Giáo trình Vật lý thống kê và nhiệt động lực

Nội dung text: Giáo trình Vật lý thống kê và nhiệt động lực

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA LÝ TS. ÑOÃ XUAÂN HOÄI TAØI LIEÄU LÖU HAØNH NOÄI BOÄ 2003
2. LÔØI NOÙI ÑAÀU Cuoán saùch naøy ñöôïc vieát xuaát phaùt töø giaùo trình vaät lyù thoáng keâ ñaõ giaûng cho caùc lôùp sinh vieân naêm thöù tö khoa Vaät lyù, tröôøng ÑHSP TP.HCM töø moät vaøi naêm qua. Tuy ñöôïc soaïn theo tinh thaàn cuûa chöông trình hieän haønh taïi khoa Vaät lyù, tröôøng ÑHSP TP. HCM, nhöng noäi dung saùch cuõng ñaõ ñöôïc môû roäng theâm, nhaèm cung caáp tö lieäu cho sinh vieân. Saùch ñöôïc trình baøy vôùi noã löïc lôùn veà maët sö phaïm: Ngoaøi phaàn baøi taäp keøm theo moãi chöông ñeå cuûng coá cuõng nhö ñeå ñaøo saâu theâm nhöõng kieán thöùc ñaõ ñöôïc phaân tích trong phaàn lyù thuyeát, moät soá ñeà taøi lôùn hôn ñöôïc soaïn döôùi daïng caùc “vaán ñeà” ñeå sinh vieân taäp laøm quen vôùi vieäc nghieân cöùu töøng ñeà taøi khoa hoïc troïn veïn vaø sinh vieân thaáy ñöôïc caùc lónh vöïc aùp duïng cuûa vaät lyù thoáng keâ, ví duï nhö trong vaät lyù thieân vaên. Phaàn naøy cuõng coù theå duøng ñeå gôïi yù cho caùc sinh vieân laøm seminar trong naêm hoïc, luaän vaên toát nghieäp, hoaëc coù theå naâng cao theâm ñeå chuaån bò cho caùc luaän vaên Thaïc só vaät lyù. Nhaän thöùc ñöôïc raèng vieäc naém vöõng ít nhaát laø moät ngoaïi ngöõ ñeå ñöôïc töï naâng cao trong quaù trình ñaøo taïo laø ñieàu nhaát thieát phaûi coù ñoái vôùi moãi sinh vieân neân trong phaàn phuï luïc coù keøm theo moät danh muïc caùc töø ngöõ ñoái chieáu Vieät-Anh-Phaùp thöôøng ñöôïc söû duïng trong moân vaät lyù thoáng keâ. Hy voïng raèng phaàn naøy seõ giuùp ích cho caùc sinh vieân khi söû duïng ngoaïi ngöõ trong khi hoïc taäp. Cuõng caàn nhaán maïnh raèng theo yù kieán cuûa moät soá nhaø vaät lyù coù uy tín treân theá giôùi thì phaàn nhieät ñoäng löïc hoïc phaûi ñöôïc xem nhö laø heä quaû cuûa moân cô hoïc thoáng keâ, ñöôïc trình baøy nhö moät moân vaät lyù lyù thuyeát thöïc söï, coù nghóa laø phaùt xuaát töø caùc tieân ñeà, cuõng töông töï nhö moân cô hoïc löôïng töû chaúng haïn. Phaàn khaùc, ta cuõng neân nhôù raèng moân cô hoïc thoáng keâ, cuøng vôùi cô hoïc löôïng töû vaø lyù thuyeát töông ñoái, hieän ñang taïo neân moät trong caùc truï coät cuûa vaät lyù hieän ñaïi. Cuoán saùch naøy ñöôïc xaây döïng treân tinh thaàn ñoù. Moät caùch toùm taét thì vaät lyù thoáng keâ coù theå ñöôïc hieåu nhö laø moân hoïc khaûo saùt caùc tính chaát vó moâ cuûa moät heä vaät lyù xuaát phaùt töø caùc ñaëc tính vi moâ cuûa nhöõng haït caáu taïo neân heä. Nhöng caùc ñaëc tính vi moâ naøy chæ coù theå ñöôïc moâ taû chính xaùc bôûi cô hoïc löôïng töû. Vì vaäy, ñeå hieåu ñöôïc cô sôû cuûa vaät lyù thoáng keâ, ñieàu töï nhieân laø phaûi naém vöõng caùc tính chaát löôïng töû cuûa caùc haït vi moâ. Tuy nhieân, trong cuoán saùch naøy, nhöõng kieán thöùc veà cô hoïc löôïng töû ñöôïc yeâu caàu ôû möùc toái thieåu. Nhöõng ñieàu gì caàn thieát seõ ñöôïc nhaéc laïi trong suoát giaùo trình. Cuõng neân noùi theâm raèng raát ñaùng tieác laø moät soá phaàn quan troïng cuûa vaät lyù thoáng keâ nhö khaûo saùt töø tính cuûa vaät chaát, hieän töôïng chuyeån pha, hieän töôïng vaän chuyeån, khoâng ñöôïc ñeà caäp ñeán trong cuoán saùch naøy. Taùc giaû hy voïng raèng trong laàn taùi baûn sau seõ coù ñieàu kieän trình baøy caùc vaán ñeà treân. Do kinh nghieäm coøn ít, thôøi gian laïi raát haïn heïp neân chaéc chaén cuoán saùch naøy coøn nhieàu thieáu soùt, mong caùc baïn ñoïc vui loøng löôïng thöù vaø chæ daãn ñeå saùch ñöôïc hoaøn thieän trong laàn taùi baûn sau. Taùc giaû xin traân troïng ngoû lôøi caûm taï ñeán thaày Hoaøng Lan, nguyeân Tröôûng khoa, vaø thaày Lyù Vónh Beâ, Tröôûng khoa Vaät lyù, tröôøng ÑHSP TP. HCM ñaõ taïo taát caû caùc ñieàu kieän thuaän lôïi ñeå noäi dung cuûa cuoán saùch naøy ñöôïc truyeàn ñaït ñeán caùc sinh vieân trong vaøi naêm vöøa qua. Ñoàng thôøi, taùc giaû cuõng xin baøy toû loøng bieát ôn ñeán PGS-TS Nguyeãn Khaéc Nhaïp vaø thaày Ñaëng Quang Phuùc ñaõ vui loøng ñeå ra thì giôø quí baùu ñoïc baûn thaûo saùch vaø goùp yù cho taùc giaû. Ngoaøi ra, taùc giaû cuõng ghi laïi ôû ñaây lôøi caùm ôn ñeán GV Nguyeãn Laâm Duy vaø SV Nguyeãn Troïng Khoa ñaõ noã löïc ñaùnh maùy vi tính baûn thaûo vôùi loøng nhieät tình vaø taän tuïy nhaát. Cuoái cuøng, taùc giaû baøy toû loøng caùm ôn ñeán Phoøng AÁn baûn tröôøng ÑHSP TP.HCM ñaõ laøm vieäc tích cöïc ñeå cuoán saùch naøy mau choùng ñöôïc in vaø ñeán tay baïn ñoïc. TAÙC GIAÛ
3. Chöông I MOÂ TAÛ THOÁNG KEÂ HEÄ VÓ MOÂ IA Nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó IB Phöông phaùp thoáng keâ cho heä vó moâ IC Taäp hôïp thoáng keâ. Nguyeân lyù ergodic ID Entropi thoáng keâ trong lyù thuyeát thoâng tin Vaät lyù thoáng keâ coù ñoái töôïng nghieân cöùu laø nhöõng heä vó moâ, laø nhöõng heä chöùa moät soá raát lôùn nhöõng haït (nhö electron, photon, nguyeân töû, phaân töû, ); nhöõng heä naøy coù theå toàn taïi döôùi nhöõng traïng thaùi vaät lyù khaùc nhau : khí, loûng, raén, plasma vaø böùc xaï ñieän töø. Veà phöông dieän ño löôøng, kích thöôùc vaø naêng löôïng cuûa moät heä vó moâ ñöôïc xaùc ñònh bôûi meùt (vaø caùc boäi soá vaø öôùc soá cuûa meùt) vaø Joule. Trong khi ñoù, heä vi moâ laø heä coù kích thöôùc so saùnh ñöôïc vôùi kích thöôùc cuûa nguyeân töû, phaân töû, töùc laø ñöôïc ño löôøng bôûi Å ( = 10-10 m ), vaø naêng löôïng cuûa heä vi moâ seõ ñöôïc ño baèng ñôn vò eV ( ≈ 1,6.10-19 Joule ). Moät caùch ñôn giaûn nhaát ñeå thieát laäp moái quan heä giöõa moät heä vó moâ vaø moät heä vi moâ laø thoâng qua 23 -1 haèng soá Avogadro NA≈6,023.10 haït.mol . Ñoä lôùn cuûa haèng soá NA naøy cho chuùng ta thaáy möùc ñoä phöùc hôïïp raát lôùn cuûa moät heä vó moâ. Chính vì vaäy maø ñeå khaûo saùt caùc heä vó moâ, ta caàn phaûi duøng phöông phaùp thoáng keâ, ñeå coù ñöôïc nhöõng ñaïi löôïng vó moâ phaùt xuaát töø caùc tính chaát cuûa caùc heä vi moâ. Trong chöông thöù nhaát naøy, ta seõ gaëp nhöõng khaùi nieäm cô baûn nhaát ñöôïc söû duïng trong vaät lyù thoáng keâ. Ñieàu ñaàu tieân laø söï phaân bieät giöõa traïng thaùi vó moâ vaø caùc traïng thaùi vi moâ khaû dó ñaït ñöôïc (accessible microstates) cuûa moät heä vó moâ, ta seõ thaáy roõ söï khaùc bieät giöõa hai khaùi nieäm naøy qua thí duï minh hoïa cuûa moät heä chæ coù hai haït. Vôùi thí duï naøy, ta cuõng seõ ñöa vaøo khaùi nieäm caùc haït phaân bieät ñöôïc vaø caùc haït khoâng phaân bieät ñöôïc; hai khaùi nieäm cô baûn caàn phaûi naém vöõng trong vieäc khaûo saùt heä nhieàu haït. Sau ñoù, phöông phaùp thoáng keâ seõ ñöôïc giôùi thieäu ñeå ñöa ra ñònh nghóa cuûa haøm phaân boá thoáng keâ. Trong caùc phaàn tieáp theo, nguyeân lyù ergodic ñöôïc trình baøy vaø khaùi nieäm entropi thoáng keâ ñöôïc ñöa ra döïa treân lyù thuyeát thoâng tin trong tröôøng hôïp toång quaùt nhaát. I.A Nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó I.A.1 Traïng thaùi vó moâ cuûa moät heä vaät lyù Traïng thaùi cuûa moät heä vaät lyù maø ta coù theå moâ taû bôûi caùc ñaïi löôïng vó moâ, caûm nhaän tröïc tieáp bôûi con ngöôøi ñöôïc goïi laø traïng thaùi vó moâ cuûa heä. Ví duï nhö neáu ta xeùt moät khoái khí thì caùc ñaïi löôïng vó moâ naøy coù theå laø theå tích, nhieät ñoä, cuûa khoái khí. Nhö vaäy, moät traïng thaùi vó moâ cuûa heä ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc ñieàu kieän maø heä phuï thuoäc. Chaúng haïn ñoái vôùi moät heä khoâng töông taùc vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi (heä coâ laäp), thì naêng löôïng vaø soá haït taïo thaønh heä luoân coù giaù trò xaùc ñònh. I.A.2 Traïng thaùi vi moâ löôïng töû cuûa moät heä vaät lyù Theo quan ñieåm cuûa cô hoïc löôïng töû, traïng thaùi vaät lyù cuûa moät haït taïi moät thôøi ñieåm t ñöôïc bieåu dieãn bôûi moät vectô trong khoâng gian traïng thaùi, ñoù laø vectô traïng thaùi ket ψ(t) . Söï tieán hoùa theo thôøi gian cuûa moät traïng thaùi vi moâ ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình Schrödinger d i ψ(t) = Hˆ ψ(t) , (I.1) h dt trong ñoù Hˆ laø toaùn töû Hamilton, toaùn töû lieân keát vôùi naêng löôïng, baèng toång cuûa toaøn töû ñoäng naêng Tˆ vaø toaùn töû theá naêng töông taùc Uˆ :
4. Hˆ = Tˆ + Uˆ . (I.2) Neáu goïi r laø vectô rieâng töông öùng vôùi vò trí r cuûa haït, tích voâ höôùng r ψ(t) = ψ(r, t) (I.3) cho ta haøm soùng, ñaëc tröng ñaày ñuû cho traïng thaùi vaät lyù cuûa heä. ˆ Trong tröôøng hôïp heä baûo toaøn ( H ñoäc laäp ñoái vôùi thôøi gian t), naêng luôïng El cuûa heä ôû traïng thaùi l ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình trò rieâng: Hˆ ϕi = E ϕi l l l vôùi i = 1, 2, , gl cho bieát söï suy bieán cuûa heä. Toång quaùt hôn, khi ñoái töôïng nghieân cöùu laø moät heä nhieàu haït thì haøm soùng Ψ( q1, q2, , qf ) theo caùc bieán soá laø toïa ñoä qi seõ ñaëc tröng ñaày ñuû cho heä haït. ÔÛ ñaây, f laø soá löôïng töû cuûa heä. Chuù yù raèng khi ta noùi ñeán traïng thaùi vi moâ cuûa moät heä vó moâ thì ta ngaàm hieåu raèng ñoù chính laø traïng thaùi vi moâ löôïng töû. Coøn neáu ta nhaán maïnh ñeán traïng thaùi vi moâ coå ñieån thì coù nghóa laø tính chaát cuûa heä ñöôïc khaûo saùt thoâng qua cô hoïc coå ñieån Newton nhö ta seõ thaáy. Dó nhieân raèng khi naøy, keát quaû cuûa chuùng ta thu ñöôïc chæ laø gaàn ñuùng maø thoâi. Thoâng thöôøng thì moät heä vó moâ luoân ñöôïc ñaët döôùi moät soá ñieàu kieän (vó moâ) naøo ñoù goïi laø haïn cheá (constraint), chaúng haïn nhö ñoái vôùi moät khoái khí coâ laäp, khoâng töông taùc vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi thì naêng löôïng vaø soá haït cuûa heä xem nhö laø nhöõng ñieàu kieän do moâi tröôøng beân ngoaøi aùp ñaët cho heä, vaø dó nhieân laø hai ñaïi löôïng naøy laø khoâng ñoåi. Khi ñoù seõ toàn taïi moät soá nhöõng traïng thaùi vi moâ khaùc nhau cuûa heä töông öùng vôùi cuøng moät traïng thaùi vó moâ naøy. Soá traïng thaùi vi moâ naøy thöôøng ñöôïc kí hieäu laø Ω, ñoùng vai troø troïng yeáu trong vieäc nghieân cöùu vaät lyù thoáng keâ. Ví duï: Ñeå deã hieåu vaán ñeà, ta seõ xeùt moät heä nhieàu haït ñôn giaûn goàm chæ hai haït phaân bieät ñöôïc, töùc laø coù theå ñaùnh daáu ñöôïc laø haït A vaø haït B. Hai haït naøy ñöôïc phaân boá treân ba möùc naêng löôïng caùch ñeàu nhau laø ε0 = 0 , ε1 = ε , vaø ε2 = 2ε. Giaû söû naêng löôïng toaøn phaàn cuûa heä ñöôïc aán ñònh baèng: E = 2ε. Ta haõy xeùt nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa heä töông öùng vôùi traïng thaùi vó moâ naøy. ε2 = 2ε B A ε ε1 = ε AB ε ε0 = 0 A B (1) (2) (3) H.I.1 Ta coù theå ñeám soá traïng thaùi vi moâ baèng caùch duøng sô ñoà nhö hình treân: caùc haït A vaø B ñöôïc saép xeáp treân caùc möùc naêng löôïng sao cho toång naêng löôïng cuûa hai haït baèng 2ε. Vaäy, coù taát caû laø 3 traïng thaùi vi moâ khaû dó: (1), (2), vaø (3); Ω = 3. Vì hai haït A vaø B phaân bieät ñöôïc neân hai traïng thaùi vi moâ (1) vaø (2) phaûi ñöôïc xem laø khaùc nhau. Neáu ta giaû söû hai haït taïo thaønh heä laø khoâng phaân bieät ñöôïc thì ta seõ coù sô ñoà sau: ε2 = 2ε • ε ε1 = ε •• ε ε = 0 • 0 (1’) (2’) H.I.2 Vaäy khi naøy ta coù Ω = 2, nhoû hôn so vôùi tröôøng hôïp heä caùc haït phaân bieät ñöôïc.
5. Baây giôø ta giaû söû raèng möùc naêng löôïng ε1 suy bieán baäc 2 (töùc laø ôû möùc naêng löôïng ε1, seõ coù hai traïng thaùi löôïng töû khaùc nhau). Khi hai haït laø phaân bieät ñöôïc, ta coù Ω = 6 nhö ñöôïc bieåu dieãn trong sô ñoà sau: ε2 = 2ε A B ε ε1 = ε A B B A AB AB ε ε0 = 0 B A (1) (2) (3) (4) (5) (6) H.I.3 (ÔÛ ñaây, ta giaû thieát raèng hai haït coù theå cuøng ôû moät traïng thaùi löôïng töû). Coøn khi hai haït laø khoâng phaân bieät ñöôïc, ta seõ coù Ω =4. ε2 = 2ε • ε ε1 = ε • • • • •• ε ε0 = 0 • (1’) (2’) (3’) (4’) H.I.4 I.A.3 Traïng thaùi vi moâ coå ñieån ÔÛ moät möùc ñoä gaàn ñuùng naøo ñoù, traïng thaùi vi moâ cuûa moät heä vó moâ coù theå ñöôïc moâ taû bôûi cô hoïc coå ñieån. Ta seõ xeùt tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát laø tröôøng hôïp moät haït chuyeån ñoäng moät chieàu vaø seõ môû roäng cho tröôøng hôïp toång quaùt hôn. a) Moät haït chuyeån ñoäng moät chieàu Vôùi khaùi nieäm baäc töï do laø soá toïa ñoä caàn thieát ñeå xaùc ñònh vò trí cuûa haït thì tröôøng hôïp ñôn giaûn naøy laø heä coù moät baäc töï do. Ta bieát raèng trong cô hoïc coå ñieån, traïng thaùi cô hoïc cuûa moät haït ñöôïc moâ taû bôûi toïa ñoä suy roäng q vaø ñoäng löôïng suy roäng p, laø nghieäm cuûa heä phöông trình Hamilton: ⎧ ∂H (I.5a) ⎪q& = ⎪ ∂p ⎨ ∂H ⎪p& = − ⎩⎪ ∂q (I.5b) vôùi H laø haøm Hamilton cuûa heä. Nhö vaäy, ta coù theå noùi raèng traïng thaùi cô hoïc (coå ñieån) cuûa haït taïi moãi thôøi ñieåm t ñöôïc bieåu dieãn baèng moät ñieåm coù toïa ñoä (q, p) goïi laø ñieåm pha trong khoâng gian taïo bôûi hai truïc toïa ñoä Oq vaø Op goïi laø khoâng gian pha μ, laø khoâng gian hai chieàu. Vì caùc ñaïi löôïng q vaø p bieán thieân theo thôøi gian neân ñieåm pha (q, p) vaïch thaønh moät ñöôøng trong khoâng gian pha; ñoù laø quó ñaïo pha.
