcc∫ (6.16) Fc x xxFc c trong ®ã Syx () lμ m«men tÜnh cña diÖn tÝch Fc ®èi víi trôc trung hoμ x.Víi mÆt c¾t lμ d¶i ch÷ nhËt hÑp: c S x = ξFc (6.17) ξ - to¹ ®é träng t©m phÇn tiÕt diÖn bÞ c¾t ®èi víi trôc trung hoμ. ⇒ C«ng thøc (6.16) ®−îc gäi lμ c«ng thøc Juravxky (1855). C«ng thøc nμy cho thÊy: trÞ sè øng suÊt tiÕp øng víi "líp thí däc" bÊt k× c¸ch trôc trung hoμ x mét kho¶ng y, tØ lÖ thuËn víi lùc c¾t Qy vμ m«men tÜnh Sx(y) cña phÇn MCN giíi h¹n bëi "líp thí" ®ã, nh−ng tØ lÖ nghÞch víi m«men qu¸n tÝnh Jx cña MCN vμ chiÒu réng b(y) cña "líp thí" ®−îc xÐt. 52
7. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng 3. øng suÊt tiÕp cña mét sè mÆt c¾t ®¬n gi¶n a) MCN h×nh ch÷ nhËt (h×nh 6.10): Ta cã: 23 2 c2bh⎛⎞ bh c 3Q y ⎛⎞4y Sxx=−⎜⎟ y ;J = ;b = b ⇒ τ=zy ⎜⎟1 − 24⎝⎠ 12 2bh⎝⎠ h ⇒ BiÓu ®å ph©n bè øng suÊt tiÕp trªn MCN (h×nh 6.10): 3Qyy 3Q ⇒ τ t¹i c¸c ®iÓm trªn trôc trung hoμ: τ=max = (6.18) max 2bh 2F H×nh 6.11 H×nh 6.10 b) MCN h×nh trßn 4 πR232⎫ 4Q J==−=− ;b2Ry;SRyc22c22 y 22 xx()⎬ ⇒ τ=zy 4 ()Ry − 43⎭ 3Rπ ⇒ BiÓu ®å ph©n bè øng suÊt tiÕp trªn MCN cho trªn h×nh 6.11: 4Qyy4 Q τ=max 2 = (6.19) 3Rπ 3F ⎡ 2 ⎤ QS QSyx⎣ − dy/2⎦ max yx c) MCN ch÷ I (thÐp c¸n): τ=zy ⇒ τ=zy J.dx J.dx c y (SSd.y.xx=− víi S lμ m«men tÜnh mét nöa ch÷ I) 2 x 2 ⎡⎤dh⎛⎞ QSyx⎢⎥−−⎜⎟ t ⎣⎦⎢⎥22⎝⎠ ⇒ T¹i ®iÓm A: τ=1 . J.dx 2 ⎡ dh⎛⎞⎤ QSyx⎢ −−⎜⎟ t⎥ ⎣⎢ 22⎝⎠⎦⎥ ⇒ T¹i ®iÓm ë ®Õ: τ=2 J.bx max ⇒ Do d τ2 nªn khi kiÓm tra bÒn chØ chó ý ®Õn τzy vμ τ1. 53
8. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng 4. §iÒu kiÖn bÒn ⇒ §èi víi dÇm chÞu uèn ngang ph¼ng, viÖc t×m vÞ trÝ ®iÓm nguy hiÓm vμ viÕt ®iÒu kiÖn bÒn cã phøc t¹p h¬n. Dùa vμo biÓu ®å ph©n bè øng suÊt ph¸p vμ tiÕp, däc theo chiÒu cao ta thÊy trªn h×nh 6.13. H×nh 6.13 • ë c¸c ®iÓm ngoμi mÐp xa trôc trung hoμ nhÊt - ®iÓm A (C): Mx ⇒ §iÒu kiÖn ®èi víi vËt dÎo: max σz =≤σ[] (6.20) Wx M M max σ=k x ≤σ max σn =≤σx ⇒ VËt liÖu gißn: z k []k ; z n []n (6.21) Wx Wx • §iÓm trªn trôc trung hoμ - ®iÓm O (h×nh 6.13): max τmax ≤τ[ ] (6.22) • Nh÷ng ®iÓm cã c¶ øng suÊt ph¸p vμ øng suÊt tiÕp - ®iÓm B ⇒ ®−a vÒ øng suÊt t−¬ng ®−¬ng σt®. VËy ®iÒu kiÖn ®−îc viÕt lμ: max σt® ≤ [σ] (6.23) ⇒ VÝ dô theo thuyÕt bÒn øng suÊt tiÕp lín nhÊt, øng suÊt tÝnh to¸n t−¬ng 22 ®−¬ng t¹i ®iÓm B, cã d¹ng: σ=σ+τtd(B) z(B)4 zy(B) (6.24) 5. Chän kÝch th−íc MCN, x¸c ®Þnh t¶i träng cho phÐp ⇒ Khi chän kÝch th−íc cña MCN hoÆc x¸c ®Þnh t¶i träng cho phÐp, ®Çu tiªn ta xuÊt ph¸t tõ ®iÒu kiÖn c¬ b¶n (6.20), (6.21). Sau ®ã, nÕu cÇn thiÕt ta míi kiÓm tra ®iÒu kiÖn bÒn vÒ tr−ît vμ ®iÒu kiÖn bÒn khi cã c¶ øng suÊt ph¸p σz vμ øng suÊt tiÕp τ (vÝ dô, mÆt c¾t ch÷ I). T¹i chç tiÕp gi¸p gi÷a lßng vμ ®Õ øng suÊt σz vμ τ ®Òu kh¸ lín vμ ng−êi ta còng chØ quan t©m khi trªn mÆt c¾t ®ã gi¸ trÞ m«men uèn, lùc c¾t ®Òu rÊt lín. 6. VÝ dô ¸p dông VÝ dô 6.1: Mét dÇm b»ng vËt liÖu cã øng suÊt ph¸p cho phÐp khi kÐo σ=3,5kN / cm2 σ=11kN / cm2 [ ]k vμ nÐn [ ]n , chÞu lùc nh− trªn h×nh 6.14a. KiÓm tra ®é bÒn cña dÇm. Bμi gi¶i: Tr×nh tù c¸c b−íc thùc hiÖn - VÏ biÓu ®å m«men uèn, cho trÞ sè maxMx = 4,5kN.m 54
9. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng 16 H×nh 6.14 - T×m c¸c ®Æc tr−ng cÇn thiÕt cña MCN (h×nh 6.14c), ta ®−îc c¸c trÞ sè: 4 kn Jx = 370cm ; ymax==2,67cm; y max 7,33cm kn - TÝnh c¸c gi¸ trÞ maxσσzz ;max : kkMMxx 2 nn 2 maxσ=σ=zA y max = 3,25kN / cm ≤σ[] ;max σ=σ= zB y max = 8,92kN / cm ≤σ[] JJkn xx VËy dÇm ®ñ bÒn. VÝ dô 6.2: Cho dÇm chÞu lùc nh− trªn h×nh 6.15. Chän ®−êng kÝnh cña dÇm cho hai tr−êng hîp: dÇm cã MCN kh«ng ®æi, dÇm cã ba bËc nh− h×nh 6.15. BiÕt l=80 cm, + P=5kN, [σ=] 16kN / cm2 , [τ=] 8kN / cm2 . Bμi gi¶i - DÇm cã MCN kh«ng ®æi. Theo ®iÒu kiÖn bÒn c¬ b¶n (6.13), ta cã: 3 + 0,1d≥σ Mxmax / [ ] 2 trong ®ã: M5.80/410kN.cmxmax == H×nh 6.15 ⇒ d≥=3 102 /() 0,1.16 4cm - DÇm ba bËc (h×nh 6.16). TrÞ sè d1, d2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (6.20). 2 §èi víi ®o¹n gi÷a: max Mx = 10 kNcm §èi víi ®o¹n hai ®Çu: Mx === 30.P / 2 30.5/ 2 75kNcm Tõ ®iÒu kiÖn bÒn c¬ b¶n (6.13), ta cã: 2 3310 75 0,1d11≥→= d 4cm; 0,1.d 22 ≥→= d 3,6cm 16 16 Víi kÝch th−íc ®· chän dÇm lμm viÖc ®ñ bÒn. H×nh 6.16 55
10. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng IV. ChuyÓn vÞ cña dÇm chÞu uèn ⇒ Khi dÇm chÞu uèn ph¼ng ⇒ trôc cña dÇm bÞ uèn cong gäi lμ ®−êng ®μn håi (h×nh 6.17). ⇒ ChuyÓn vÞ ®øng cña MCN t¹i K gäi lμ ®é H×nh 6.17 vâng y(z) cña dÇm. ⇒Gãc lËp bëi tiÕp tuyÕn víi ®−êng ®μn håi t¹i ®iÓm K’ vμ trôc cña dÇm tr−íc khi biÕn d¹ng gäi lμ gãc xoay ϕ(z). 1. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n gÇn ®óng cña ®−êng ®μn håi ⇒ Tõ (6.1) ta cã b¸n kÝnh cong ρ cña ®−êng ®μn håi ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: 1 M x = (a) ρ EJx ⇒ MÆt kh¸c ta cã: 1y′′ H×nh 6.18 =± 3/2 (b) ρ ()1y+ ′2 Mx ⇒ Tõ (a) vμ (b) suy ra: yz′′ ()=− (6.28) EJx ⇒ DÊu “-” do m« men uèn ( y′2 ≈ 0 do biÕn d¹ng lμ v« cïng bÐ) vμ ®é låi (lâm) cña dÇm lμ tr¸i dÊu nhau (h×nh 6.18). 2. TÝnh ®é vâng, gãc xoay b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n kh«ng ®Þnh h¹n ⇒ Muèn tÝnh gãc xoay vμ ®é vâng t¹i mÆt c¾t bÊt kú cña dÇm, ta lÇn l−ît tÝch ph©n ph−¬ng tr×nh (6.28) hai lÇn: M yz′ =ϕ z =−x dzC + () () ∫ 1 (6.29) EJx ⎛⎞M y z=−x dz dz + C z + C () ∫∫⎜⎟12 (6.30) ⎝⎠EJx ⇒ C¸c h»ng sè tÝch ph©n C1 vμ C2 x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn biªn t¹i c¸c mÆt c¾t ®Æt liªn kÕt vμ ®iÒu kiÖn liªn tôc cña ®é vâng vμ gãc xoay t¹i vÞ trÝ tiÕp gi¸p gi÷a c¸c ®o¹n dÇm. 56
11. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng VÝ dô 6.3: XÐt dÇm c«ng-x«n chÞu m«men uèn M0 t¹i ®Çu tù do (h×nh 6.19), biÕt ®é cøng cña dÇm EJx = const. TÝnh ®é vâng vμ gãc xoay t¹i ®iÓm A. Bμi gi¶i: XÐt mÆt c¾t 1-1, ta cã: Mx = M0 Thay vμo (6.28) vμ tÝch ph©n lÇn l−ît hai lÇn ta ®−îc: H×nh 6.19 M M M ′′ 0 0 0 2 y =− ; yzC′ =− + 1 ; y.zCzC= −++12 EJx EJx EJx ⎪⎧y0()l = ⎧ MMll2 z:=⇒==−l ⎨⎨ C00 ; C §iÒu kiÖn biªn: 12EJ 2EJ ⎩⎪y0′()l = ⎩ xx 2 M0l M0l VËy ®é vâng, gãc xoay t¹i A lμ: y()l =− ; ϕ=A y′()l = 2EJx EJx DÊu “-” chøng tá ®iÓm A chuyÓn vÞ lªn trªn, ng−îc chiÒu d−¬ng cña trôc y. Gãc xoay t¹i A quay ng−îc chiÒu kim ®ång hå. VÝ dô 6.4: Còng víi dÇm nh− trªn nh−ng chÞu lùc tËp trung P (h×nh 6.20). TÝnh ®é vâng, gãc xoay t¹i A? Bμi gi¶i: T¹i mÆt c¾t 1-1, ta cã: Mx = -P.z (dÊu “-” do Mx lμm c¨ng thí trªn) P.z Thay vμo (6.28), ta cã: y′′ = EJx TÝch ph©n liªn tiÕp 2 lÇn: H×nh 6.20 P.z 2 P.z3 ′ yC=+1 ; yCzC=++12 2EJx 6EJx ⎧ Pl2 C =− ⎧ ⎪ 1 ⎪⎪y0()l = 2EJx z:=⇒l ⎨⎨ §iÒu kiÖn biªn: y0′()l = PPPlll33 3 ⎩⎪ ⎪C =− + = ⎪ 2 ⎩ 6EJxxx 2EJ 3EJ Pl3 VËy ®é vâng t¹i A lμ: y0()== C2 3EJ x Pl2 Gãc xoay t¹i A lμ: ϕ=()0y0C′ () ==−1 2EJx yA > 0 chøng tá ®iÓm A chuyÓn vÞ xuèng d−íi. Cßn ϕA < 0 chøng tá gãc xoay t¹i A quay cung chiÒu kim ®ång hå. 57
12. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng 3. Ph−¬ng ph¸p hμm gi¸n ®o¹n ⇒ Ph−¬ng ph¸p hμm gi¸n ®o¹n cho phÐp biÓu diÔn m«men uèn thμnh biÓu thøc duy nhÊt trªn toμn chiÒu dμi cña dÇm, vμ chØ cã 2 h»ng sè tÝch ph©n x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn biªn ⇒ viÖc tÝnh to¸n ®é vâng gãc xoay t¹i mÆt c¾t bÊt kú trªn toμn dÇm ®−îc ®¬n gi¶n ho¸ rÊt nhiÒu ⇒ cã thÓ ¸p dông tin häc ho¸. ⇒ Hμm gi¸n ®o¹n ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: n n ⎪⎧()xa−≥ khixa xa−=⎨ víi x ∈ R, n ∈ N, n ≥ 0, a = const ∈ R. ⎩⎪0khixa< ⇒ Cã nghÜa lμ hμm gi¸n ®o¹n chØ cã gi¸ trÞ kh¸c 0 khi ®èi sè lμ kh«ng ©m. Khi ®ã c¸c dÊu ngoÆc nhän cã thÓ coi nh− dÊu ngoÆc trßn th«ng th−êng. Cßn khi ®èi sè ©m th× hμm gi¸n ®o¹n b»ng 0. ⇒ Tõ ®Þnh nghÜa hμm gi¸n ®o¹n ta cã tÝnh chÊt sau: n1+ d nn1− n xa− xa−= n.xa − ; xadx− =+ C dx ∫ n1+ ⇒ Sö dông hμm gi¸n ®o¹n ta cã thÓ biÓu diÔn m«men uèn cña dÇm ®èi víi c¸c lo¹i t¶i träng kh¸c nhau: a) M« men tËp trung 0 MM.zax0=− − DÊu “-” v× m« men uèn lμm c¨ng thí trªn. b) Lùc tËp trung 1 MP.zax =− − c) Lùc ph©n bè ®Òu ®Õn hÕt chiÒu dμi dÇm: q. z− a 2 Mx = 2 d) Lùc ph©n bè ®Òu trªn mét ®o¹n cña dÇm q. z−− a22 q. z b M =− x 22 ⇒ ¸p dông nguyªn lý céng t¸c t¸c dông ta sÏ viÕt ®−îc biÓu thøc m«men uèn cho dÇm víi t¸c dông ®ång thêi cña nhiÒu t¶i träng kh¸c nhau. Thay biÓu thøc cña Mx vμo (6.28) vμo tÝch ph©n lÇn l−ît hai lÇn gièng nh− ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n kh«ng ®Þnh h¹n ta sÏ thu ®−îc ®é vâng, gãc xoay t¹i mÆt c¾t bÊt kú. Hai h»ng sè tÝch ph©n ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn liªn kÕt cña dÇm. 58
13. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng 0 VÝ dô 6.5: Tõ h×nh (6.19) ta cã (chän gèc to¹ ®é t¹i A): MM.z0x0=− 0 1 M.z− 0 M.z− 0 M.z− 02 ′′ 0 ′ 0 0 y =− ; yC=− + 1 ; yCzC= −++12 EJx EJx 2EJx ⎧y0l = 22 2 ⎪ () ⎧ MMMM0000llll z:=⇒==−=−l ⎨⎨ C12 ; C §iÒu kiÖn biªn: EJ 2EJ EJ 2EJ ⎩⎪y0′()l = ⎩ xxxx M l2 M l 0 ′ 0 VËy ®é vâng, gãc xoay t¹i A lμ: yy0A ==−() ; ϕ=A y0() = 2EJx EJx KÕt qu¶ gièng nh− ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n kh«ng ®Þnh h¹n. 1 VÝ dô 6.6: Tõ h×nh 6.20: MP.z0x = −− (chän gèc to¹ ®é t¹i A) 1 3 P. z− 0 P. z− 0 2 P. z− 0 ′′ y = ; yC′ =+1 ; yCzC= ++12 EJx 2EJx 6EJx ⎪⎧y0(l) = ⎧ PPPPllll2333 z:=l ⎨⎨ ⇒ C12 =− ; C =− + = §iÒu kiÖn biªn: 2EJ 6EJ 2EJ 3EJ ⎩⎪y0′()l = ⎩ xxxx Pl3 Pl2 ′ VËy ®é vâng, gãc xoay t¹i A lμ: yy0A ==() ; ϕ=A y0() =− 3EJ x 2EJx KÕt qu¶ gièng nh− ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n kh«ng ®Þnh h¹n. VÝ dô 6.7: TÝnh ®é vâng, gãc xoay t¹i ®iÓm gi÷a cña dÇm. Tõ h×nh 6.21, ta cã: EJ = const q.a12 q Mz0z0x =−−− 22 q.a12 q EJ.yx ′′ =− z0 − + z0 − 22 H×nh 6.21 q.a23 q EJx1 .y′ =− z − 0 + z − 0 + C 46 q.a34 q EJ.y=− z0 − + z0 − + C.zC + x1212 24 3 ⎧z0:y00==⎧ qa ⎪⎪() C1 = §iÒu kiÖn biªn: ⎨⎨⇒ 24 ⎩⎪za:ya0==() ⎪ ⎩C02 = a5qa4 ⎛⎞a ⎛⎞ ′ VËy ®é vâng vμ gãc xoay tai C: yyC ==⎜⎟ ; ϕ=C y0⎜⎟ = ⎝⎠2 384EJx ⎝⎠2 59
14. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng 4. Ph−¬ng ph¸p t¶i träng gi¶ t¹o (ph−¬ng ph¸p ®å to¸n) ⇒ Liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực như sau: dM(z)2 dQ (z) x ==y q(z) dz2 dz ⇒ Còn đối với phương trình đường đàn hồi, ta có phương trình vi phân: 22 dyMMxx dy dy′ 22=− ⇒ = =− dz EJxx dz dz EJ ⇒ Ta có sự tương đương nhau, do vậy nếu tạo ra một tải trọng giả tạo M q =− x gt , bằng phương pháp mặt cắt xác định được Qgt và Mgt trên dầm EJx giả tạo. Giá trị đó chính là độ võng và góc xoay trên dầm thực tương ứng. ⇒ Điều kiện liên kết của dầm giả tạo và dầm thực phải có mối tương quan sao cho giá trị Qgt và Mgt trên dầm giả tạo phải đúng bằng giá trị độ võng và góc xoay trên dầm thực tương ứng (bảng 6.1). Bảng 6.1 ⇒ Trình tự giải bài toán bằng phương pháp tải trọng giả tạo : - Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx cho trên dầm thực. - Vẽ dầm giả tạo với các liên kết phù hợp với điều kiện độ võng, góc xoay tương ứng trên dầm thực 60
15. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng - Đặt biểu đồ Mx lên dầm giả tạo, nhưng chú ý là tung độ bằng Mx/EJx, chiều mũi tên của tải trọng giả tạo hướng về phía thớ căng của dầm Mx thực (do đó thoả mãn qgt =− ) EJx - Xác định Qgt và Mgt ⇒ độ võng và góc xoay của dầm thực. ⇒ Ðể tiện lợi trong quá trình tính toán sau này, chúng ta xác định trước diện tích và hoành độ trọng tâm của một số biểu đồ (bảng 6.2). Bảng 6.2 Hình Diện tích zc 2 1 f.l l F = 3 2 2 3 f.l l F = 3 8 f.l l F = n +1 n2+ Ví dụ 6.8: Xác định độ võng và góc xoay tại đầu B của dầm chịu lực như hình 6.23. Giải Biểu đồ momen uốn M phân bố bậc nhất như 6.23. Chọn dầm giả tạo thích ứng. Tải trọng giả tạo có chiều hướng lên. Ta có: PPll l2 yQ.′ =ϕ = = = BB gtEJ 2 2EJ P2Pll l3 yM== l = Hình 6.22 BgtEJ 2 2 2EJ 61
16. Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng 5. §iÒu kiÖn cøng cña dÇm chÞu uèn ph¼ng ⇒ Khi chÕ t¹o c¸c bé phËn cña c«ng tr×nh (cÇu, dÇm chÞu lùc cña c¸c toμ nhμ, ) ⇒ cÇn kiÓm tra xem biÕn d¹ng lín nhÊt cña kÕt cÊu kh«ng ®−îc v−ît qu¸ gi¸ trÞ cho phÐp ®−îc quy ®Þnh bëi yªu cÇu cña thiÕt kÕ. ⇒ BiÕn d¹ng lín nhÊt ®ã lμ: y ϕ max ≤ []f ; max ≤ []θ l l trong ®ã ymax; ϕmax lμ ®é vâng vμ gãc xoay lín nhÊt cña dÇm; l lμ chiÒu dμi cña dÇm. [f] lμ gi¸ trÞ cho phÐp cña ®é vâng trªn mét ®¬n vÞ dμi. [θ] lμ gi¸ trÞ cho phÐp cña gãc xoay trªn mét ®¬n vÞ dμi. V. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH ⇒ Cũng như trong các bài toán về kéo, nén và xoắn, ở đây ta cũng gặp những bài toán siêu tĩnh về uốn ⇒ cần phải thiết lập thêm phương trình biến dạng ⇒Ví dụ, cho dầm chịu lực như hình 6.23. Siêu tĩnh bậc 1. ⇒ Dựa vào điều kiện độ võng tại B của dầm bằng 0 để lập phương trình biến dạng: yB = 0 ⇒ Ðộ võng B do phản lực RB và do tải trọng phân bố q. ⇒ Dựa vào phương pháp đồ toán ta chọn dầm giả tạo và tải trọng phân bố giả tạo như hình 6.23. Mômen giả tạo tại B do tải trọng qgt gây nên là : ⇒ Trị số của mômen giả tạo đó chính là độ võng tại B. Với điều kiện độ võng bằng không ta có phương ql 4 R l3 trình: −=B 0 8EJ 3EJ H ình 6.23 ⇒ Khi đã có RB ta dễ dàng vẽ được biểu đồ nội lực của dầm 62