6. p2 1 Ví duï: Xeùt moät dao ñoäng töû ñieàu hoøa tuyeán tính coù ñoäng naêng T = vaø theá naêng U = mω2q2 , 2m 2 vôùi m vaø ω laø khoái löôïng vaø taàn soá goùc cuûa dao ñoäng töû. Ta coù haøm Hamilton: p2 1 H = T + U = + mω2q2 , 2m 2 ∂H p q& = = , ∂p m ∂H 2 p& = − = −mω q , ∂q p& 2 q&& = = −ω q . m Ta coù phöông trình vi phaân theo q: 2 q&& + ω q = 0 . ⇒ q = q0 sin(ωt + ϕ), vôùi q0, φ laø hai haèng soá phuï thuoäc ñieàu kieän ñaàu. ⇒ p = mq& = p0 cos(ωt + ϕ), p0 = mωq0 . Ñeå tìm quó ñaïo pha, ta thieát laäp heä thöùc giöõa q vaø p ñoäc laäp vôùi t: q2 p2 + = 1. 2 2 q0 p0 Vaäy quó ñaïo pha laø moät ellip coù caùc baùn truïc laø q0 vaø p0 = mωq0 . quó ñaïïo pha p p σ = 2π • p0 h • (q,p): ñieåm pha δp -q 0 q0 q -p0 O δq q H.I.5 H.I.6 Ñeå ñeám soá traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa haït khi traïng thaùi cô hoïc cuûa haït ñöôïc bieåu dieãn trong khoâng gian pha, ta chia ñeàu caùc truïc Oq vaø Op thaønh nhöõng löôïng nhoû δq vaø δp. Nhö vaäy, khoâng gian pha trong tröôøng hôïp naøy laø maët phaúng ñöôïc phaân thaønh nhöõng oâ chöõ nhaät nhoû, moãi oâ coù dieän tích baèng σ = δqδp . Moät traïng thaùi cô hoïc cuûa haït töông öùng vôùi moät ñieåm pha naèm trong oâ naøy. Caùch moâ taû caøng chính xaùc khi σ caøng nhoû: trong cô hoïc coå ñieån, σ ñöôïc choïn nhoû tuøy yù, töùc laø moät oâ seõ trôû thaønh moät ñieåm chính laø ñieåm pha. Chuù yù raèng theo cô hoïc löôïng töû, nguyeân lyù baát ñònh Heisenberg cho ta heä thöùc: δq.δp ≥ 2πh , vôùi h h = (h laø haèng soá Planck). Töùc laø khoâng toàn taïi moät traïng thaùi cô hoïc vôùi caùc ñaïi löôïng q vaø p cuøng 2π ñöôïc xaùc ñònh vôùi ñoä chính xaùc tuøy yù. Vaäy moãi traïng thaùi vi moâ cuûa haït phaûi ñöôïc bieåu dieãn bôûi moät oâ coù dieän tích baèng σ0 = δqδp = 2πh , chöù khoâng phaûi bôûi moät ñieåm pha nhö trong cô hoïc coå ñieån.
7. b) Tröôøng hôïp heä coù f baäc töï do Töùc laø khi naøy, heä ñöôïc moâ taû bôûi f toïa ñoä suy roäng (q1, q2, , qf ) vaø f ñoäng löôïng suy roäng ( p1, p2, , pf ). Ví duï: - Heä goàm moät haït chuyeån ñoäng trong khoâng gian ba chieàu coù vò trí xaùc ñònh bôûi ba toïa ñoä ( q1 ≡ x , q2 ≡ y , q3 ≡ z ), vaäy heä naøy coù ba baäc töï do: f = 3. Khoâng gian pha töông öùng seõ laø khoâng gian pha 6 3 chieàu: ( q1, q2, q3, p1, p2, p3 ). Moãi oâ ñaëc tröng cho moät traïng thaùi vi moâ coù theå tích ()δqδp . - Heä coù N haït: vì moãi haït coù ba baäc töï do neân heä coù soá baäc töï do laø: f = 3N. Heä naøy töông öùng vôùi khoâng gian pha 6N chieàu. Vaäy taäp hôïp caùc ñaïi löôïng (q1, q2, , qf, p1, p2, , pf) töông öùng vôùi moät ñieåm pha trong khoâng gian pha 2f chieàu, goïi laø khoâng gian K, ñeå phaân bieät vôùi khoâng gian pha μ coù hai chieàu. Töông töï treân, moãi traïng thaùi cô hoïc cuûa heä coù f baäc töï do ñöôïc bieåu dieãn bôûi moät “oâ” coù theå tích f thoûa ñieàu kieän: δq1δq2 δqf .δp1δp2 δpf = σ vôùiσ nhoû tuøy yù theo cô hoïc coå ñieån. Nhöng theo cô hoïc löôïng töû, moãi traïng thaùi vi moâ cuûa heä treân ñöôïc bieåu dieãn bôûi moät “oâ” coù theå f tích thoûa ñieàu kieän: δq1δq2 δqf .δp1δp2 δpf ≥ (2πh) tuaân theo nguyeân lyù baát ñònh Heisenberg. Vaäy, ñoái vôùi heä N haït chaúng haïn, thì moãi traïng thaùi töông öùng vôùi moät oâ trong khoâng gian pha coù theå 3N 3N tích ()2πh = h . I.A.4 Maät ñoä traïng thaùi Xeùt tröôøng hôïp naêng löôïng E cuûa heä vó moâ coù phoå lieân tuïc. Ta chia naêng löôïng E ra töøng phaàn nhoû δE sao cho δE vaãn chöùa moät soá lôùn nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó. Goïi Ω(E) laø soá traïng thaùi vi moâ khaû dó coù naêng löôïng ôû trong khoaûng E vaø E + δE . Khi δE ñuû nhoû maø Ω(E) coù theå ñöôïc vieát: Ω(E) = ρ(E).δE , (I.6) (vôùi δE ñuû nhoû, ta chæ giöõ laïi soá haïng ñaàu) trong ñoù ρ(E) ñoäc laäp vôùi ñoä lôùn δE , thì ρ(E) ñöôïc goïi laø maät ñoä traïng thaùi, vì thöïc chaát thì theo coâng thöùc treân, ρ(E) laø soá traïng thaùi vi moâ coù ñöôïc trong moät ñôn vò naêng löôïng. I.A.5 Söï phuï thuoäc cuûa soá traïng thaùi vi moâ khaû dó theo naêng löôïng Xeùt tröôøng hôïp moät khoái khí goàm N phaân töû gioáng nhau chöùa trong moät bình coù theå tích V. Naêng löôïng toaøn phaàn cuûa khoái khí laø E = K + U + Eint , trong ñoù, K laø ñoäng naêng cuûa chuyeån ñoäng tònh tieán cuûa caùc phaân töû khí ñöôïc tính theo ñoäng löôïng pi cuûa khoái taâm moãi phaân töû; K chæ phuï thuoäc caùc ñoäng löôïng naøy: N r r r 1 r 2 K = K(p1, p2 , , p N ) = ∑ pi . 2m i=1 r r r Ñaïi löôïng U = U(r1, r2 , , rN ) bieåu thò theá naêng töông taùc giöõa caùc phaân töû, phuï thuoäc khoaûng caùch töông ñoái giöõa caùc phaân töû, töùc laø chæ phuï thuoäc vaøo vò trí khoái taâm cuûa caùc phaân töû. Cuoái cuøng neáu caùc phaân töû khoâng phaûi laø ñôn nguyeân töû, caùc nguyeân töû cuûa moãi phaân töû coù theå quay hoaëc dao ñoäng ñoái vôùi khoái taâm, caùc chuyeån ñoäng noäi taïi naøy ñöôïc ñaëc tröng bôûi caùc toïa ñoä noäi taïi Q1, Q2, , QM vaø ñoäng löôïng noäi taïi P1, P2, , PM. Nhö vaäy, Eint laø naêng löôïng cuûa caùc chuyeån ñoäng noäi taïi naøy vaø chæ phuï thuoäc vaøo Qi vaø Pi (neáu laø phaân töû ñôn nguyeân töû thì Eint = 0). Tröôøng hôïp ñaëc bieät ñôn giaûn laø U ≅ 0 : töông taùc giöõa caùc phaân töû raát nhoû so vôùi caùc soá haïng khaùc, coù theå boû qua. Khi ñoù, ta coù heä khí lyù töôûng. Tröôøng hôïp naøy xaûy ra khi maät ñoä phaân töû N/V raát nhoû laøm cho khoaûng caùch trung bình giöõa caùc phaân töû trôû neân raát lôùn.
8. Giaû söû raèng ta xeùt khoái khí lyù töôûng ôû giôùi haïn coå ñieån. Khi naøy, soá traïng thaùi vi moâ khaû dó Ω(E) coù naêng löôïng trong khoaûng ( E , E + δE ) seõ baèng soá ñieåm pha trong khoâng gian pha giôùi haïn bôûi E vaø E + δE : E+δE r r r r r r r Ω(E) ∝ ∫∫ dr1dr2 drN .dp1dp2 dpN .dQ1dQ2 dQ M .dP1dP2 dPM , trong ñoù: dri = dx idyidz i vaø E r dpi = dpixdpiydpiz . r Vì ∫ dri = V neân: N Ω(E) ∝ V Ω1(E) , (I.7a) vôùi: E+δE r r r Ωi (E) ∝ ∫∫ dp1dp2 dpN .dQ1dQ2 dQ M .dP1dP2 dPM . ñoäc laäp ñoái vôùi V. E Hôn nöõa, trong tröôøng hôïp khí ñôn nguyeân töû: Eint = 0, vaø N 3 1 2 E = ∑∑piα , 2m i==1 α 1 goàm 3N = f soá haïng toaøn phöông. Vaäy trong khoâng gian f-chieàu cuûa ñoäng löôïng, phöông trình E = const bieåu dieãn moät maët caàu baùn kính R(E) = (2mE)1/ 2 . Soá traïng thaùi nhö vaäy baèng soá ñieåm pha naèm giöõa hai maët caàu coù baùn kính R(E) vaø R(E+δE). Maø soá traïng thaùi Φ chöùa trong khoái caàu baùn kính R(E) ñöôïc tính: Φ(E) ∝ R f = (2mE)f / 2 , neân ∂Φ Ω(E) = Φ(E + δE) − Φ(E) = dE . ∂E Vaäy: Ω(E) ∝ Ef 2−1 = E3N 2−1 ≅ E3N 2 . Phoái hôïp keát quaû treân vôùi (I.7a), ta coù: Ω ( E ) = AV N E 3 N 2 , (I.7b) vôùi N coù ñoä lôùn khoaûng baèng haèng soá Avogadro. Töùc laø Ω(E) taêng raát nhanh theo N. Toång quaùt hôn tröôøng hôïp ñaëc bieät treân, ta coù theå chöùng minh raèng: . (I.7c) Ω(E) ∝ Ef Töùc laø soá traïng thaùi vi moâ khaû dó laø haøm taêng raát nhanh theo naêng löôïng, ñoù laø tính chaát raát quan troïng cuûa cô hoïc thoáng keâ cuûa heä vó moâ. Chuù yù raèng trong coâng thöùc (I.7c) ôû treân, ñieàu ta caàn chuù yù laø ñoä lôùn chöù khoâng phaûi giaù trò chính xaùc cuûa Ω(E) , do ñoù, ta khoâng quan taâm ñeán soá muõ cuûa E laø f hay laø moät soá haïng cuøng ñoä lôùn vôùi f.
9. I.B Phöông phaùp thoáng keâ cho heä vó moâ I.B.1 Haøm phaân boá thoáng keâ Tröôùc khi ñöa vaøo ñònh nghóa haøm phaân boá thoáng keâ, ta nhaéc laïi ngaén goïn vaøi khaùi nieäm cô baûn trong lyù thuyeát xaùc suaát: Moät bieán coá ñöôïc goïi laø ngaãu nhieân khi ta khoâng coù ñuû thoâng tin ñeå bieát tröôùc keát quaû. Keát quaû cuûa moät bieán coá nhö vaäy ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân. Ví duï: Keát quaû cuûa vieäc neùm moät con xuùc saéc, hoaëc: Vaän toác cuûa moät phaân töû khí sau moät laàn va chaïm vôùi moät phaân töû khaùc laø caùc bieán ngaãu nhieân. Goïi taäp hôïp caùc bieán coá naøy laø {em; m = 1, 2, }, vaø goïi Nm laø soá laàn bieán coá em xuaát hieän sau N pheùp thöû ñoàng nhaát (töùc laø caùc pheùp thöû ñöôïc thöïc hieän trong cuøng caùc ñieàu kieän gioáng nhau). Xaùc suaát cuûa bieán coá em ñöôïc ñònh nghóa laø: N m P m = lim , , N→∞ N Nm goïi laø soá bieán coá thuaän lôïi. Vì Nm , N ≥ 0 vaø Nm ≤ N, ta coù ngay tính chaát cuûa Pm: 0 ≤ Pm ≤ 1. Trong ñoù, Pm = 1 cho ta bieán coá chaéc chaén vaø Pm = 0 khi bieán coá laø baát khaû (khoâng theå xaûy ra). Tröôøng hôïp bieán ngaãu nhieân coù giaù trò thöïc, lieân tuïc trong khoaûng (x1, x2) vôùi x laø moät giaù trò trong khoaûng naøy: x ∈ (x1,x2), vaø Δx laø gia soá taïi x, ta goïi ΔN(x) laø soá laàn bieán coá cho ta keát quaû ôû trong khoaûng (x, x+Δx), xaùc suaát ñeå ñieàu naøy xaûy ra laø: ΔN(x) ΔP(x) = lim , (I.8) N→∞ N Khi ñoù, neáu toàn taïi moät haøm soá thöïc ρ(x) sao cho: ΔP(x) ρ(x) = lim , (I.9) Δx→0 Δx thì haøm ρ(x) ñöôïc goïi laø maät ñoä xaùc suaát, hay haøm phaân boá thoáng keâ tính taïi x. ΔP(x) x x+Δx + + + + + O x1 Δx x2 H.I.7 Ta coù theå vieát bieåu thöùc cuûa xaùc suaát nguyeân toá laø: dP(x) = ρ(x).dx . (I.10) (Ta coù theå hieåu raèng ta ñaõ khai trieån Taylor cuûa dP(x) theo dx vaø chi giöõ laïi soá haïng ñaàu). Trong tröôøng hôïp ta coù ba bieán ngaãu nhieân lieân tuïc, ñoäc laäp nhau ( x, y, z ), ta seõ coù haøm phaân boá thoáng keâ laø haøm theo (x, y, z): ρ(x, y, z). Xaùc suaát nguyeân toá ñeå x, y, z ôû trong khoaûng (x, x+dx), (y, y+dy), (z, z+dz) ñöôïc vieát: dP(x, y,z) = ρ(x, y,z).dxdydz . (I.11a) Ta coù theå vieát ngaén goïn hôn: dP(r) = ρ(r).dr , (I.11b)
10. r r r trong ñoù, r = xi + yj + zk , dr = dxdydz laø vectô toïa ñoä vaø theå tích nguyeân toá trong khoâng gian ba chieàu qui veà heä truïc toïa ñoä Descartes. • Coäng xaùc suaát: Neáu hai bieán coá e1 vaø e2 laø hai bieán coá xung khaéc (khoâng theå xaûy ra ñoàng thôøi), thì xaùc suaát ñeå e1 hoaëc e2 xaûy ra laø P( e1 hoaëc e2 ) = P( e1 ) + P( e2 ), (I.12) vôùi P( e1 ) vaø P( e2 ) laàn löôït laø xaùc suaát ñeå xaûy ra e1 vaø xaùc suaát ñeå xaûy ra e2. Töø coâng thöùc (I.12) treân, ta suy ra ñieàu kieän chuaån hoùa: ∑ Pm = 1, (I.13) m vaø khi bieán ngaãu nhieân laø lieân tuïc, xaùc suaát ñeå x ôû trong khoaûng (a, b) hoaëc ñeå (x, y, z)∈D ñöôïc vieát: b P(a ≤ x ≤ b) = ∫ ρ(x ).dx (I.14a) a P( r ∈ D ) = ∫ ρ( r ).dr . (I.14b) D • Nhaân xaùc suaát: Khi hai bieán coá e1 vaø e2 ñoäc laäp nhau (töùc laø vieäc xaûy ra bieán coá naøy khoâng aûnh höôûng ñeán vieäc xaûy ra bieán coá khaùc), xaùc xuaát ñeå e1 vaø e2 xaûy ra ñoàng thôøi laø: P( e1 vaø e2 ) = P( e1 ).P( e2 ). (I.15) Khi hai bieán lieân tuïc, ñoäc laäp x vaø y coù haøm phaân boá thoáng keâ laàn löôït laø ρ(x) vaø ρ(y), xaùc suaát nguyeân toá ñeå ta coù ñoàng thôøi x∈(x, x+dx) vaø y∈(y, y+dy) laø dP(x, y) = dP1(x).dP2 (y) = ρ1(x)dx.ρ2 (y)dy = ρ1(x).ρ2 (y).dxdy, trong ñoù dP1(x) vaø dP2(y) laø xaùc suaát nguyeân toá ñeå x∈(x, x+dx) vaø y∈(y, y+dy). Vaäy, ta seõ ñònh nghóa haøm phaân boá thoáng keâ cuûa hai bieán (x,y): ρ(x, y) = ρ1 (x).ρ2 (y) , (I.16) ñeå coù dP(x, y) = ρ(x, y).dxdy . (I.17) Moät tröôøng hôïp quan troïng maø ta thöôøng gaëp laø phaûi tính ρ(x) khi ñaõ bieát ρ(x, y). Khi ñoù, ta seõ söû duïng tính chaát sau: dP1(x) = ρ1(x)dx = ∫ρ(x, y).dxdy (I.18a) Dy ⇒ ρ(x) = ∫ ρ(x, y).dy (I.18b) Dy Ví duï 1: Haøm phaân boá thoáng keâ trong toïa ñoä cöïc (r, ϕ). Vì dP(x, y) = ρ(x, y).dxdy → dP(r,ϕ) = ρ(r,ϕ).dσ.
11. Caàn chuù yù raèng dieän tích nguyeân toá dxdy khi chuyeån sang toïa ñoä cöïc laø dσ thì khoâng phaûi laø tích drdϕ. Ta caàn phaûi tính dieän tích naøy baèng caùch cho r bieán thieân moät löôïng dr vaø ϕ bieán thieân moät löôïng dϕ. Dieän tích nguyeân toá trong toïa ñoä cöïc khi naøy seõ laø: dσ = rdrdϕ. (Chuù yù raèng ta ñaõ khoâng laáy hai caïnh dr vaø (r+dr).dϕ maø laáy dr vaø rdϕ). Vaäy: dρ(r) = ρ(r,ϕ).rdrdϕ Ñeå tính ρ(r) khi bieát ρ(r, ϕ), ta giaû söû ρ(r, ϕ) = C = const. 2π 2π Theo (I.18a): dP1(r) = ∫∫ρ(r,ϕ).rdrdϕ = Crdr dϕ ϕ=0 0 ⇒ dP1(r) = ρ(r)dr = 2πCrdr ⇒ ρ(r) = 2πrC Vaäy ρ(r) ñöôïc phaân boá tuyeán tính theo r. Ví duï 2: Haøm phaân boá thoáng keâ trong toïa ñoä caàu (r, θ, ϕ). Trong toïa ñoä caàu (r, θ, ϕ), theå tích nguyeân toá dτ ñöôïc tính baèng caùch cho r, θ, ϕ bieán thieân caùc löôïng nhoû dr, dθ, dϕ. Khi ñoù, theo hình veõ, ta coù ñöôïc: dV = r 2 sin θdrdθdϕ ⇒ dP(r,θ,ϕ) = ρ(r,θ,ϕ).r 2 sin θdrdθdϕ . Ñeå tính ρ(r) khi ñaõ bieát ρ(r, θ, ϕ) chaúng haïn, ta giaû söû raèng: ρ(r, θ, ϕ) = C = const. Khi ñoù, töông töï nhö coâng thöùc (I.18a), ta coù: π 2π dρ(r) = ∫ dP(r,θ,ϕ) = ∫ρ(r,θ,ϕ).r 2 sinθdrdθdϕ = ∫ Cr2 sinθdrdθdϕ ⇒ dP(r) = Cr 2dr ∫∫sinθdθ dϕ φ,ϕ θ,ϕ θ,ϕ θ=0 ϕ=0 Tích soá cuûa hai tích phaân sau cho ta goùc khoái 4π neân dP(r) = 4πCr 2dr . Maø dP(r) = ρ(r)dr ⇒ ρ(r) = 4πCr 2 . Chuù yù: Ñeå tính theå tích nguyeân toá khi ñoåi heä truïc toïa ñoä, ta coù theå duøng Jacobien: ∂x ∂x ∂(x, y) ∂(x, y) ∂r ∂ϕ • dσ = .drdϕ , vôùi I = = ∂(r,ϕ) ∂(r,ϕ) ∂y ∂y ∂r ∂ϕ
12. Vôùi x=rcosϕ , y=rsinϕ ⇒ I = r . ⇒ dσ=rdrdϕ . ∂(x, y,z) • dτ = .drdθdϕ , vôùi ∂(r, θ,ϕ) ∂x ∂x ∂x ∂r ∂θ ∂ϕ ∂(x, y,z) ∂y ∂y ∂y J = = ∂(r,θ,ϕ) ∂r ∂θ ∂ϕ ∂z ∂z ∂z ∂r ∂θ ∂ϕ Vôùi x=r.sinθ.cosϕ , y=r.sinθ.sinϕ , z=rcosθ. ⇒ I=r2sinθ . ⇒ dV = r2sinθinθdr ϕ . I.B.2 Giaù trò trung bình cuûa moät bieán ngaãu nhieân Neáu P(ui) laø xaùc suaát ñeå bieán ngaãu nhieân u coù giaù trò ui, giaù trò trung bình ū cuûa u ñöôïc tính: ∑ P(u i ).ui u = i . (I.19a) ∑ P(u i ) i Ta coù ngay keát quaû khi u laø moät haèng soá ū = u = const (trò trung bình cuûa moät haèng soá laø baèng chính haèng soá ñoù). Tröôøng hôïp bieán ngaãu nhieân u bieán thieân lieân tuïc, ta coù coâng thöùc: u.dP(u) u.ρ(u).du u = ∫ = ∫ . (I.19b) ∫ dP(u) ∫ ρ(u)du Khi ta coù moät haøm f(u) theo bieán ngaãu nhieân u (ví duï nhö ta muoán tính ñoäng naêng Eñ cuûa moät phaân 1 2 töû khí theo bieán ngaãu nhieân laø vaän toác v cuûa phaân töû khí chaúng haïn, ta seõ coù haøm: Eñ = f(v) = mv , 2 vôùi m laø khoái löôïng cuûa phaân töû khí), ta coù coâng thöùc tính giaù trò trung bình cuûa haøm naøy nhö sau: ∑f (ui ).P(ui ) f(u) = i , (I.20a) ∑ P(ui ) i vaø khi bieán ngaãu nhieân coù giaù trò lieân tuïc trong khoaûng (a,b): b b ∫ f (u).dP(u) ∫ f (u).ρ(u)du f (u) = a = a . (I.20b) b b ∫ dP(u) ∫ ρ(u)du a a Ta cuõng coù coâng thöùc töông töï khi phaûi tính trò trung bình cuûa haøm f(u,v) theo hai bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp u vaø v: ∑∑P(u i , v j ).f (u i , v j ) i j f (u, v) = , (I.21a) ∑∑P(u i , v j ) ij
13. trong ñoù: P(ui , v j ) = Pu (ui ).Pv (v j ) vôùi Pu(ui) vaø Pv(vj) laàn löôït laø xaùc suaát ñeå caùc bieán u, v coù giaù trò ui vaø vj . Khi caùc bieán u, v nhaän caùc giaù trò lieân tuïc: u∈(a,b); v∈(c,d), giaù trò trung bình cuûa haøm f(u,v) ñöôïc tính: b d b d ∫∫f (u, v).dP(u, v) ∫∫f (u, v).ρ(u, v).dudv f (u, v) = a c = a c . (I.21b) b d b d ∫∫dP(u, v) ∫∫ρ(u, v).dudv a c a c Chuù yù raèng taát caû caùc coâng thöùc (I.19a,b), (I.20a,b), vaø (I.21a,b) ñeàu trôû neân ñôn giaûn hôn neáu ta coù caùc ñieàu kieän chuaån hoùa: ∑ P(ui ) = 1, (I.22a) i b ∫ dP(u) =1, (I.22b) a ∑∑P(ui , v j ) =1, (I.22c) ij vaø b d ∫∫dP(u, v) = 1, (I.22d) a c Khi coù hai haøm f(u) vaø g(u) cuøng bieán thieân theo bieán ngaãu nhieân u, ta coù: f (u) + g(u) = f (u) + g(u) , (I.23a) Chöùng minh Giaû söû ta ñaõ coù caùc ñieàu kieän chuaån hoùa ñöôïc thoûa. Khi naøy, theo ñònh nghóa: f(u)+= g(u)∑∑ P(u)f(u)ii[ + g(u) i] = P(u).f(u) ii+∑P(ui ).g(ui ) iii = f (u) + g(u) . Toång quaùt, ta coù: cf (u) = c.f (u) . (I.23b) Töông töï, ta cuõng chöùng minh ñöôïc raèng f (u).g(u) = f (u).g(u) . (I.23c) I.B.3 Thaêng giaùng cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân Ñeå ñaùnh giaù söï sai leäch trung bình cuûa moät bieán ngaãu nhieân u ñoái vôùi giaù trò trung bình ū cuûa bieán naøy, moät caùch töï nhieân, ta seõ tính ñaïi löôïng Δu vôùi Δu = u − u laø ñoä leäch khoûi giaù trò trung bình. Nhöng: Δu = u − u = u − u , vì u = u , neân Δu = 0 , (I.24a) vì lyù do laø caùc thaêng giaùng cuûa bieán u quanh giaù trò ū ñaõ buø tröø laãn nhau khi u lôùn hôn hoaëc nhoû hôn ū. Nhö vaäy, ta phaûi tính giaù trò trung bình cuûa bình phöông ñoä leäch, töùc laø phöông sai (Δu)2 :
14. (Δu)2 = (u − u)2 = (u 2 − 2uu − u 2 ) Vaäy, ta coù: (Δu)2 = u 2 − u 2 , (I.24b) Ñoä thaêng giaùng cuûa u ñöôïc ñònh nghóa bôûi σ = (Δu)2 = u2 − u 2 , (I.24c) Trong hai phaàn tieáp theo, ta seõ khaûo saùt hai phaân boá thoáng keâ quan troïng, raát thöôøng gaëp trong caùc vaán ñeà cuûa vaät lyù thoáng keâ. I.B.4 Phaân boá nhò thöùc Xeùt pheùp thöû gieo ñoàng tieàn. Moãi laàn gieo coù hai khaû naêng: maët soá hoaëc maët hình hieän ra, ñöôïc kí hieäu laàn löôït laø (+) vaø (−), vaø xaùc suaát laàn löôït laø P+ vaø P_. Ñieàu kieän chuaån hoùa cho ta: P+ + P− = 1. Ta tính xaùc suaát P( N, n ) ñeå coù n laàn bieán coá (+) xuaát hieän sau N laàn thöû ( n ≤ N ): Giaû söû sau N laàn thöû, ta coù moät chuoãi bieán coá: S : (+)(+) (+)(−)(−) (−) 1 14243 142 43 n N−n n N−n Xaùc suaát ñeå coù chuoãi naøy laø: P(S1 ) = P+ P− Töông töï, ta coù theå coù moät chuoãi Si nhöõng bieán coá vôùi bieán coá (+) xuaát hieän n laàn vaø bieán coá (−) n N−n xuaát hieän N-n laàn, vôùi xaùc suaát: P(Si ) = P+ P− . Vì hai chuoãi bieán coá khaùc nhau laø xung khaéc, P( N, n ) laø toång cuûa taát caû caùc chuoãi coù n laàn bieán coá (+) vaø N-n bieán coá (−). Ñoù laø caùch saép xeáp khaùc nhau cuûa n bieán coá (+) trong N bieán coá, töùc laø baèng: N! Cn = . N n!(N − n)! Vaäy n n n N−n P(N, n) = ∑ P(Si ) = C N P(Si ) = C N P+ P− . i Cuoái cuøng, ta coù N ! n N − n . (I.25) P(N, n) = P+ P− n!(N − n)! Phaân boá naøy ñöôïc goïi laø phaân boá nhò thöùc. Chuù yù raèng ta coù coâng thöùc khai trieån nhò thöùc: N N n n N−n (a + b) = ∑CNa b . n=0 Töø ñoù, ta coù theå kieåm chöùng ñieàu kieän chuaån hoùa cuûa P(N, n): N N n n N−n N ∑ P(N, n) = ∑CN P+ P− = (P+ + P− ) = 1 . n=0 n=0
15. I.B.5 Phaân boá Gauss (phaân boá chuaån) Phaân boá Gauss laø phaân boá lieân tuïc, coù haøm phaân boá thoáng keâ cho bôûi: 1 2 2 ρ(x) = e−(x−x0) 2σ . (I.26) 2πσ2 Trong ño,ù x0 laø vò trí cuûa phaân boá; ñöôøng bieåu dieãn cuûa ρ(x) theo x ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng x = x0, vaø σ ñöôïc goïi laø beà roäng cuûa phaân boá. Ta thaáy ñöôøng bieåu dieãn ρ(x) coù daïng hình chuoâng. I.C Taäp hôïp thoáng keâ. Nguyeân lyù ergodic I.C.1 Söï tieán hoùa theo thôøi gian cuûa moät heä vó moâ Cô hoïc thoáng keâ coù muïc ñích laø moâ taû chính xaùc nhaát coù theå ñöôïc nhöõng tính chaát vó moâ cuûa moät heä vó moâ, xuaát phaùt töø nhöõng ñaëc tính vi moâ cuûa nhöõng haït caáu taïo neân heä. Muoán vaäy, treân nguyeân taéc, ta phaûi tính ñöôïc bieåu thöùc cuûa haøm Hamilton cuûa heä. Nhöng ñieàu naøy khoâng theå ñöôïc, vì ôû möùc ñoä vi moâ, haøm Hamilton chæ coù theå tính gaàn ñuùng; heä vó moâ khoâng bao giôø ôû traïng thaùi hoaøn toaøn döøng (laø traïng thaùi coù nhöõng ñaïi löôïng ñaëc tröng khoâng ñoåi theo thôøi gian), maø laïi tieán hoùa theo thôøi gian. Maët khaùc, ta cuõng khoâng theå hoaøn toaøn coâ laäp moät heä ñeå khaûo saùt, vì nhöõng töông taùc cuûa heä vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi tuy khoâng ñaùng keå ôû möùc ñoä vó moâ, nhöng laïi khoâng theå tính hoaøn toaøn chính xaùc ôû möùc ñoä vi moâ. Vì nhöõng lyù do treân, ta khoâng theå theo doõi chi tieát nhöõng tính chaát vi moâ cuûa moät heä vó moâ maø phaûi duøng phöông phaùp thoâng keâ ñeå tính nhöõng thaêng giaùng gaây ra do söï khoâng oån ñònh veà maët vi moâ cuûa heä. I.C.2 Trò trung bình theo thôøi gian Giaû söû ta xeùt moät ñaïi löôïng coù giaù trò f(t) bieán thieân theo thôøi gian t cuûa moät heä ôû traïng thaùi caân baèng, chaúng haïn nhö soá phaân töû khí n(t) trong moät theå tích V naøo ñoù cuûa bình chöùa. Roõ raøng raèng n(t) coù giaù trò thay ñoåi theo thôøi gian t, vì nhöõng phaân töû khí chuyeån ñoäng hoãn loaïn. Ñöôøng bieåu dieãn n(t) ñöôïc cho treân hình veõ:
16. Trò trung bình theo thôøi gian cuûa f(t) ñöôïc ñònh nghóa: 1 t0 +τ fˆ = lim ∫ f (t)dt . (I.27) τ→∞ τ t0 ˆ Theo ñònh nghóa naøy thì ñoái vôùi heä vó moâ ôû traïng thaùi caân baèng, f ñoäc laäp vôùi t0, laø thôøi ñieåm töø ñoù baét ñaàu pheùp ño. Nhöng ñoái vôùi heä coù nhöõng thay ñoåi vó moâ, vôùi nhöõng khoaûng thôøi gian τ maø ta thöïc hieän pheùp ño thì fˆ chæ moâ taû heä ôû traïng thaùi caân baèng môùi maø khoâng giöõ laïi ñöôïc daáu tích cuûa söï bieán thieân. Ví duï nhö khi ta ruùt vaùch ngaên trong bình chöùa, soá phaân töû trong theå tích V taêng nhanh vaø sau ñoù ñaït giaù trò oån ñònh vôùi nhöõng thaêng giaùng nhoû. Trò trung bình theo thôøi gian nˆ cuûa soá phaân töû khí trong V chæ cho ta bieát traïng thaùi caân baèng môùi ñöôïc thieát laäp sau ñoù. I.C.3 Trò trung bình treân taäp hôïp Thay vì khaûo saùt moät heä vó moâ duy nhaát theo thôøi gian nhö ôû treân, ta coù theå taïo ra moät soá lôùn nhöõng heä gioáng nhau, ñaët döôùi cuøng nhöõng ñieàu kieän vó moâ. Ví duï nhö ta chuaån bò moät soá raát nhieàu nhöõng bình chöùa coù cuøng kích thöôùc, cho vaøo cuøng moät loaïi khí, ñaët döôùi cuøng nhöõng ñieàu kieän nhö aùp suaát, nhieät ñoä, Khi soá heä naøy laø raát lôùn, ta coù taäp hôïp thoáng keâ (hay taäp hôïp Gibbs).
17. Taïi moät thôøi ñieåm nhaát ñònh naøo ñoù, ta xeùt taát caû caùc heä cuûa taäp hôïp thoáng keâ naøy: caùc heä naøy ñeàu ôû trong cuøng traïng thaùi vó moâ, nhöng coù theå ôû trong caùc traïng thaùi vi moâ khaùc nhau. Vaäy, nhöõng heä naøy chæ gioáng nhau ôû möùc ñoä vó moâ, nhöng söï tieán hoùa theo thôøi gian cuûa chuùng laïi khaùc nhau ôû möùc ñoä vi moâ. Ta goïi N laø soá heä cuûa taäp hôïp thoáng keâ treân, Nl laø soá heä ôû cuøng traïng thaùi vi moâ (l). Ta muoán ño giaù trò cuûa ñaïi löôïng f, laø fl cuûa traïng thaùi (l). Trò trung bình treân taäp hôïp cuûa f ñöôïc ñònh nghóa: 1 f N = ∑ f P , (I.28a) N l l (l) Neáu N raát lôùn, ta coù: f → f = f P , (I.28b) N ∑ l l (l) N vôùi P = lim l laø xaùc suaát ñeå moät heä ôû traïng thaùi (l), ñöôïc goïi laø xaùc suaát chieám ñoùng ôû traïng thaùi l N→∞ N (l). I.C.4 Nguyeân lyù ergodic Theo treân, ta coù hai caùch tính giaù trò trung bình cuûa moät ñaïi löôïng naøo ñoù cuûa moät heä vó moâ. Nguyeân lyù sau ñaây seõ cho ta bieát moái quan heä giöõa hai phöông phaùp treân: Nguyeân lyù ergodic: “ Khi heä ôû traïng thaùi caân baèng, giaù trò trung bình treân taäp hôïp cuûa moät ñaïi löôïng vaät lyù cuûa moät heä taïi moät thôøi ñieåm naøo ñoù truøng vôùi giaù trò trung bình cuûa ñaïi löôïng naøy tính theo thôøi gian cuûa moät heä duy nhaát ”. Noùi khaùc ñi, ta coù “söï töông ñöông giöõa trò trung bình theo thôøi gian vaø trò trung bình treân taäp hôïp: 〈f 〉 = f .” Trong vaät lyù thoáng keâ, thay vì tính giaù trò trung bình cuûa moät ñaïi luôïng theo thôøi gian, ta seõ luoân luoân söû duïng trò trung bình treân taäp hôïp, coù nghóa raèng ta luoân xeùt moät taäp hôïp thoáng keâ cuûa heä maø ta khaûo saùt. I.D Entropi thoáng keâ I.D.1 Khaùi nieäm Trong lónh vöïc truyeàn thoâng, khi ta khoâng theå bieát tröôùc moät caùch chaéc chaén keát quaû cuûa moät bieán coá naøo ñoù maø ta caàn phaûi duøng lyù thuyeát xaùc suaát, töùc laø khi ñoù ta khoâng coù ñaày ñuû thoâng tin veà bieán coá naøy. Ñeå ño löôøng möùc ñoä thieáu thoâng tin veà caùc bieán coá, ta ñöa vaøo khaùi nieäm entropi thoáng keâ. Xeùt taäp hôïp M bieán coá: {em , m = 1, 2, , M}, moãi bieán coá coù xaùc suaát töông öùng Pm (vaäy, 0 ≤ Pm ≤ M 1 , vaø ∑ Pm = 1). Entropi thoáng keâ lieân keát vôùi taäp hôïp naøy ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: m=1 M S ( P 1 , P 2 , , P M ) = − k ∑ P m ln P m (k laø haèng soá döông ) (I.29) m=1 vôùi Pm lnPm = 0 neáu Pm = 0. (Chuù yù raèng phaàn boå sung cuûa ñònh nghóa Pm lnPm= 0 khi Pm=0 ñöôïc ñöa vaøo ñeå phuø hôïp vôùi keát quaû lim(x ln x) = 0 ). x→0
18. Ñònh nghóa treân cuûa entropi thoáng keâ laø toång quaùt, ñöôïc söû duïng trong lyù thuyeát thoâng tin. Khi söû duïng khaùi nieäm naøy trong vaät lyù thoáng keâ, ta seõ coù giaù trò haèng soá k thích hôïp, nhö ta seõ thaáy döôùi ñaây. I.D.2 Tính chaát • Vì Pm ≤ 1 , ta luoân coù S ≥ 0. • S ñoái xöùng vôùi moïi pheùp hoaùn vò cuûa bieán Pi: S(P1, P2 , , Pi , Pi+1, , PM ) = S(P1, P2 , , Pi+1, Pi , , PM ) • S coù giaù trò cöïc tieåu: Smin = 0 khi moät trong caùc bieán coá laø chaéc chaén Pi = 1 (töùc laø khi ñoù Pj = 0 , j≠i ). Vaäy, khi ta coù ñaày ñuû thoâng tin veà moät taäp caùc bieán coá, entropi thoáng keâ coù giaù trò cöïc tieåu baèng khoâng. • S coù giaù trò cöïc ñaïi Smax khi taát caû M bieán coá laø ñoàng xaùc suaát: 1 P = P = = P = ⇒ S = k ln M (I.30) 1 2 M M max Nhöng khi caùc bieán coá laø ñoàng xaùc suaát töùc laø ta hoaøn toaøn thieáu thoâng tin veà caùc bieán coá, vaäy, entropi thoáng keâ cöïc ñaïi khi traïng thaùi cuûa caùc bieán coá laø hoaøn toaøn “hoãn ñoän” (hoaøn toaøn maát traät töï). Toùm laïi, ta coù caùc giôùi haïn cuûa entropi thoáng keâ: 0 ≤ S ≤ k ln M . I.D.3 Entropi thoáng keâ trong cô hoïc thoáng keâ Trong cô hoïc thoáng keâ, haèng soá k ñöôïc choïn laø haèng soá Boltzmann, coù giaù trò baèng k = 1,38.10-23 J/K. Khi naøy ta ñaõ ñoàng nhaát khaùi nieäm entropi thoáng keâ vôùi khaùi nieäm entropi nhieät ñoäng löïc ñaõ ñöôïc söû duïng töø laâu trong vaät lyù (Clausius, 1850). Vaäy, entropi thoáng keâ ñöôïc xem nhö laø ñoä ño cuûa söï thieáu thoâng tin lieân quan ñeán nhöõng traïng thaùi vi moâ cuûa heä vó moâ. Noùi caùch khaùc, entropi thoáng keâ laø ñoä ño cuûa tính ngaãu nhieân (hay tính “hoãn loaïn”) lieân heä ñeán ñaëc tính vi moâ cuûa moät heä vó moâ.
19. BAØI TAÄP BT I.1 Xeùt ba electron coù naêng löôïng toaøn phaàn laø E = 2ε, ñöôïc phaân boá treân ba möùc naêng löôïng caùch ñeàu nhau: ε0 = 0, ε1 = ε, ε2=2ε. Baäc suy bieán cuûa caùc möùc laàn löôït laø: g0 = 3, g1 = 2, g2=2. 1/ Veõ sô ñoà phaân boá caùc electron treân caùc möùc naêng löôïng vaø ñeám soá traïng thaùi vi moâ khaû dó, bieát raèng caùc electron laø khoâng phaân bieät ñöôïc vaø laø caùc fermion (töùc laø hai electron khoâng theå ôû trong cuøng moät traïng thaùi löôïng töû). 2/ Neáu goïi traïng thaùi vó moâ laø traïng thaùi cuûa heä coù naêng löôïng toaøn phaàn baèng E = 2ε vaø soá haït ôû moãi möùc naêng löôïng laø nhö nhau, ta coù taát caû bao nhieâu traïng thaùi vó moâ ? BT I.2 Cho heä ba möùc naêng löôïng ε1 = ε, ε2 = 2ε, ε3 = 3ε, coù caùc baäc suy bieán laàn löôït laø g1 = 1, g2 = 2, g3 = 3. Nhöõng haït khoâng phaân bieät ñöôïc ñöôïc phaân boá treân ba möùc naêng löôïng naøy, coù naêng luôïng toaøn phaàn laø E = 3ε, vaø coù soá haït khoâng xaùc ñònh. Goïi traïng thaùi vó moâ laø traïng thaùi ñöôïc ñaëc tröng bôûi naêng löôïng E = 3ε, vaø soá haït treân moãi möùc naêng löôïng laø nhö nhau. Haõy veõ sô ñoà phaân boá caùc haït treân caùc möùc naêng luôïng vaø ñeám soá traïng thaùi vó moâ cuõng nhö soá traïng thaùi vi moâ khaû dó töông öùng vôùi soá traïng thaùi vó moâ treân. BT I.3 Haõy veõ quó ñaïo pha trong moãi tröôøng hôïp sau: 1/ Chaát ñieåm khoái löôïng m chuyeån ñoäng theo quaùn tính. 2/ Chaát ñieåm khoái löôïng m rôi töï do khoâng vaän toác ñaàu ôû nôi coù gia toác troïng tröôøng g. 3/ Chaát ñieåm M khoái löôïng m mang ñieän tích –e ( e > 0 ), chuyeån ñoäng trong ñieän tröôøng cuûa moät ñieän tích ñieåm +e ñöùng yeân. Cho bieát vò trí vaø vaän toác luùc ñaàu cuûa M laø r0 vaø v0 = 0. BT I.4 Xeùt vectô vr = OM coù ñoä lôùn khoâng ñoåi, quay ñeàu quanh goác O cuûa truïc Ox theo chieàu döông cuûa voøng troøn löôïng giaùc. 1/ Tính xaùc suaát ñeå goùc (Ox, OM) coù giaù trò trong khoaûng θ vaø θ+dθ. r 2/ Tính maät ñoä xaùc suaát ρ(Vx) ñeå hình chieáu cuûa V coù giaù trò laø Vx treân truïc Ox . Veõ ñöôøng bieåu dieãn cuûa ρ(Vx) theo Vx . BT I.5 Haõy tính trò trung bình n vaø phöông sai (Δn)2 trong phaân boá nhò thöùc. BT I.6 Cho phaân boá Gauss: 1 2 2 ρ(x) = e−(x−x0) 2σ . 2πσ2 1/ Chöùng minh raèng ρ(x) ñaõ ñöôïc chuaån hoùa. 2/ Tính x vaø (Δx)2 . N! BT I.7 Xeùt phaân boá nhò thöùc: P(N, n) = Pn .P N−n n!(N − n)! + − trong tröôøng hôïp N raát lôùn, n raát lôùn vaø ñöôïc xem nhö bieán thieân lieân tuïc trong vuøng gaàn n vaø ñuû xa N (töùc laø haøm P(N,n) bieán thieân chaäm trong khoaûng giöõa n vaø n-1: P(N, n) − P(N, n − 1) 0. n n! 1/ Chöùng minh raèng Pn ñaõ chuaån hoùa.
20. 2/ Tính n . n n N−n 3/ Xeùt phaân boá nhò thöùc P(N, n) = C N P+ .P− vôùi P+ > 1 vaø n 0 , x ≥ 0. (Haøm phaân boá naøy ñaëc tröng cho quaù trình phaân raõ phoùng xaï, söï bieán thieân cuûa soá phaân töû khí theo ñoä cao, ). 1/ Haõy chuaån hoùa ρ(x). 2/ Haõy tính trò trung bình, phöông sai vaø ñoä thaêng giaùng. BT I.10 Theo ñònh luaät Maxwell, soá phaân töû khí coù vaän toác ôû trong khoaûng [v, v+dv] ñöôïc phaân boá theo coâng 2 −Ek / kT thöùc: dN = Nρ(v)dv, vôùi ρ(v) = Av e , trong ñoù, Ek laø ñoäng naêng cuûa moãi phaân töû, T laø nhieät ñoä cuûa khoái khí, vaø k laø haèng soá Boltzmann. N laø toång soá phaân töû khí. 1/ Xaùc ñònh haèng soá A. 2/ Duøng caùc tích phaân Poisson: ∞ 2 (2n −1)!! π I = x 2n e −ax dx = , 2n ∫ n+1 2n+1 0 2 a ∞ 2 n! π I = x 2n+1e −ax dx = , 2n+1 ∫ n+1 2n+1 0 2a a ñeå tính vaän toác trung bình v vaø vaän toác toaøn phöông trung bình v 2 . 2 Haõy so saùnh v vaø v vôùi vaän toác caùi nhieân nhaát vm . dρ(v) (vm ñöôïc ñònh nghóa bôûi: = 0 ). dv v=vm 2 3/ Haõy tính v , v vaø vm cuûa phaân töû monooxit cacbon CO ôû 300 K vaø ôû 1000 K. BT I.11 Xeùt heä vaät lyù laø moät dao ñoäng töû ñieàu hoøa tuyeán tính: x(t) = x0cos(ωt+ϕ ). Trò trung bình theo thôøi gian cuûa moät ñaïi löôïng vaät lyù naøo ñoù f cuûa dao ñoäng töû naøy ñöôïc tính: 1 τ fˆ = f (t)dt , τ ∫0 vôùi τ laø chu kì cuûa dao ñoäng töû. ∧ 1/ Haõy tính xˆ vaø x 2 . 2/ Xeùt taäp hôïp thoáng keâ cuûa nhieàu dao ñoäng töû ñieàu hoøa tuyeán tính coù cuøng taàn soá goùc ω vaø coù cuøng naêng löôïng toaøn phaàn. Giaû söû raèng caùc giaù trò cuûa pha ñaàu ϕ ñeàu ñoàng xaùc suaát trong khoaûng 0 vaø 2π (giaû thieát vi chính taéc) Trò trung bình treân taäp hôïp cuûa moät ñaïi löôïng f ñöôïc tính: 1 2π f = f (ϕ)dϕ , 2π ∫0 Haõy tính x vaø x 2 . Suy ra raèng heä caùc dao ñoäng töû naøy laø taäp hôïp ergodic. 3/ Ta coù theå suy ra raèng heä goàm nhieàu dao ñoäng töû ñieàu hoøa tuyeán tính laø taäp hôïp ergodic khoâng ? BT I.12 Duøng phöông phaùp thöøa soá Lagrange ñeå chöùng minh raèng entropi thoáng keâ S coù cöïc ñaïi khi taát caû M bieán coá ngaãu nhieân laø ñoàng xaùc suaát.
21. VAÁN ÑEÀ I.A Baøi toaùn “böôùc ñi ngaãu nhieân” (random walks). Môû roäng cho baøi toaùn khueách taùn cuûa moät phaân töû khí Moät ngöôøi say röôïu ñi veà nhaø trong tình traïng khoâng tænh taùo, thöïc hieän caùc böôùc ñi moät caùch voâ traät töï. Ñoù laø baøi toaùn “böôùc ñi ngaãu nhieân” hai chieàu. ÔÛ ñaây ta xeùt baøi toaùn moät chieàu, coù raát nhieàu öùng duïng trong vaät lyù thoáng keâ. Ta quy öôùc: ° Phaàn töû chæ coù theå di chuyeån treân moät ñöôøng thaúng. ° Moãi böôùc ñi coù khoaûng caùch L. 1 ° Moãi böôùc sang phaûi hay böôùc sang traùi ñöôïc thöïc hieän vôùi xaùc suaát baèng nhau: p = q = , vaø moãi 2 böôùc laø ñoäc laäp vôùi caùc böôùc khaùc. 1) Vieát bieåu thöùc cuûa xaùc suaát Pn ñeå coù np böôùc sang phaûi vaø nt böôùc sang traùi sau moät soá böôùc n. Tính 2 giaù trò trung bình vaø phöông sai σ öùng vôùi np vaø nt . Tính xaùc suaát, trò trung bình vaø phöông sai öùng vôùi quaõng ñöôøng ñi ñöôïc : x = (np – nt) L = mL. 2) Chöùng minh raèng ñoái vôùi n raát lôùn (n >> m), Pn seõ ñöôïc tính theo phaân boá Gauss. Söû duïng coâng thöùc Stirling : ln n! ≈ n ln n – n vaø coâng thöùc gaàn ñuùng ln(1 ± ε ) ≈ ± ε . 3) Baèng nhaän xeùt laø xaùc suaát ñeå tìm thaáy phaàn töû trong khoaûng (x, x + Δx) laø ΔP (n, Δx) = ∑ P(n, m) , vaø khoaûng caùch giöõa 2 ñoä dòch chuyeån lieân tieáp laø 2L (kieåm nghieäm laïi vôùi caùc giaù trò n = 2, 3), taát caû m trong Δx Δx suy ra soá giaù trò cuûa m trong khoaûng Δx laø . Töø ñoù suy ra haøm phaân boá ρ (x, n). Chuaån hoùa haøm naøy. 2L 4) Baøi toaùn treân coù theå aùp duïng cho haøm phaân boá ρ(x, t) cuûa moät phaân töû khí theo quaõng ñöôøng ñi ñöôïc x vaøo thôøi ñieåm t. L2 a) Vieát haøm phaân boá naøy theo heä soá khueách taùn D = vôùi τ laø thôøi gian giöõa hai va chaïm. 2τ b) Goïi Pn(i) laø xaùc suaát ñeå phaàn töû ôû vaøo vò trí i sau n böôùc. Kieåm chöùng raèng ta coù : Pn(i) = q Pn – 1(i + 1) + p Pn – 1 (i - 1) 1 1 = P (i + 1) + P (i −1) 2 n−1 2 n−1 c) Vieát taïi bieåu thöùc treân theo caùc bieán soá môùi x = iL vaø t = τ L. Duøng khai trieån Taylor cho caùc bieåu thöùc cuûa P(x,t) vaø P(x, t - τ ) ñeå ruùt ra phöông trình khueách taùn cho giôùi haïn continuum.
22. VAÁN ÑEÀ I.B Giôùi thieäu phöông phaùp Monte Carlo. AÙp duïng ñeå tính dieän tích hính phaúng, khoái löôïng vaø moment quaùn tính moät hình khoái 26099 65801 69870 84446 58248 21282 56938 54729 67757 71874 61692 80001 21430 02305 59741 34262 15157 27545 08774 29689 42245 51903 69179 96682 91819 60812 47631 37294 92028 56850 83380 05912 29830 37612 15593 73198 33912 37996 78967 57201 66916 73998 54289 07147 84313 1) Baûng treân goàm nhöõng soá ngaãu nhieân. Choïn 35 soá trong 7 coät ñaàu tieân ñeå thöïc hieän pheùp tính sau: Veõ ¼ ñöôøng troøn baùn kính ñôn vò trong ¼ thöù nhaát cuûa maët phaúng toïa ñoä xOy. Töø con soá ñaàu tieân trong baûng, 26099, trích ra 4 chöõ soá ñaàu: 2609, vaø taïo ra hai soá töø 26 vaø 09 theo qui taéc r1 = 0.26 vaø r2 = 0.09, ta seõ coù moät ñieåm trong maët phaúng xOy theo (y = 0.26; x = 0.09). Nhö vaäy, öùng vôùi 7 coät ñaàu trong baûng treân, ta coù n1 = 35 m1 ñieåm. Ñeám soá ñieåm m1 naèm trong ¼ ñöôøng troøn. Laäp tæ soá p1 = . n1 m2 m3 Thöïc hieän pheùp tính töông töï vôùi 8 coät vaø 9 coät ñaàu tieân, ta coù caùc soá p2 = vaø p3 = vôùi n2 = n2 n3 40 vaø n3 = 45. π So saùnh p1, p2 vaø p3 vôùi giaù trò = 0.785. Tính caùc ñoä sai soá töông ñoái. Nhaän xeùt. 4 Kyõ thuaät treân, söû duïng caùc soá ngaãu nhieân, laø noäi dung chính cuûa phöông phaùp Monte Carlo (töø ñoù coù teân goïi naøy). 2) Phaàn lôùn caùc ngoân ngöõ laäp trình treân maùy tính ñeàu coù moät haøm cho tröôùc, goïi laø random trong Pascal, rnd trong Basic, cho ta nhöõng soá chuaån ngaãu nhieân (pseudo random numbers – nombres pseudo aleùatoires). Vieát chöông trình töông öùng vôùi thuaät toaùn (algorithm) sau: (Duøng haøm randomize ñeå coù moät daõy soá chuaån ngaãu nhieân). Böôùc 1: Baét ñaàu moät daõy soá ngaãu nhieân. Böôùc 2: Laäp laïi m laàn, n laø soá nhöõng soá ngaãu nhieân söû duïng. Böôùc 3: Choïn nhöõng soá ngaãu nhieân x vaø y sao cho 0 ≤ x ≤ 1. Böôùc 4: Neáu x2 + y2 ≤ 1, taêng soá ñeám: n ← n + 1. Böôùc 5: Chaám döùt böôùc 2. Böôùc 6: Cho ra 4 (n/m). Böôùc 7: Keát thuùc. Thuaät toaùn treân cho pheùp ta tính ñöôïc gì ? Giaûi thích. 3) Veõ hình caàu baùn kính ñôn vò taâm naèm taïi goác toïa ñoä, noäi tieáp trong moät khoái laäp phöông coù moät ñænh toïa ñoä (1, 1, 1). Giaû söû caû khoái caàu vaø khoái laäp phöông ñeàu coù maät ñoä khoái baèng ñôn vò. Chia khoái laäp phöông 1 laøm N phaàn baèng nhau, vaäy moãi phaàn coù theå tích . Vieát thuaät toaùn ñeå tính theå tích khoái caàu. N 4) Thay ñoåi thuaät toaùn treân ñeå tính moment quaùn tính cuûa khoái caàu ñoái vôùi truïc z.
23. VAÁN ÑEÀ I.C Maät ñoä traïng thaùi cuûa khí lyù töôûng (KLT) I/ Tröôøng hôïp moät phaân töû khí Xeùt moät haït phaân töû KLT ñöôïc nhoát trong moät hoäp chöõ nhaät coù kích thöôùc Lx, Ly, vaø Lz. Khaûo saùt löôïng töû cho ta keát quaû laø khi ñaët nhöõng ñieàu kieän giôùi haïn tuaàn hoaøn cho haøm soùng ñaëc tröng cho haït, haøm naøy seõ coù daïng soùng phaúng: r 1 i.K.r ϕ r = e , K V V: theå tích cuûa hoäp. r laø ñoäng löôïng trong traïng thaùi döøng r vaø naêng löôïng töông öùng laø: hK ϕ K r K 2 E r = h , K 2m m laø khoái löôïng cuûa haït vaø laø haèng soá Planckø. h r Trong tröôøng hôïp naøy, ñoäng löôïng K seõ bò löôïng töû hoùa: r 2π 2π 2π K = lx ex + ly ey + lz ez , l x,y,z ∈ Z . (*) Lx Ly Lz r Vaäy naêng löôïng E K taïo thaønh phoå giaùn ñoaïn. Sau ñaây, ta giaû söû kích thöôùc hoäp raát lôùn, khi ñoù, khoaûng caùch giöõa hai vaïch phoå seõ raát nhoû vaø ta coù naêng löôïng E laø bieán thieân lieân tuïc. Ñieàu naøy cho pheùp ta tính maät ñoä traïng thaùi cuûa haït. r 1) Chöùng toû raèng ñoä bieán thieân cuûa K lieân heä vôùi E qua bieåu thöùc: 1 m dK = E −1 2dE . 2 2 h r 2) Ñeám soá traïng thaùi cuûa haït töông öùng vôùi khoaûng naêng löôïng giöõa E vaø E+dE töùc laø ñeám soá vectô K r maø ñoä daøi ôû trong khoaûng K vaø K+dK; muõi nhöõng vectô K naøy naèm giôùi haïn giöõa hai maët caàu baùn kính K vaø r K+dK. Lôùp voû caàu naøy coù theå tích 4πK2dK. Theo coâng thöùc (*), caùc vectô K coù ñænh naèm ôû caùc nuùt cuûa moät r maïng trong khoâng gian K , töông öùng vôùi caùc giaù trò khaùc nhau cuûa lx,y,z . Chöùng minh raèng, vôùi moät pheùp xaáp xæ khaù chính xaùc, ta coù soá nuùt naøy laø 4πK 2dK . 8π3 / V 3) Töø ñoù, haõy suy ra bieåu thöùc cuûa maät ñoä traïng thaùi ρ(E) öùng vôùi naêng löôïng E: V 2 ρ(E) = .m 3 2 E1 2 baèng caùch nhaän xeùt raèng ρ(E)dE, soá traïng thaùi töông öùng trong khoaûng E vaø E+dE, 2 3 2π h cuõng chính laø soá nuùt maø ta tìm thaáy ôû caâu 2).
24. II/ Tröôøng hôïp moät heä KLT Xeùt heä goàm N haït töï do, khoâng keå spin, gioáng heät nhau nhöng baûn chaát khaùc nhau (ñeå khoâng taïo thaønh heä haït ñoàng nhaát_ vaø nhö vaäy, ta khoâng caàn ñeå yù ñeán “tieân ñeà ñoái xöùng” ñoái vôùi heä naøy). Giaû söû N haït naøy laø ñoäc laäp vaø ñöôïc nhoát vaøo moät hoäp chöõ nhaät nhö trong phaàn I/ r 1/ Vieát bieåu thöùc tính naêng löôïng toaøn phaàn E cuûa heä theo caùc vectô k i cuûa haït (i), vôùi m laø khoái löôïng cuûa moãi haït. r 2/ Ta ñònh nghóa vectô K trong khoâng gian 3N chieàu: r K = {k1x , k1y , k1z , , k Nx , k Ny , k Nz } r a/ Tính theå tích v3N cuûa moät khoái chöõ nhaät nguyeân toá xaùc ñònh bôûi caùc ñænh cuûa vectô K trong khoâng gian naøy. b/ Bieát raèng theå tích cuûa moät khoái caàu baùn kính K trong khoâng gian 3N chieàu ñöôïc tính: 3N 2 π 3N 3N V = .K , vôùi Γ( + 1) laø haøm gamma, duøng coâng thöùc vi phaân ñeå tính dieän tích S3N(K) 3N 3N 2 Γ( + 1) 2 cuûa maët caàu naøy. c/ Theo ñònh nghóa, soá traïng thaùi ρ N (E)dE coù naêng löôïng trong khoaûng E vaø E+dE ñöôïc tính: S3N (K)dK SN (E)dE = , vôùi ρ N (E) laø maät ñoä traïng thaùi. v 3N Töø ñoù, haõy chöùng minh: E 3N −1 ρ (E) = C(N).V N ( ) 2 , trong ñoù C(N) laø heä soá ñöôïc tính: N N 3N 2 3 ⎛ mN ⎞ 1 C(N) = ⎜ ⎟ . 2 2 3N ⎝ 2πh ⎠ Γ( + 1) 2 d/ Duøng coâng thöùc Stirling: Γ(x + 1) ≈ x x e −x 2πx khi x >> 1 ñeå tính laïi C(N) khi N raát lôùn.
25. Chöông II PHAÂN BOÁ VI CHÍNH TAÉC. TIEÂN ÑEÀ CÔ BAÛN CUÛA CÔ HOÏC THOÁNG KEÂ II.A Traïng thaùi caân baèng cuûa moät heä vó moâ II.B Tieân ñeà cô baûn cuûa cô hoïc thoáng keâ. Toaùn töû Liouville II.C Caùc tham soá vó moâ II.D Quaù trình thuaän nghòch vaø quaù trình baát thuaän nghòch II.A Traïng thaùi caân baèng cuûa moät heä vó moâ II.A.1 Caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cuûa heä vó moâ Ñeå ñaëc tröng cho traïng thaùi vó moâ cuûa moät heä vaät lyù, ta thöôøng duøng caùc ñaïi löôïng nhö: naêng löôïng, theå tích, nhieät ñoä, aùp suaát, soá haït, maät ñoä, Neáu nhöõng tham soá naøy ñöôïc xaùc ñònh töø nhöõng ñieàu kieän beân ngoaøi, coù giaù trò chaéc chaén, thì ñöôïc goïi laø tham soá ngoaïi. Chuù yù raèng caùc tham soá ngoaïi naøy bao giôø cuõng ñöôïc cho vôùi moät ñoä baát ñònh thöïc nghieäm naøo ñoù, bôûi vì ta khoâng theå kieåm tra ñöôïc ñaày ñuû nhöõng ñieàu kieän beân ngoaøi. Moät khi heä vó moâ ñang xeùt coù nhöõng tham soá ngoaïi ñöôïc aán ñònh roài, thì coù nhöõng ñaïi löôïng vaät lyù cuûa heä seõ töï do bieán thieân do nhöõng thaêng giaùng vi moâ cuûa heä. Caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc goïi laø bieán soá noäi. Vaäy nhöõng bieán soá noäi cuûa moät heä ñöôïc ñaëc tröng bôûi caùc phaân boá thoáng keâ. Ví duï: • Khi ta aán ñònh giaù trò cuûa naêng löôïng toaøn phaàn, theå tích, vaø soá haït cho moät heä thì caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc baûo toaøn (khoâng thay ñoåi). Ñoù laø caùc tham soá ngoaïi. Khi ñoù neáu ta xeùt maät ñoä haït taïi moät thôøi ñieåm naøo ñoù cuûa heä thì ñaïi löôïng naøy töï do bieán thieân neân laø bieán soá noäi. • Neáu baây giôø ta laïi aán ñònh giaù trò cuûa theå tích, soá haït, vaø nhieät ñoä cho heä thì khi naøy, naêng löôïng cuûa heä coù nhöõng thaêng giaùng, töùc laø chòu sö phaân boá thoáng keâ. Vaäy, theå tích, soá haït, vaø nhieät ñoä laø caùc tham soá ngoaïi, trong khi naêng löôïng laø bieán soá noäi. Nhö vaäy, ta thaáy raèng moät ñaïi löôïng vaät lyù (trong ví duï treân laø naêng löôïng) coù theå laø tham soá ngoaïi hoaëc laø bieán soá noäi tuøy tröôøng hôïp cuï theå cuûa baøi toaùn, ta aán ñònh nhöõng ñaïi löôïng naøo coù giaù trò khoâng ñoåi (vôùi sai soá) vaø ñeå cho ñaïi löôïng naøo coù söï bieán ñoåi thoáng keâ. II.A.2 Heä coâ laäp ôû traïng thaùi caân baèng Moät heä vó moâ ñöôïc coi laø heä coâ laäp khi heä naøy khoâng trao ñoåi naêng löôïng vaø cuõng khoâng trao ñoåi haït vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi, nghóa laø naêng löôïng toaøn phaàn cuûa heä ñöôïc baûo toaøn vaø nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa heä (coù theå laø voâ soá) ñeàu phaûi töông thích vôùi giaù trò cuûa naêng löôïng toaøn phaàn naøy. Nhö vaäy, ñoái vôùi moät heä coâ laäp, caùc ñaïi löôïng nhö naêng löôïng, soá haït theå tích, ñeàu ñöôïc baûo toaøn neân ñeàu laø caùc tham soá ngoaïi. Moät heä vó moâ ôû traïng thaùi caân baèng khi caùc ñaïi löôïng vó moâ ñaëc tröng cho heä khoâng thay ñoåi theo thôøi gian. Neáu luùc ñaàu, moät heä coâ laäp khoâng ôû traïng thaùi caân baèng thì sau moät thôøi gian naøo ñoù (goïi laø thôøi gian hoài phuïc), heä cuõng seõ ñi veà traïng thaùi caân baèng. Ví duï: Xeùt moät khoái khí luùc ñaàu ñöôïc nhoát vaøo moät phaàn beân traùi coù theå tích V1 cuûa moät hoäp. Phaàn coøn laïi cuûa hoäp coù theå tích V2 troáng khoâng. Hai phaàn naøy ñöôïc ngaên caùch bôûi moät vaùch ngaên C. Khi ta ruùt C ra, caùc phaân töû khí seõ daàn daàn chieám toaøn boä theå tích V1+V2 cuûa hoäp. Sau khoaûng thôøi gian hoài
26. phuïc, maät ñoä phaân töû khí seõ ñoàng nhaát taïi moïi thôøi ñieåm trong theå tích cuûa hoäp vaø seõ khoâng coøn thay ñoåi theo thôøi gian. Traïng thaùi sau cuøng naøy cuûa khoái khí laø traïng thaùi caân baèng. II.B Tieân ñeà cô baûn cuûa cô hoïc thoáng keâ. Toaùn töû Liouville II.B.1 Phaân boá vi chính taéc Xeùt moät heä S coâ laäp, ôû traïng thaùi caân baèng, töùc laø caùc ñaïi löôïng vó moâ cuûa heä nhö naêng löôïng E, theå tích V, soá haït N, laø ñoäc laäp ñoái vôùi thôøi gian. Khi naøy coù theå toàn taïi moät soá raát lôùn nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó töông öùng vôùi traïng thaùi vó moâ naøy. Khoâng moät ñònh luaät cô hoïc naøo cho ta bieát raèng trong nhöõng traïng thaùi vi moâ ñoù, traïng thaùi naøo coù öu tieân ñeå xaûy ra hôn nhöõng traïng thaùi khaùc. Töø nhaän xeùt treân, ta coù theå khaùi quaùt hoùa ñeå phaùt bieåu tieân ñeà cô baûn sau: “Ñoái vôùi moät heä coâ laäp ôû traïng thaùi caân baèng, taát caû nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó laø ñoàng xaùc suaát.” Noùi khaùc ñi, moät heä coâ laäp ôû traïng thaùi caân baèng coù theå ôû moät traïng thaùi vi moâ naøo ñoù vôùi xaùc suaát baèng nhau. Vì naêng löôïng E cuûa heä luoân ñöôïc xaùc ñònh vôùi moät sai soá δE naøo ñoù neân ta coù coâng thöùc tính xaùc suaát Pl ñeå heä ôû traïng thaùi (l) coù möùc naêng löôïng El: ⎧C = const , E ≤ E ≤ E + δE P = ⎨ l (II.1) l 0 , E ∉(E, E + δE) ⎩ l Khi naøy, ta noùi raèng heä S ôû traïng thaùi phaân boá vi chính taéc. Taäp hôïp thoáng keâ goàm nhöõng heä töông töï vôùi heä S ñöôïc goïi laø taäp hôïp vi chính taéc. Tieân ñeà cô baûn treân ñaõ ñöôïc ñoái chöùng vôùi lyù thuyeát vaø thöïc nghieäm. Vaø quaû thaät laø cho ñeán nay, caùc tính toaùn döïa treân tieân ñeà naøy ñeàu cho nhöõng keát quaû phuø hôïp vôùi thöïc teá quan saùt ñöôïc. II.B.2 Ñònh lyù Liouville Trong cô hoïc thoáng keâ coå ñieån, moät heä coâ laäp coù f baäc töï do ñöôïc moâ taû bôûi f toïa ñoä suy roäng vaø f ñoäng löôïng: {q1,q 2 , ,q f ,p1,p2 , ,pf }. Taïi moãi thôøi ñieåm, traïng thaùi cuûa heä ñöôïc bieåu dieãn bôûi moät ñieåm pha trong khoâng gian pha Γ. Xeùt taäp hôïp thoáng keâ cuûa heä coâ laäp naøy. Soá heä cuûa taäp hôïp coù vò trí vaø ñoäng löôïng naèm trong theå tích pha nguyeân toá (dq1,dq 2 , ,dq f ,dp1,dp2 , ,dpf ) ñöôïc tính bôûi: ρ(q1,q 2 , ,q f ,p1,p2 , ,pf )dq1dq 2 dq f dp1dp2 dpf , (II.2) vôùi ρ(q1,q 2 , ,q f ,p1,p2 , ,pf ) laø maät ñoä soá heä trong khoâng gian pha. Moãi heä cuûa taäp hôïp thoáng keâ chuyeån ñoäng theo thôøi gian, qui ñònh bôûi caùc phöông trình: ∂H ∂H q& i = , p& i = − , (II.3) ∂pi ∂qi vôùi H = H(q1,q 2 , ,qf ,p1,p2 , ,pf ) laø haøm Hamilton cuûa heä. Vì soá heä trong taäp hôïp thoáng keâ ñöôïc baûo toaøn neân soá ñieåm pha ra khoûi moät theå tích V baát kyø naøo ñoù trong moät ñôn vò thôøi gian phaûi baèng toác ñoä giaûm cuûa soá ñieåm pha trong theå tích V ñoù. r r Vôùi v = (q& 1,q& 2 , ,q& f ,p& 1,p& 2 , ,p& f ) laø toác ñoä chuyeån ñoäng cuûa moät ñieåm pha vaø n laø vectô phaùp tuyeán cuûa dieän tích S bao quanh theå tích V taïi ñieåm ñang xeùt, soá ñieåm pha rôøi khoûi dieän tích dS laø ρ.vr.nr.dS
27. Vaäy ta phaûi coù d ∫ ρ.vr.nr.dS = ∫∫ρvrdS = − ρdV . (II.4) S SVdt Nhöng theo ñònh lyù Gauss-Ostrogradski: r r ∫∫AdS = (∇A)dV SV vôùi ∇ laø toaùn töû gradient: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ → ( , , , , , , , ) , ∂q1 ∂q2 ∂qf ∂p1 ∂p2 ∂pf r neân ta coù, baèng caùch aùp duïng ñònh lyù naøy cho vectô A = ρvr : ∫∫ρvrdS = (∇vr)dV . SV Töø (II.4), ta suy ra ⎡∂ρ r ⎤ ∫ ⎢ + ∇(ρv)⎥dV = 0 . (II.5) V ⎣ ∂t ⎦ Vì heä thöùc treân phaûi ñöôïc nghieäm ñuùng vôùi moïi theå tích V neân ta phaûi coù ∂ρ + ∇(ρvr) = 0 (II.6) ∂t Tích voâ höôùng cuûa caùc vectô ∇ vaø ρvr cho ta ∂ρ f ⎡ ∂ ∂ ⎤ + ∑⎢ (ρq& i ) + (ρp& i )⎥ = 0 ∂t i=1 ⎣∂qi ∂pi ⎦ f ∂ρ ⎡ ∂ρ ∂q& i ∂ρ ∂p& i ⎤ ⇒ + ∑⎢ q& i + ρ + p& i + ρ ⎥ = 0 ∂t i=1⎣∂qi ∂qi ∂pi ∂pi ⎦ ∂ρ f ⎡⎛ ∂ρ ∂ρ ⎞ ⎛ ∂q ∂p ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎜ & i & i ⎟ + ∑ ⎢⎜ q& i + p& i ⎟ + ρ⎜ + ⎟⎥ = 0 ∂t i = 1⎣⎢⎝ ∂q i ∂p i ⎠ ⎝ ∂q i ∂p i ⎠⎦⎥ ∂p ∂q Töø heä phöông trình Hamilton: & i + & i = 0, ta coù: ∂pi ∂qi
28. ∂ρ f ⎛ ∂ρ ∂ρ ⎞ + ∑ ⎜ q& i + p& i ⎟ = 0 . (II.7a) ∂t i=1⎝ ∂qi ∂pi ⎠ Cuoái cuøng, ta coù heä thöùc cuûa ñònh lyù Liouville: dρ = 0 , (II.7b) dt vaø phöông trình treân ñöôïc goïi laø phöông trình Liouville. Xeùt tröôøng hôïp ρ = const, hoaëc toång quaùt hôn, tröôøng hôïp ρ laø haøm chæ cuûa naêng löôïng E. Vì E laø haèng soá chuyeån ñoäng neân ∂ρ ∂ρ ∂E ∂ρ ∂ρ ∂E = . = 0 , vaø = . = 0 . ∂q i ∂E ∂q i ∂pi ∂E ∂pi Vaäy ∂ρ = 0 . ∂t Heä thöùc treân coù yù nghóa vaät lyù: “Söï phaân boá caùc heä treân nhöõng traïng thaùi laø khoâng ñoåi theo thôøi gian” (töông öùng vôùi traïng thaùi caân baèng). Ñaëc bieät, ñoái vôùi taäp hôïp vi chính taéc, traïng thaùi caân baèng töông öùng vôùi caùc phaùt bieåu: ρ = const vôùi E0 < E < E0+δE, vaø ρ = 0 taïi caùc vuøng coù naêng löôïng khoâng thoûa hai baát ñaúng thöùc keùp treân. Toùm laïi, ñònh lyù Liouville cho ta bieát raèng taäp hôïp thoáng keâ töông öùng vôùi traïng thaùi caân baèng laø taäp hôïp coù ρ = const trong khoâng gian pha, töùc laø caùc traïng thaùi khaû dó laø ñoàng xaùc suaát. Ñieàu naøy hoaøn toaøn phuø hôïp vôùi tieân ñeà cô baûn cuûa cô hoïc thoáng keâ. II.B.3 Toaùn töû Liouville Töø heä phöông trình Hamilton: ⎧ ∂H ⎪q& i = , ⎪ ∂pi ⎨ ⎪ ∂H p& i = − . ⎩⎪ ∂qi ∂H vaø vôùi giaû thieát haøm H = H( qi, pi ) khoâng phuï thuoäc töôøng minh vaøo thôøi gian ( = 0 : naêng löôïng E ∂t khoâng ñoåi theo thôøi gian), phöông trình Liouville (II.7a) trôû thaønh dρ ∂ρ f ⎛ ∂ρ ∂H ∂ρ ∂H ⎞ = + ∑ ⎜ . − . ⎟ = 0 . (II.8) dt ∂t i=1⎝ ∂q i ∂pi ∂pi ∂q i ⎠ Ta ñònh nghóa daáu ngoaëc Poisson {A,B} cuûa hai haøm A(qi, pi, t) vaø B(qi, pi, t) nhö sau: f ⎛ ∂A ∂B ∂A ∂B ⎞ {}A, B = ∑ ⎜ . − . ⎟ . (II.9) i=1⎝ ∂q i ∂pi ∂pi ∂q i ⎠ Nhö vaäy, phöông trình (II.8) trôû thaønh: dρ ∂ρ = + {}ρ, H = 0 . (II.10) dt ∂t Phöông trình (II.10) laø daïng thu goïn cuûa phöông trình Liouville. Ta cuõng coù theå vieát laø: ∂ρ = {}H,ρ . (II.11) ∂t Neáu ta ñònh nghóa toaùn töû Liouville:
29. Lˆ = i{H, }, (II.12) phöông trình (II.11) ñöôïc vieát ∂ρ = −iLˆρ . (II.13) ∂t Khi ñoù, phöông trình treân coù nghieäm hình thöùc: −i.Lˆ.t ρ(qi ,pi , t) = e ρ(qi ,pi ,0) . (III.14) II.B.4 Entropi vi chính taéc Xeùt heä S coâ laäp ôû traïng thaùi caân baèng, coù möùc naêng löôïng El ôû trong khoaûng E vaø E+δE. Tieân ñeà cô baûn cho ta bieát raèng taát caû nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó ñeàu coù khaû naêng xaûy ra nhö nhau neân neáu ta goïi Ω laø toång soá nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó naøy thì xaùc suaát ñeå heä S ôû moät trong nhöõng traïng thaùi vi moâ naøy laø 1 P = . (II.15) l Ω Theo lyù thuyeát thoâng tin toång quaùt, ta coù coâng thöùc entropi cuûa phaân boá vi chính taéc: Ω Ω 1 ⎛ 1 ⎞ S∗ = −k∑ P ln P = −k∑ ln⎜ ⎟ l l Ω Ω l=1 l=1 ⎝ ⎠ ⇒ S ∗ = k ln Ω . . (II.16) Heä thöùc treân cho ta thaáy raèng entropi vi chính taéc coù tính thoáng keâ, ñoùng vai troø cô baûn trong vaät lyù thoáng keâ vì nhö ta seõ thaáy sau naøy, ñoù laø coâng thöùc ñaàu tieân thieát laäp moái lieân heä giöõa ñaëc tính vi moâ vôùi caùc ñaïi löôïng vó moâ cuûa moät heä vaät lyù. Theo coâng thöùc treân, ta thaáy raèng entropi S∗ taêng theo soá traïng thaùi vi moâ Ω. Theo ñònh nghóa vaø caùc tính chaát cuûa entropi thoáng keâ ñaõ xeùt trong chöông I, nhö vaäy ta thaáy traïng thaùi caân baèng laø traïng thaùi töông öùng vôùi entropi cöïc ñaïi; caùc traïng thaùi vi moâ khaû dó ñeàu ñoàng xaùc suaát, töùc laø tính maát traät töï, tình traïng thieáu thoâng tin veà heä laø coù xaùc suaát lôùn nhaát hay noùi khaùc ñi, khi ñoù ta hoaøn toaøn thieáu thoâng tin veà heä muoán khaûo saùt. Töø coâng thöùc (II.16) ñeå tính entropi vi chính taéc S∗ vaø töø tính chaát cuûa haøm logarithm, ta coù theå deã daøng chöùng minh raèng S∗ laø ñaïi löôïng coäng tính, nghóa laø khi heä coâ laäp S ôû traïng thaùi caân baèng goàm ∗ ∗ coù hai heä S 1 vaø S 2 ñoäc laäp nhau, coù entropi vi chính taéc laàn löôït laø S1 vaø S2 , thì entropi vi chính taéc S∗ cuûa heä lôùn S ñöôïc tính bôûi: ∗ ∗ ∗ S = S1 + S2 . (II.17) II.B.5 Phaân boá thoáng keâ cuûa bieán soá noäi Xeùt moät heä coâ laäp ôû traïng thaùi caân baèng vó moâ ñöôïc ñaëc tröng bôûi nhöõng tham soá ngoaïi: E, V, N, maø ta seõ vieát (E,x). Goïi yl laø giaù trò cuûa moät bieán soá noäi khi heä ôû traïng thaùi (l), vaø ω(E,x;y)δy laø soá traïng thaùi vi moâ khaû dó ñeå yl ôû trong khoaûng (y,y+δy). Xaùc suaát ñeå yl ôû trong khoaûng (y,y+δy) laø: ω(E, x; y).δy W∗ (E, x; y)δy = , Ω(E, x) vôùi ω(E, x; y) vaø W∗ (E, x; y) laø caùc maät ñoä traïng thaùi vaø maät ñoä xaùc suaát. (Caùc ñieàu kieän chuaån hoùa seõ laø:
30. ∞ ∫ ω(E, x; y)dy = Ω(E, x) , −∞ ∞ ∫ W∗ (E, x; y)dy = 1). −∞ Vaäy ln W∗ = ln ω − ln Ω , Ta coù 1 ln Ω = S∗ (E, x) , k vaø baèng caùch ñaët 1 ln ω = s∗ , k trong ñoù, s∗ ñöôïc goïi laø entropi vi chính taéc töøng phaàn. 1 ⇒ W∗ = exp (s∗ − S∗ ). k 1 ⇒ W∗ ∝ exp s∗. k ∗ Giaù trò caùi nhieân nhaát ym cuûa bieán soá noäi y laø giaù trò laøm cho W cöïc ñaïi. Nhö vaäy: 1 ∂s∗ = 0 . k ∂y y=ym ∗ Khai trieån Taylor cuûa haøm s quanh ñieåm y = ym : 11 1∂ s∗ 1s∂2 ∗ s(y)∗∗∝+−+ s(y) .(y y ). (y− y )2 + kkmm k∂ y2km ∂2 y yy= m yy= m Trong toång beân phaûi ôû treân, soá haïng thöù nhì trieät tieâu do ñieàu kieän cöïc ñaïi cuûa W∗ . Ñoàng thôøi, ta ñaët 1 ∂ 2s∗ 1 = − . k ∂ 2 y Δ2 y=ym 2 ∗ ∗ ∂ s (vì s coù cöïc ñaïi taïi y = ym neân ta coù: < 0 ). ∂ 2 y y=ym Nhö vaäy ⎡ (y − y )2 ⎤ W∗ (y) ∝ W∗ (y ) exp − m . (II.18) m ⎢ 2 ⎥ ⎣⎢ 2Δ ⎦⎥ Töø ñoù ta ruùt ra keát luaän quan troïng sau cho phaân boá vi chính taéc: Phaân boá thoáng keâ cuûa moät bieán soá noäi laø phaân boá Gauss, coù giaù trò caùi nhieân nhaát laø taïi ym . Theo tính chaát cuûa phaân boá Gauss, giaù trò trung bình cuûa ñaïi löôïng y cuõng baèng ym: y = y m . II.C Caùc tham soá vó moâ Vì caùc möùc naêng löôïng cuûa moät heä vó moâ phuï thuoäc vaøo caùc tham soá ngoaïi neân ta coù theå phaân loaïi caùc töông taùc giöõa hai heä vi moâ: Xeùt heä coâ laäp S goàm hai heä nhoû S 1 vaø S 2 töông taùc nhau. Neáu trong quaù trình töông taùc, S 1 vaø S 2 chæ trao ñoåi naêng löôïng vôùi nhau maø caùc tham soá ngoaïi khoâng ñoåi thì ta goïi ñoù laø töông taùc nhieät. Coøn neáu söï töông taùc daãn ñeán söï thay ñoåi cuûa caùc tham soá ngoaïi thì ta coù
31. töông taùc cô. Trong phaàn sau ñaây, ta xeùt caùc loaïi töông taùc naøy ñoàng thôøi seõ ñöa vaøo ñònh nghóa cuûa caùc ñaïi löôïng vó moâ ñaëc tröng cho moät heä vaät lyù, ñoù laø nhieät ñoä, aùp suaát, vaø theá hoùa hoïc. II.C.1 Nhieät ñoä vi chính taéc Xeùt tröôøng hôïp coù töông taùc nhieät giöõa hai heä nhoû S 1 vaø S2. Khi naøy caùc tham soá ngoaïi cuûa moãi heä ñeàu khoâng ñoåi maø chæ coù söï trao ñoåi naêng löôïng giöõa hai heä. Naêng löôïng trung bình trao ñoåi giöõa hai heä S 1 vaø S 2 ñöôïc goïi laø nhieät löôïng. Goïi ΔE , ΔE1 , vaø ΔE 2 laø ñoä bieán thieân naêng löôïng trung bình cuûa caùc heä S , S 1, vaø S 2. Vì heä S coâ laäp, ta coù: ΔE = 0 ⇒ ΔE1 + ΔE2 = 0. Goïi Q1 = ΔE1, Q2 = ΔE2 laø caùc nhieät löôïng trao ñoåi, ta coù Q1 + Q2 = 0, hay: Q1 = −Q2 . (II.19) YÙ nghóa vaät lyù cuûa heä thöùc treân laø “Nhieät löôïng haáp thuï bôûi heä naøy baèng nhieät löôïng cung caáp bôûi heä kia”. Goïi E1, E2 laø naêng löôïng cuûa caùc heä S 1, S 2 (E1, E2 laø caùc bieán soá noäi). Soá traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa S 1 vaø S 2 laàn löôït laø Ω1 vaø Ω2. Caùc ñaïi löôïng naøy phuï thuoäc E1, E2: Ω1 = Ω1(E1), Ω2 = Ω2(E2). Goïi E, Ω laø naêng löôïng vaø soá traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa heä S . Ω laø haøm theo moät bieán E1, vì töø E = E1 + E 2 , ta coù Ω = Ω1(E1 ).Ω2 (E 2 ) = Ω1(E1 ).Ω2 (E − E1 ) . ⇒ Ω = Ω(E1 ) . Ta xeùt khi heä lôùn S coâ laäp, ôû traïng thaùi caân baèng. Theo tieân ñeà cô baûn, xaùc suaát ñeå heä S ôû traïng thaùi maø S 1 coù naêng löôïng ôû trong khoaûng (E1, E1+δE1 ) tæ leä vôùi Ω(E1): P(E1 ) = CΩ(E1 ) = CΩ1(E1 ).Ω2 (E 2 ) . ∂ ln P 1 ∂P Vì cöïc trò cuûa lnP(E1) daãn ñeán cöïc trò cuûa P(E1) (vì = ) neân ta xeùt ∂E1 P ∂E1 ln P(E1 ) = ln C + ln Ω1(E1 ) + ln Ω2 (E2 ) ∂ ln Ω (E ) ∂ ln Ω (E ) ⇒ 1 1 + 2 2 = 0 . ∂E1 ∂E1 Nhöng ta laïi coù ∂ ln Ω (E ) ∂ ln Ω (E ) ∂E ∂ ln Ω (E ) 2 2 = 2 2 . 2 = − 2 2 ∂E1 ∂E2 ∂E1 ∂E2 ∂E (vì 2 = −1), ∂E1 neân ∂ ln Ω (E ) ∂ ln Ω (E ) 1 1 + 2 2 = 0 , ∂E1 ∂E 2 hay ∂ ln Ω (E ) ∂ ln Ω (E ) k 1 1 = k 2 2 . ∂E1 ∂E2
32. Cuoái cuøng ta coù ∂S ∂S 1 = 2 , ∂E1 ∂E 2 vôùi S1 = k ln Ω1 , S2 = k ln Ω2 . Vì heä thöùc treân ñaëc tröng cho traïng thaùi caân baèng nhieät cuûa heä S (Khi naøy S = S1 + S2 coù cöïc ñaïi) ∗ ∗ neân ta ñònh nghóa nhieät ñoä vi chính taéc T1 , T2 cuûa caùc heä S 1, S 2 bôûi: 1 ∂S 1 ∂S = 1 , = 2 . (II.20) ∗ ∗ T1 ∂E1 T2 ∂E2 ∗ ∗ Nhö vaäy, ta coù: T1 = T2 , töùc laø khi S 1 caân baèng vôùi S 2, nhieät ñoä vi chính taéc cuûa hai heä baèng nhau. Vaäy ñònh nghóa chung cuûa nhieät ñoä vi chính taéc laø 1 ∂S∗ = , (II.21a) ∗ ∂E T hay: 1 ∂ ln Ω = k . (II.21b) T∗ ∂E (ñaïo haøm rieâng phaàn cuûa S theo E chæ ra raèng caùc tham soá khaùc cuûa heä nhö theå tích, soá haït, ñöôïc giöõ khoâng ñoåi). Cuoái cuøng, ta caàn chuù yù raèng söï phaân boá caùi nhieân nhaát cuûa naêng löôïng E cuûa heä S töông öùng vôùi caùc nhieät ñoä vi chính taéc cuûa S 1 vaø S 2 baèng nhau. ∗ Tính chaát cuûa nhieät ñoä vi chính taéc: T > 0, naêng löôïng truyeàn töø heä T1 lôùn hôn sang heä coù T1 nhoû hôn. II.C.2 AÙp suaát vi chính taéc Khi hai heä töông taùc nhau daãn ñeán söï thay ñoåi cuûa nhöõng tham soá ngoaïi maø khoâng coù söï trao ñoåi naêng löôïng thì ñoù laø töông taùc cô. Nhö vaäy, töông taùc cô cuõng vaãn laøm cho caùc möùc naêng löôïng cuûa heä thay ñoåi. Coâng cô hoïc thöïc hieän leân heä ñöôïc ñònh nghóa laø gia soá cuûa naêng löôïng trung bình cuûa heä töông öùng vôùi gia soá cuûa tham soá ngoaïi: W = ΔE . Coâng cô hoïc maø heä thöïc hieän nhö vaäy laø: W' = −W = −ΔE . Ta coù W + W' = 0 . Heä thöùc naøy noùi leân raèng naêng löôïng cuûa toaøn boä hai heä laø baûo toaøn. Tuy nhieân, ñeå coù theå khaûo saùt söï töông taùc cô giöõa hai hay nhieàu heä, ta caàn phaûi coù ñieàu kieän ñeå caùc ñaïi löôïng lieân quan ñeán caùc tham soá ngoaïi phaûi ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh, ví duï nhö khaùi nieäm aùp suaát maø ta seõ ñöa vaøo sau ñaây. Vaäy ta ñöa vaøo khaùi nieäm quaù trình chuaån tónh. Quaù trình chuaån tónh cuûa moät heä vaät lyù laø quaù trình trong ñoù heä bieán ñoåi töø traïng thaùi ñaàu ñeán traïng thaùi cuoái bôûi moät chuoãi lieân tieáp nhöõng traïng thaùi caân baèng: taïi moãi thôøi ñieåm, heä ôû traïng thaùi caân baèng töông öùng vôùi caùc giaù trò cuûa caùc tham soá ngoaïi aán ñònh cho heä. Muoán vaäy, söï bieán thieân cuûa caùc tham soá ngoaïi phaûi ñuû chaäm sao cho heä ñaït ñöôïc moät traïng thaùi caân baèng môùi tröôùc khi caùc tham soá ngoaïi naøy thay ñoåi ñaùng keå. Töø “ñuû chaäm” ôû ñaây phaûi hieåu laø thôøi gian taùc ñoäng cuûa caùc tham soá ngoaïi lôùn hôn nhieàu ñoái vôùi thôøi gian hoài phuïc cuûa heä. Ví duï: Khi ta nhoát moät khoái khí vaøo moät xylanh, vaø ñöôïc ngaên bôûi moät piston. Khi naøy, moät trong caùc tham soá ngoaïi laø chieàu daøi cuûa xylanh coù chöùa chaát khí. Neáu khoái khí naøy ñi veà moät traïng thaùi caân
33. baèng môùi sau thôøi gian laø τ = 10-3 s sau khi khoaûng caùch töø ñaùy xylanh ñeán piston bò giaûm ñi, thì quaù trình coù theå xem nhö chuaån tónh khi thôøi gian chuyeån ñoäng cuûa piston laø 0,1s. Toùm laïi, khi heä thöïc hieän moät quaù trình chuaån tónh, caùc tham soá ngoaïi thay ñoåi, nhöng taïi moãi thôøi ñieåm ñeàu coù moät giaù trò xaùc ñònh. Ta xeùt heä S töông taùc vôùi moät heä khaùc. Goïi El laø naêng löôïng cuûa heä S ôû traïng thaùi vi moâ (l); El laø haøm cuûa caùc tham soá ngoaïi xα: E = E (x , x , ,x , ,x ) . l l 1 2 α n Khi tham soá xα bieán thieân, ñoä bieán thieân cuûa naêng löôïng ñöôïc vieát n ∂E dE = l dx . l ∑ α α=1∂x α Khi ñoù, heä thöïc hieän moät coâng laø: n ⎛ ∂E ⎞ δW = −dE = ⎜− l ⎟dx . (II.22) l l ∑⎜ ⎟ α α=1⎝ ∂x α ⎠ Ñaët ∂E X = − l α , l . (II.23) ∂x α laø löïc suy roäng töông öùng vôùi tham soá xα, ta coù n δ W = X dx . (II.24) l ∑ α,l α α=1 Nhö vaäy, trong taäp hôïp thoáng keâ, trò trung bình cuûa löïc suy roäng laø ∂E X = − l , α,l ∂x α vì ta coù: δW = X dx . l ∑ α,l α Sau khi ñöa vaøo khaùi nieäm toång quaùt cuûa löïc suy roäng ôû treân, ta seõ ñònh nghóa aùp suaát, moät trong nhöõng ñaïi löôïng quan troïng ñaëc tröng cho heä vó moâ: AÙp suaát ñöôïc ñònh nghóa laø löïc suy roäng töông öùng vôùi tham soá ngoaïi laø theå tích V cuûa heä S ôû traïng thaùi (l) coù möùc naêng löôïng El: ∂E P = − l l ∂ V . (II.25) Ñònh nghóa treân cuûa aùp suaát dó nhieân laø ñoàng nhaát vôùi ñònh nghóa cuûa aùp suaát maø ta ñaõ bieát trong cô hoïc coå ñieån. Ñeå deã thaáy ñieàu naøy, ta xeùt laïi ví duï treân cuûa khoái khí nhoát trong xylanh. Neáu goïi tieát
34. dieän cuûa xylanh laø A thì löïc do khoái khí taùc duïng leân piston laø Ap, vôùi p laø aùp suaát theo ñònh nghóa coå ñieån. Khi piston di chuyeån raát chaäm ñeå heä khí thöïc hieän quaù trình chuaån tónh vaø taïi moät thôøi ñieåm naøo ñoù, heä ôû traïng thaùi (l) coù naêng löôïng El . Coâng do heä thöïc hieän laø δW = (pA)dS = p(AdS) = pdV sau khi piston thöïc hieän ñoä dôøi ds. Nhöng vì: δW = −dE , l ta coù ñöôïc: dE p = − l . dV ÔÛ treân, khi giôùi thieäu caùc coâng thöùc ñònh nghóa entropi vi chính taéc (II.16) vaø nhieät ñoä vi chính taéc (II.21a vaø b), cho ta thieát laäp ñöôïc moái quan heä giöõa caùc ñaïi löôïng vó moâ S∗, T∗ vôùi ñaëc tính vi moâ cuûa heä vaät lyù, ñaëc tröng bôûi soá nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa heä. ÔÛ ñaây, ta cuõng seõ xaây döïng coâng thöùc töông töï cho aùp suaát: Xeùt heä S = ( A ∪ A’ ) coâ laäp nhö hình veõ: heä A chöùa moät chaát khí, heä A’ goàm moät loø xo gaén chaët vôùi moät piston. Chieàu daøi x cuûa xylanh chöùa heä A laø tham soá ngoaïi. Hai heä A vaø A’ chæ töông taùc thuaàn tuùy cô hoïc vôùi nhau. Soá traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa heä A chæ phuï thuoäc naêng löôïng E cuûa A vaø tham soá ngoaïi x: Ω = Ω(E,x). Goïi Etc vaø E’ laø naêng löôïng cuûa S vaø A’, ta coù: E = Etc – E’. Vì E’ laø haøm theo x neân nhö vaäy E cuõng laø haøm theo x: E = E(x). Ñeå x töï do bieán thieân. Sau moät thôøi gian, heä ñaït ñeán traïng thaùi caân baèng: Ω(E,x) ñaït giaù trò cöïc ñaïi: ∂ ln Ω(E, x) = 0. ∂x ∂ ln Ω(E, x) ∂E ∂ ln Ω(E, x) ⇒ . + = 0 ∂E ∂x ∂x ∂E Vì = −X , theo ñònh nghóa löïc suy roäng, vaø vì ∂x x ∂ln(Ω) 1 = =β, theo ñònh nghóa cuûa nhieät ñoä vi chính taéc, ta coù ∂E kT∗ ∂ lnΩ βX = . x ∂x Vaäy: 1 ∂ ln Ω ∂S∗ X = = T x β ∂ x ∂ x. (II.26) Khi ta coù x laø theå tích V, Xx seõ chính laø aùp suaát vi chính taéc: . (II.27a) ∂S∗ p∗ = T∗ ∂V hoaëc 1 ∂ ln Ω p∗ = β ∂ V (II.27b) Trong phaàn treân, ta ñaõ khaûo saùt söï töông taùc nhieät giöõa hai heä vaø daãn ñeán khaùi nieäm nhieät ñoä vaø cuõng nhö söï töông taùc cô ñeå ñöa ñeán khaùi nieäm aùp suaát. Ta caàn chuù yù raèng khi töông taùc, moãi heä
35. khoâng trao ñoåi haït laø thaønh phaàn caáu taïo neân heä, töùc laø caùc heä luoân laø heä kín. Sau ñaây, ta seõ xeùt tröôøng hôïp hai heä töông taùc nhau vaø coù theå trao ñoåi haït, ñeå giôùi thieäu moät khaùi nieäm khaùc, ñoù laø theá hoùa hoïc. II.C.3 Theá hoùa hoïc vi chính taéc Xeùt heä coâ laäp S goàm hai heä nhoû S 1 vaø S 2 töông taùc nhau. Hai heä S 1 vaø S 2 töông taùc nhau coù theå trao ñoåi nhieät, “trao ñoåi” theå tích, vaø caû soá haït. Goïi E1, V1, N1 vaø E1, V2, N2 laø naêng löôïng, theå tích vaø soá haït cuûa moãi heä S 1 vaø S 2. Vì heä S coâ laäp neân naêng löôïng E, theå tích V, vaø soá haït N cuûa S thoûa: E1 + E2 = E xaùc ñònh. V1 + V2 = V xaùc ñònh. N1 + N 2 = N xaùc ñònh. Neáu soá traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa S 1 vaø S 2 laàn löôït laø Ω1(E1,V1,N1) vaø Ω2(E2,V2,N2), soá traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa S laø Ω = Ω1 (E1, V1, N1 ).Ω 2 (E 2 , V2 , N 2 ) . Vì E 2 = E − E1 , V2 = V − V1 , vaø N 2 = N − N1 , neân Ω laø haøm cuûa E1,V1, vaø N1: Ω = Ω(E1,V1,N1). Traïng thaùi caùi nhieân nhaát cuûa heä töông öùng vôùi Ω cöïc ñaïi töùc laø lnΩ ñaït cöïc ñaïi. Khi naøy: ∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂ ln Ω = 0 , = 0 , = 0. ∂E1 ∂V1 ∂N1 Ta coù lieân tieáp caùc keát quaû sau: ⎧∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂ ln Ω 1 + 2 = 1 − 2 = 0 ⇒ 1 = 2 ⎪ ∂E ∂E ∂E ∂E ∂E ∂E ⎪ 1 1 1 2 1 2 ⎪ ⇒ T∗ = T∗ (II.29a) ⎪ 1 2 ⎪∂ ln Ω1 ∂ ln Ω2 ∂ ln Ω1 ∂ ln Ω2 ∂ ln Ω1 ∂ ln Ω2 ⎪ + = − = 0 ⇒ = ⎨ ∂V1 ∂V1 ∂V1 ∂V2 ∂V1 ∂V2 ⎪ ∗ ∗ ⎪ ⇒ p1 = p2 (II.29b) ⎪∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂ ln Ω ∂ ln Ω ⎪ 1 + 2 = 1 − 2 = 0 ⇒ 1 = 2 . ⎪ ∂N1 ∂N1 ∂N1 ∂N 2 ∂N1 ∂N 2 ⎩⎪ (II.29c) ∗ ∗ ∗ ∗ ÔÛ treân, ta ñaõ goïi T1 , p1 vaø T2 , p2 laø nhieät ñoä vaø aùp suaát vi chính taéc cuûa S 1 vaø S 2 . Tuy nhieân ôû ñaây, ta coù theâm heä thöùc (II.29c), ñaëc tröng cho söï caân baèng cuûa quaù trình trao ñoåi haït giöõa hai heä S 1 vaø S 2 . Noùi chung, ta ñaët: ∗ ∗ ∗ ∂S ∗ 1 ∂ ln Ω μ = − T , hay μ = − (II.30) ∂N β ∂N
36. vaø goïi μ∗ laø theá hoùa hoïc vi chính taéc cuûa heä. Nhö vaäy, khi coù söï caân baèng giöõa hai heä S 1 vaø S 2 , ta coù, töø (II.29c): ∗ ∗ μ1 = μ 2 . Keát luaän: Khi hai heä S 1 vaø S 2 töông taùc nhau (nhieät, cô, vaø trao ñoåi haït) vaø ñaït ñeán traïng thaùi caân baèng, ta coù nhieät ñoä, aùp suaát vaø theá hoùa hoïc cuûa hai heä laø baèng nhau: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ T1 = T2 , p1 = p 2 , vaø μ1 = μ 2 . II.C.4 Ñaïi löôïng cöôøng tính vaø ñaïi löôïng coäng tính Ba ñaïi löôïng vaät lyù ñaëc tröng cho traïng thaùi caân baèng cuûa hai heä töông taùc nhau laø nhieät ñoä, aùp suaát, vaø theá hoùa hoïc coù tính chaát ñaëc bieät quan troïng maø ta seõ tìm hieåu döôùi ñaây: Xeùt moät tham soá vó moâ y ñaëc tröng cho moät heä S . Giaû söû heä S ñöôïc phaân laøm hai heä nhoû S 1 vaø S 2 . Goïi y1, y2 laø caùc giaù trò cuûa ñaïi löôïng naøy cuûa caùc heä S 1 vaø S 2. Coù hai tröôøng hôïp coù theå xaûy ra: • hoaëc ta coù y1+ y2 =y. Khi naøy, y ñöôïc goïi laø ñaïi löôïng coäng tính. • hoaëc y1 = y2 = y. Khi naøy, y laø ñaïi löôïng cöôøng tính. Ta coù theå thaáy ngay raèng caùc ñaïi löôïng sau ñaây laø coäng tính: soá haït N, theå tích V, khoái löôïng M, naêng löôïng E, entropi S (caùc ñaïi löôïng naøy lieân heä tröïc tieáp ñeán soá haït cuûa heä). M Vaø caùc ñaïi löôïng sau laø cöôøng tính: maät ñoä khoái löôïng ρ = (thaät vaäy, tæ soá cuûa hai ñaïi löôïng V coäng tính trôû thaønh cöôøng tính), vaø theo nhö caùc phaàn II.C.1, 2, vaø 3 maø ta ñaõ khaûo saùt ôû treân, nhieät ñoä, aùp suaát, theá hoùa hoïc ñeàu laø caùc ñaïi löôïng cöôøng tính. II.D Quaù trình thuaän nghòch vaø quaù trình baát thuaän nghòch Khi xeùt moät heä vó moâ thì thoâng thöôøng heä ñöôïc ñaët trong moät soá ñieàu kieän naøo ñoù (ñöôïc ñònh luôïng hoùa bôûi caùc tham soá vó moâ y1, y2, , yn). Nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa heä laø taát caû nhöõng traïng thaùi töông thích vôùi nhöõng haïn cheá ñaët ra cho heä. Nhö vaäy, neáu goïi Ω laø soá traïng thaùi vi moâ khaû dó thì ta coù heä thöùc haøm: Ω = Ω(y1, y2 , , y n ) . Giaû söû traïng thaùi vó moâ ñaàu tieân cuûa heä vôùi moät soá haïn cheá naøo ñoù töông öùng vôùi soá traïng thaùi vi moâ khaû dó laø Ωi. Giaû söû ta laáy bôùt moät soá haïn cheá ñi. Khi naøy, taát caû nhöõng traïng thaùi khaû dó cuõ vaãn coøn laø khaû dó ñoái vôùi heä, nhöng ngoaøi ra, vì soá haïn cheá treân heä bò bôùt ñi, neân thoâng thöôøng coù theå coù theâm nhieàu traïng thaùi vi moâ nöõa trôû thaønh khaû dó ñoái vôùi heä. Töùc laø vieäc laáy bôùt haïn cheá treân heä coù keát quaû laø hoaëc laøm taêng hoaëc ñeå khoâng ñoåi soá traïng thaùi vi moâ khaû dó luùc sau maø ta kí hieäu laø Ωf : Ωf ≥ Ωi • Neáu Ωf = Ωi : heä ñaõ ôû traïng thaùi caân baèng vaø coù theå ôû moät trong nhöõng traïng thaùi vi moâ khaû dó vôùi xaùc suaát baèng nhau, seõ vaãn ñöôïc phaân boá vôùi cuøng xaùc suaát treân caùc traïng thaùi vi moâ treân. Traïng thaùi caân baèng xem nhö khoâng bò nhieãu loaïn. Quaù trình naøy laø quaù trình thuaän nghòch. • Neáu Ωf > Ωi : moät khi heä ñaõ ñöôïc phaân boá moät caùch ngaãu nhieân treân caùc traïng thaùi vi moâ khaû dó thì vieäc laäp laïi haïn cheá khoâng theå laøm cho heä töï ñoäng rôøi nhöõng traïng thaùi ñang coù ñeå quay trôû laïi nhöõng traïng thaùi vôùi nhieàu haïn cheá hôn. Khi coù moät quaù trình naøo ñoù xaûy ra trong moät heä coâ laäp ñeå heä ñi töø traïng thaùi ñaàu ñeán traïng thaùi cuoái, maø vieäc ñaët theâm hoaëc laáy bôùt ñi nhöõng haïn cheá leân heä coâ laäp naøy khoâng theå thieát laäp laïi ñöôïc traïng thaùi ñaàu tieân cuûa heä, thì quaù trình ñoù laø quaù trình baát thuaän nghòch.
37. Ví duï: Xeùt hai heä A vaø A’ coù nhieät ñoä khaùc nhau ngaên caùch bôûi moät vaùch luùc ñaàu caùch nhieät. Hai heä A vaø A’ töông taùc nhieät vôùi nhau khi ta ñeå cho vaùch ngaên truyeàn nhieät (laáy bôùt haïn cheá). Sau moät thôøi gian, caùc heä ñaït ñeán traïng thaùi caân baèng. Baây giôø ta laïi laøm cho vaùch ngaên laïi caùch nhieät (thieát laäp laïi haïn cheá). Ta seõ khoâng theå thieát laäp laïi traïng thaùi ñaàu tieân laø caùc heä A vaø A’ coù nhieät ñoä khaùc nhau ñöôïc. Vaäy quaù trình truyeàn nhieät ban ñaàu laø moät quaù trình baát thuaän nghòch. Chuù yù raèng quaù trình thuaän nghòch laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät, coøn haàu heát caùc quaù trình trong töï nhieân ñeàu laø quaù trình baát thuaän nghòch, töùc laø thoâng thöôøng ta seõ coù: Ωf > Ωi . Nhö vaäy, veà phöông dieän vó moâ, neáu goïi ΔS∗ laø ñoä bieán thieân cuûa entropi vi chính taéc cuûa moät quaù trình, thì ta coù theå phaùt bieåu raèng: Nhöõng quaù trình maø ta thöôøng gaëp laø nhöõng quaù trình coù entropi taêng ΔS > 0. Coøn quaù trình töông öùng vôùi ΔS = 0 laø quaù trình thuaän nghòch.
38. BAØI TAÄP BT II.1 Haõy chöùng minh tröïc tieáp ñònh lyù Liouville (khoâng duøng ñònh lyù Gauss-Ostragradski) baèng caùch xem chuyeån ñoäng cuûa caùc ñieåm pha theo thôøi gian trong khoâng gian pha nhö laø chuyeån ñoäng cuûa moät chaát loûng qua moät theå tích nguyeân toá coá ñònh coù daïng hình hoäp. BT II.2 Chöùng minh raèng entropi vi chính taéc laø moät ñaïi löôïng coäng tính. BT II.3 Xeùt moät khoái khí coù theå tích V, goàm N phaân töû maø theá naêng töông taùc khoâng ñaùng keå ñoái vôùi ñoäng naêng, chuyeån ñoäng theo qui luaät cuûa cô hoïc coå ñieån vaø coù naêng löôïng phaân boá trong khoaûng (0, E). 1/ Xeùt tröôøng hôïp moät phaân töû. Tính soá traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa phaân töû naøy. 2/ Suy ra soá traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa N phaân töû cuûa khoái khí. 3/ Thieát laäp coâng thöùc tính naêng löôïng E cuûa khoái khí theo N vaø theo nhieät ñoä vi chính taéc T∗ . Suy ra daïng cuûa phöông trình traïng thaùi f(p∗,V,T∗) = 0, trong ñoù, p∗ laø aùp suaát vi chính taéc cuûa heä. BT II.4 1/ Chöùng minh raèng nhieät ñoä vi chính taéc cuûa moät heä laø moät ñaïi löôïng döông: T∗ > 0. 2/ Chöùng minh raèng khi hai heä S 1 vaø S 2 tieáp xuùc nhieät thì nhieät löôïng luoân ñöôïc haáp thuï bôûi heä coù nhieät ñoä vi chính taéc nhoû hôn vaø ñöôïc phaùt ra bôûi heä coù nhieät ñoä vi chính taéc cao hôn. BT II.5 Xeùt hai heä töông taùc nhau ôû tröôøng hôïp toång quaùt (trao ñoåi nhieät löôïng, trao ñoåi theå tích, vaø trao ñoåi soá haït). Haõy xaùc ñònh chieàu trao ñoåi cuûa theå tích vaø soá haït khi hai heä tieán ñeán traïng thaùi caân baèng.
39. VAÁN ÑEÀ II.A Heä coù nhieät ñoä tuyeät ñoái aâm ∧ 1 Bieát raèng moät electron coù traïng thaùi löôïng töû xaùc ñònh bôûi vectô x, y,z,S2 ,S , vôùi S = , vaø z 2 1 ∧ ∧ S = ± . Trong tröôøng theá xuyeân taâm, vectô traïng thaùi naøy laø Hˆ ,L2,L ,S2,S hoaëc n,l, m,S, m vôùi n, l, m, z 2 z z s S vaø ms laàn löôït laø soá löôïng töû chính, soá löôïng töû quó ñaïo, soá löôïng töû töø, soá löôïng töû spin vaø soá löôïng töû moâmen 2 töø spin. Moãi möùc naêng löôïng En coù baäc suy bieán baèng gn = 2n . Neáu ta chæ chuù yù ñeán soá baäc töï do spin thì moãi 1 1 1 1 electron seõ ñaëc tröng bôûi moät trong hai traïng thaùi S, ms baèng , hoaëc ,− , maø ta seõ kí hieäu ngaén goïn 2 2 2 2 laø + hoaëc − , töông öùng vôùi caùc naêng löôïng xaùc ñònh ε+ = −μB , vaø ε− = μB neáu ta xeùt heä N spin ñaët trong r töø tröôøng ñeàu coù caûm öùng töø B . N r r r r (Caùc giaù trò ε+ vaø ε– tính töø haøm Hamilton : H = −∑μi B , vôùi μi = γSi laø moment töø cuûa spin Si). i=1 Giaû söû raèng heä N spin ôû traïng thaùi phaân boá vi chính taéc. 1/ Haõy tính naêng löôïng toaøn phaàn E cuûa heä. Suy ra soá n+ vaø n– cuûa nhöõng spin + vaø − . 2/ Tính soá traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa heä ñeå suy ra caùc giaù trò cuûa entropi vi chính taéc S∗ vaø nhieät ñoä vi chính taéc T∗ cuûa heä. 1 3/ Veõ ñöôøng bieåu dieãn söï bieán thieân cuûa entropi S∗ cuõng nhö cuûa vaø T∗ theo ñôn vò naêng löôïng ruùt T∗ E goïn . NμB Suy ra raèng heä coù theå coù nhieät ñoä tuyeät ñoái aâm: T∗ < 0 trong ñieàu kieän xaùc ñònh.
40. Chöông III PHAÂN BOÁ CHÍNH TAÉC - ÖÙNG DUÏNG III.A Heä caân baèng vôùi heä ñieàu nhieät III.B Giôùi haïn nhieät ñoäng löïc III.C ÖÙng duïng cho heä coå ñieån III.D ÖÙng duïng cho heä löôïng töû III.A Heä caân baèng vôùi heä ñieàu nhieät III.A.1 Khaùi nieäm heä ñieàu nhieät Xeùt moät heä vaät lyù S coù naêng löôïng E, S ñöôïc tieáp xuùc nhieät vôùi heä τ coù naêng löôïng Eτ . Giaû söû heä τ raát lôùn so vôùi heä S, töùc laø: Eτ >> E. Do ñieàu kieän naøy, khi ôû traïng thaùi caân baèng nhieät, E thay ñoåi ñaùng keå trong khi traïng thaùi vó moâ cuûaτ haàu nhö khoâng ñoåi. Heäτ ñöôïc goïi laø heä ñieàu nhieät cuûa heä S. Khi S ôû traïng thaùi caân baèng vôùi τ, ta noùi raèng S ôû phaân boá chính taéc vaø caùc heä töông töï vôùi S taïo thaønh taäp hôïp thoáng keâ goïi laø taäp hôïp chính taéc. Veà maët ñònh löôïng, ñeå coù ñieàu kieän cho heäτ laø heä ñieàu nhieät, ta nhaän xeùt raèng heä toång hôïp S ∪τ laø heä coâ laäp, coù naêng löôïng toång coäng laø: Etc = Eτ + E. Theo ñònh nghóa, nhieät ñoä vi chính taéc cuûa heä τ laø: 1 ∂S∗ = τ ∗ Tτ ∂Eτ Eτ =Etc −E ∗ ∗ Vaäy, ñaàu tieân thì Tτ phuï thuoäc E. Nhöng neáu τ laø heä ñieàu nhieät thì ta phaûi coù Tτ ñoäc laäp ñoái vôùi E. ∗ ∂Sτ Ta duøng coâng thöùc khai trieån Taylor cuûa haøm (Eτ ) taïi ñieåm Eτ = Etc : ∂Eτ ∂S∗ ∂S∗ ∂2S∗ τ (E ) = τ (E ) + (E − E ) τ + τ tc τ tc 2 ∂Eτ ∂Eτ ∂Eτ Eτ =E tc ∂S∗ ∂2S∗ = τ (E ) − E τ + tc 2 ∂Eτ ∂Eτ Eτ =E tc ∂S∗ 1 Töø ñoù, ta suy ra raèng ñieàu kieän ñònh löôïng ñeå τ = khoâng phuï thuoäc naêng löôïng E cuûa heä , ∗ S ∂Eτ Tτ töùc laø ñeå heäτ laø heä ñieàu nhieät, laø: ∂2S∗ ∂S∗ E τ << τ . (III.1) 2 ∂Eτ ∂Eτ Etc Etc Ta goïi nhieät ñoä chính taéc T cuûa heä S caân baèng vôùi heä ñieàu nhieät τ laø nhieät ñoä vi chính taéc cuûa τ:
41. (III.2) T = T∗ τ ∗ Khi naøy, nhieät ñoä T cuûa S laø tham soá ngoaïi (vì bò aùp ñaët töø nhieät ñoä vi chính taéc Tτ cuûa heäτ ), vaø naêng löôïng E cuûa heä S laø bieán soá noäi. (Trong khi ôû phaân boá vi chính taéc cho heä coâ laäp, naêng löôïng vaø nhieät ñoä ñeàu laø tham soá ngoaïi). III.A.2 Thöøa soá Boltzmann trong phaân boá chính taéc Xeùt heä S caân baèng nhieät vôùi heä ñieàu nhieät τ, töùc laø ñieàu kieän (III.1) ñöôïc thoûa. Goïi (l) laø moät traïng thaùi vi moâ cuûa S, coù naêng löôïng E l . Neáu goïi Etc laø naêng löôïng (vôùi ñoä gaàn ñuùng δE) cuûa heä toång hôïp S ∪τ , thì naêng luôïng cuûa heäτ laø Eτ phaûi thoûa: E + E = E , (III.3) l τ tc Vì heä toång hôïp S ∪τ laø heä coâ laäp neân ta coù theå aùp duïng tieân ñeà cô baûn cuûa cô hoïc thoáng keâ: caùc traïng thaùi vi moâ khaû dó cuûa S ∪τ laø ñoàng xaùc suaát. Xaùc suaát Pl ñeå S ôû traïng thaùi (l) seõ baèng soá traïng thaùi cuûa S ∪τ ñeå S ôû traïng thaùi naøy (soá bieán coá thuaän lôïi) chia cho toång soá nhöõng traïng thaùi cuûa S ∪τ (soá bieán coá toång coäng) laø Ωtc. Nhöng vì khi S ôû traïng thaùi (l) thì τ ôû traïng thaùi coù naêng löôïng E = E − E , neân τ tc l Ω P = τ , (III.4) l Ωtc vôùi Ωτ laø soá traïng thaùi cuûaτ (baèng soá traïng thaùi cuûa S ∪τ khi S ôû traïng thaùi (l)). Vì Ωtc = const neân ta coù theå vieát: P = CΩ (E = E − E ) . (III.6) l τ τ tc l ∗ Vì theo ñònh nghóa, entropi vi chính taéc cuûa τ laø Sτ = k ln Ωτ , neân ta coù: S∗ P = Cexp( τ ) . l k ∗ Ta duøng coâng thöùc khai trieån Taylor cuûa haøm Sτ (Eτ ) quanh ñieåm Etc : ∂S∗ 1 ∂2S∗ S∗ (E ) = S∗ (E ) + (E − E ) τ + (E − E )2. τ + Vôùi ñieàu kieän (III.1), ta thaáy chæ caàn τ τ τ tc τ tc τ tc 2 ∂Eτ 2 ∂Eτ Etc Etc ∂S∗ 1 1 giöõ laïi hai soá haïng ñaàu trong heä thöùc treân vaø vì E − E = −E , τ = = , ta coù τ tc l ∗ ∂Eτ Tτ T Etc E S∗ (E ) = S∗ (E ) − l . τ τ τ tc T Vaäy S∗(E ) E P = Cexp( τ tc − l ) . l k kT Cuoái cuøng, ta coù coâng thöùc tính xaùc suaát ñeå heä S ä ôû traïng thaùi (l) coù naêng löôïng E l: 1 −E kT 1 −βE P = .e l = e l (III.7) l Ζ Ζ
42. 1 Ñaïi löôïng kT = ñöôïc goïi laø naêng löôïng ñaëc tröng vaø Z goïi laø haøm toång thoáng keâ, ñöôïc tính theo β ñieàu kieän chuaån hoùa P = 1: ∑ l (l) − E / kT − β E . (III.8) Ζ = e l = e l ∑ ∑ ( ) ( ) l l Phaân boá thoáng keâ ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc (III.7) ñöôïc goïi laø phaân boá chính taéc. −E / kT Soá haïng e l ñöôïc goïi laø thöøa soá Boltzmann cuûa phaân boá chính taéc. III.A.3 Phaân boá thoáng keâ cuûa naêng löôïng Trong phaân boá chính taéc, nhieät ñoä cuûa heä laø tham soá ngoaïi (aán ñònh bôûi nhieät ñoä cuûa heä ñieàu nhieät), trong khi naêng löôïng cuûa heä töï do bieán thieân; ñoù laø bieán soá noäi. Sau ñaây, ta seõ xeùt söï phaân boá thoáng keâ cuûa ñaïi löôïng quan troïng naøy. a) Tröôøng hôïp toång quaùt Moãi möùc naêng löôïng El cuûa heä coù theå suy bieán. Ta goïi g(El) laø baäc suy bieán cuûa El. Vaäy, trong tröôøng hôïp toång quaùt, xaùc suaát ñeå heä coù naêng löôïng El phaûi ñöôïc nhaân leân bôûi thöøa soá g(El): 1 −E kT P(E ) = g(E ) e l , (III.9) l l Z vaø haøm toång thoáng keâ ñöôïc tính: −βE Z = g(E )e l ∑ l E l Giaù trò trung bình cuûa naêng löôïng ñöôïc tính bôûi: 1 −βE E = ∑∑E .P = E e l (III.11a) l l Z l ()ll) ( 1 −βE = E .P(E ) = E .g(E )e l (III.11b) ∑∑l l l l EEZ ll b) Tröôøng hôïp xaáp xæ lieân tuïc cuûa naêng löôïng Ta xeùt tröôøng hôïp naêng löôïng bieán thieân lieân tuïc. Ñieàu kieän ñeå pheùp tính gaàn ñuùng naøy ñöôïc thöïc hieän laø: caùc möùc naêng löôïng phaân boá raát saùt nhau sao cho trong khoaûng naêng löôïng δE coù moät soá raát lôùn caùc möùc, ñoàng thôøi, haøm f(El) ñeå laáy toång phaûi bieán thieân raát chaäm sao cho ta coù f(E l) ≅ f(E). Khi naøy, neáu goïi w(E) laø maät ñoä xaùc suaát thì xaùc suaát ñeå heä coù naêng luôïng trong khoaûng E vaø E+dE laø dP(E) = w(E)dE . (III.12a) Maët khaùc, neáu goïi ρ(E) laø maät ñoä traïng thaùi thì soá traïng thaùi coù naêng löôïng trong khoaûng E vaø 1 E+dE laø ρ(E)dE. Vì xaùc suaát ñeå coù moät traïng thaùi naøy laø e−βE neân Z 1 dP(E) = e−βEρ(E)dE . (III.12b) Z So saùnh (III.12a) vaø (III.12b), ta coù 1 w(E) = e−βEρ(E) . (III.13) Z
43. +∞ Do ñieàu kieän chuaån hoùa ∫ dP(E) = 1 (E0 laø möùc naêng löôïng cô baûn cuûa heä, coù nghóa laø giaù trò E0 naêng löôïng thaáp nhaát), töø (III.12b), ta coù: +∞ Z = ∫ e−βEρ(E)dE (III.14) E0 Trong khoâng gian pha, neáu soá baäc töï do cuûa heä laø f, thì soá traïng thaùi coù naêng löôïng trong khoaûng E vaø E+dE laø dqrdpr ρ(E)dE = , f (2πh) f f r r vôùi dq = ∏ dqi , dp = ∏ dpi i=1 i=1 Vaäy 1 1 dP(E) = e−βE dqrdpr . (III.15a) f Z ()2πh Vaø ta coù coâng thöùc tính haøm toång thoáng keâ: 1 +∞ Z = ∫ e−βEdqrdpr . (III.15b) (2π )f h E0 Giaù trò trung bình cuûa naêng löôïng khi ñaïi löôïng naøy phaân boá lieân tuïc ñöôïc tính, töø tröôøng hôïp phaân boá giaùn ñoaïn: +∞ +∞ E = E P ∑ l l → ∫ EdP(E) = ∫ Ew(E)dE . (l) E0 E0 1 +∞ E = Ee−βEρ(E)dE . (III.16) Z ∫ E0 Hay 1 1 +∞ E = ∫ Ee−βEdqrdpr . (III.17) Z (2π )f h E0 III.A.4 Caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cho heä chính taéc • Ta thöôøng duøng heä thöùc toaùn töû sau: ∂ ∂ . (III.18) β = −T ∂β ∂T • Naêng luôïng töï do cuûa heä ñöôïc ñònh nghóa bôûi: F = −kTln Z (III.19) • Ta coù: −βE −βE ∂ ln Z (Z)'β ∑ (−E )e l Z = ∑ Ee l ⇒ = = l = −E ∂β Z Z (l) ∂ ⇒ E = − (ln Z ) . (III.20) ∂β
44. • Ta ñònh nghóa nhieät dung ñaúng tích: ∂E C V = (vôùi V, N, = const) (III.21a) ∂T vaø nhieät dung rieâng ñaúng tích: 1 ∂E C V = , (III.21b) n ∂T N vôùi n = laø soá mol cuûa heä. N A • Ta coù theå chöùng minh ñöôïc coâng thöùc cuûa entropi chính taéc: ∂ F . (III.22) S = − ∂T • AÙp suaát chính taéc cuûa heä ñöôïc ñònh nghóa bôûi: ∂F p = − , (III.23) ∂V vaø theá hoùa hoïc chính taéc: ∂F μ = + ∂ N . (III.24) III.B Giôùi haïn nhieät ñoäng löïc III.B.1 Khaùi nieäm giôùi haïn nhieät ñoäng löïc Ta noùi raèng moät heä vó moâ ñaït ñeán giôùi haïn nhieät ñoäng löïc khi kích thöôùc heä ñuû lôùn ñeå nhöõng thaêng giaùng thoáng keâ cuûa caùc bieán soá noäi laø khoâng ñaùng keå. Khi naøy, moãi bieán soá noäi chæ nhaän moät giaù trò duy nhaát (laø giaù trò trung bình vaø cuõng laø giaù trò caùi nhieân nhaát, vì ñoä leäch giöõa hai ñaïi löôïng naøy trôû neân khoâng ñaùng keå, nhö ta seõ thaáy döôùi ñaây). Heä vó moâ ôû giôùi haïn nhieät ñoäng löïc ñöôïc goïi laø heä nhieät ñoäng löïc. III.B.2 Phaân boá chính taéc ôû giôùi haïn nhieät ñoäng löïc Ta coù coâng thöùc tính maät ñoä xaùc suaát (III.13): 1 w(E) = e −βEρ(E) Z vôùi ρ(E) laø maät ñoä traïng thaùi, neân soá traïng thaùi vi moâ khaû dó laø: Ω = ρ ( E )dE ⇒ ln Ω = lnρ(E) + ln(dE) ≅ lnρ(E) ⇒ S∗ = k ln Ω = k lnρ . (III.25) S∗(E) ln w(E) = lnρ(E) − βE − ln Z = − βE − ln Z . (III.26) Z
45. Ta goïi Em laø giaù trò caùi nhieân nhaát: ∂ ln w ( E ) 1 ∂S ∗ 1 = 0 = − β = − β ∂E k ∂E kT ∗ ( E ) E tc m ∗ ⇒ T ( E m ) = T Töùc laø moät heä vó moâ caân baèng vôùi heä ñieàu nhieät thì giaù trò caùi nhieân nhaát Em cuûa naêng löôïng laø giaù trò laøm cho heä naøy coù nhieät ñoä vi chính taéc baèng nhieät ñoä cuûa heä ñieàu nhieät. Ta duøng coâng thöùc khai trieån Taylor cuûa haøm lnw(E) quanh giaù trò cuûa Em vaø chæ giöõ laïi ba soá haïng ñaàu: ∂w 1 ∂2w ln w(E) = ln w(E ) + (E − E ) + (E − E )2 m m m 2 ∂E E 2 ∂E m Em ∂w Vì = 0 , vaø ñaët: ∂E E m ∂ 2 w 1 ∂ 2S ∗ 1 = = − ∂E 2 k ∂E 2 ( Δ E ) 2 E m E m ∂ 2 w (vì lnw coù cöïc ñaïi taïi Em neân < 0 ), ∂E 2 ta coù 2 (E − Em ) ln w(E) = ln w(Em ) − 2(ΔE)2 ⎡ (E − E )2 ⎤ ⇒ w(E) = w(E ) exp − m . (III.27) m ⎢ 2 ⎥ ⎣⎢ 2(ΔE) ⎦⎥ Töø ñieàu kieän chuaån hoùa +∞ ∫ w(E)dE = 1, −∞ ta coù +∞ ⎡ (E − E )2 ⎤ w(E ) exp − m dE = 1 m ∫ ⎢ 2 ⎥ −∞ ⎣⎢ 2(ΔE) ⎦⎥ Do tích phaân Poisson +∞ ⎡ (E − E )2 ⎤ exp − m dE = 2π(ΔE)2 , ∫ ⎢ 2 ⎥ −∞ ⎣⎢ 2(ΔE) ⎦⎥ ta suy ra: 1 w(Em ) = . (III.28) 2π(ΔE)2 Maët khaùc, ta coù, töø coâng thöùc (III.26) S∗ (E ) ln w (E ) = m − βE − ln Z , m k m töùc laø
46. ∗ 1 ⎡S (Em ) ⎤ w(Em ) = exp⎢ − βEm ⎥ , (III.29) Z ⎣⎢ k ⎦⎥ So saùnh vôùi (III.28), ta coù ñöôïc: ∗ 2 ⎡S (Em ) ⎤ Z = 2π(ΔE) .exp⎢ − βEm ⎥ , (III.30) ⎣⎢ k ⎦⎥ vôùi 1 1 ∂2S∗ = − . (III.31) (ΔE)2 k ∂E2 Keát luaän: • Heä thöùc (III.27) chöùng toû raèng maät ñoä xaùc suaát bieán thieân theo naêng löôïng theo daïng phaân boá Gauss, taïi giaù trò Em . • Vì naêng löôïng E vaø entropi S ñeàu taêng tyû leä vôùi soá haït N cuûa heä neân töø (III.31), ta thaáy (ΔE)2 bieán thieân nhö soá haït N. Vaäy: ΔE 1 ∝ . (III.32) Em N Töùc laø phaân boá coù sai soá töông ñoái raát nhoû khi soá haït N cuûa heä laø raát lôùn. III.B.3 Söï töông ñöông giöõa caùc phaân boá ôû giôùi haïn nhieät ñoäng löïc Töø coâng thöùc tính naêng löôïng töï do: F = −kT ln Z , ta coù ∗ ⎡S (Em ) 1 2 ⎤ F = −kT⎢ − βEm − ln 2π(ΔE) ⎥ . ⎣⎢ k Z ⎦⎥ ∗ Vì Em vaø S ñeàu tyû leä vôùi N, trong khi soá haïng cuoái tyû leä chæ vôùi lnN, neân khi N raát lôùn (giôùi haïn nhieät ñoäng löïc), ta coù ñöôïc ∗ F = Em − TS (Em ) . ∂F Töø coâng thöùc tính entropi S = − (III.22), ta cuõng suy ra ñöôïc raèng: ∂T k S = S∗(E ) + ln 2π(ΔE)2 . m 2 Vaø nhö vaäy, ôû giôùi haïn nhieät ñoäng löïc: ∗ S = S (Em ) Ta cuõng ñaõ coù: ∗ T = T (Em ) . Vaø töông töï, ta cuõng chöùng minh ñöôïc cho aùp suaát vaø theá hoùa hoïc : ∗ p = p (Em ) , ∗ μ = μ (Em ) . Keát luaän: Ñoái vôùi heä vó moâ (coù soá baäc töï do hay soá haït raát lôùn) ôû traïng thaùi caân baèng, caùc phaân boá vi chính taéc vaø phaân boá chính taéc laø töông ñöông: caùc ñaïi löôïng vi chính taéc ñoàng nhaát vôùi caùc ñaïi
47. luôïng chính taéc (nhö nhieät ñoä, entropi, naêng löôïng töï do, aùp suaát, theá hoùa hoïc, ), vaø ñöôïc goïi laø caùc ñaïi löôïng nhieät ñoäng löïc. Caàn chuù yù raèng keát luaän treân chæ ñuùng ñoái vôùi heä nhieät ñoäng löïc ôû traïng thaùi caân baèng. Neáu ta coù moät heä ñaàu tieân khoâng ôû traïng thaùi caân baèng thì heä seõ tieán hoùa khaùc nhau tuøy theo tröôøng hôïp ta ñeå heä coâ laäp hoaëc ñeå heä töông taùc nhieät vôùi moät heä ñieàu nhieät. III.C ÖÙng duïng cho heä coå ñieån Moät caùch toång quaùt, thay vì duøng cô hoïc löôïng töû ta coù theå söû duïng cô hoïc coå ñieån ñeå giaûi quyeát h baøi toaùn lieân quan ñeán tính chaát vi moâ cuûa heä vôùi ñoä chính xaùc khaù cao neáu haèng soá cô baûn = coù h 2π ñoä lôùn khoâng ñaùng keå ñoái vôùi nhöõng ñaïi löôïng vaät lyù (cuøng ñôn vò) cuûa heä vaät lyù ñang xeùt. Ví duï nhö ñoái vôùi chuyeån ñoäng cuûa haït, cô hoïc coå ñieån coù theå söû duïng neáu caùc ñoä baát ñònh thöïc nghieäm cuûa toïa ñoä δx vaø cuûa ñoäng löôïng δpx thoûa ñieàu kieän: δxδpx >> h . Hoaëc laø ñoái vôùi dao ñoäng töû ñieàu hoøa coù taàn soá goùc ω vaø ñöôïc giöõ ôû nhieät ñoä T, phöông phaùp cô hoïc coå ñieån laø thích hôïp neáu ta coù : kT >> hω . III.C.1 Haøm toång thoáng keâ coå ñieån a) Tröôøng hôïp heä haït phaân bieät ñöôïc 1 Z = e−βEdqrdpr , (III.33) f ∫ (2πh) f f r r vôùi f laø soá baäc töï do cuûa heä, vaø dq = ∏ dqi , dp = ∏ dpi . i=1 i=1 b) Tröôøng hôïp heä haït khoâng phaân bieät ñöôïc Vì khi hai haït giao hoaùn nhau, ta vaãn chæ coù moät traïng thaùi trong khi trong khoâng gian pha, ta vaãn coù hai theå tích nguyeân toá , (soá oâ) khaùc nhau, neân soá traïng thaùi thaät söï phaûi baèng soá theå tích naøy chia cho 2. Vaäy, ñoái vôùi heä coù N haït, soá traïng thaùi vi moâ thaät söï seõ baèng soá theå tích nguyeân toá chia cho N!, laø soá laàn hoaùn vò cuûa N haït : 1 1 −βE r r Z = ∫ e d q d p . (III.34) (2π )3N N! h III.C.2 Phaân boá Maxwell Xeùt moät chaát khí lyù töôûng goàm nhöõng phaân töû ñôn nguyeân töû coù nhieät ñoä T vaø theå tích V. Ta xeùt moät phaân töû xaùc ñònh vaø aùp duïng phaân boá chính taéc coå ñieån cho phaân töû naøy, caùc phaân töû coøn laïi xem nhö ñoùng vai troø cuûa heä ñieàu nhieät ôû nhieät ñoä T. Vì laø heä khí lyù töôûng neân naêng löôïng cuûa phaân töû ñôn thuaàn laø ñoäng naêng: p2 E = . 2m
48. Xaùc suaát P(r, pr)drdpr ñeå phaân töû coù vò trí trong khoaûng r vaø r + dr vaø coù ñoäng löôïng trong khoaûng drdpr 2 pr vaø pr + dpr baèng soá “oâ” trong khoâng gian pha nhaân vôùi xaùc suaát e − β p 2 m ñeå phaân töû ôû 3 (2πh) trong “oâ” naøy : 2 drdpr P(r, pr )drdpr ∝ e −βp 2 m . 3 (2πh) Vaäy xaùc suaát P(pr)dpr ñeå phaân töû coù ñoäng löôïng trong khoaûng pr vaø pr + dpr ñöôïc tính: 2 P(pr)dpr = ∫ P(r, pr)drdpr ∝ e −βp 2m . V Töø ñoù, ta coù theå tính xaùc suaát P'(vr)dvr ñeå vaän toác cuûa phaân töû ôû trong khoaûng vr vaø vr + dvr laø: 2 P' (vr )dvr = Ce −βmv 2dvr . (III.35) Keát quaû treân ñöôïc goïi laø phaân boá Maxwell cuûa vaän toác phaân töû khí lyù töôûng ñôn nguyeân töû. (C laø haèng soá ñöôïc tính bôûi ñieàu kieän chuaån hoùa ). III.C.3 Ñònh lí phaân boá ñeàu Trong cô hoïc thoáng keâ coå ñieån, naêng löôïng cuûa moät heä vaät lyù laø haøm cuûa f toïa ñoä suy roäng q1, q2, , qf vaø cuûa f ñoäng löôïng suy roäng p1, p2, , pf : E = E(q1 , q 2 , , q f , p1, p 2 , , p f ) (III.36) Thoâng thöôøng, ta coù theå coù hai ñieàu kieän sau ñöôïc thoûa: i) Naêng löôïng toaøn phaàn ñöôïc phaân laøm hai phaàn: E = ε i (p i ) + E' (q1 , q 2 , , q f , p1 , p 2 , , p i −1 , p i +1 , , p f ) , (III.37a) trong ñoù εi chæ phuï thuoäc pi vaø phaàn coøn laïi E’ khoâng phuï thuoäc pi . ii) Haøm εi coù daïng toaøn phöông theo thaønh phaàn pi cuûa ñoäng löôïng: 2 ε i (p i ) = bp i , vôùi b = const. (III.37b) Tröôøng hôïp ta thöôøng gaëp laø εi(pi) laø ñoäng naêng, chæ phuï thuoäc moãi thaønh phaàn cuûa ñoäng löôïng, trong khi theá naêng khoâng phuï thuoäc ñoäng löôïng. Sau ñaây, ta seõ tính giaù trò trung bình cuûa εi khi heä ôû traïng thaùi caân baèng nhieät. -1 Khi heä caân baèng ôû nhieät ñoä T = (kβ) , heä ôû traïng thaùi phaân boá chính taéc, giaù trò trung bình cuûa εi ñöôïc tính theo caùc tích phaân trong toaøn boä khoâng gian pha: +∞ −βE ∫ e εidq 1 dp f ε = − ∞ . (III.38) i + ∞ −βE ∫ e dq 1 dp f − ∞ Neáu ñieàu kieän i) ñöôïc thoûa, ta coù: +∞ +∞ +∞ −β(εi + E') −βεi −βE' ∫ e εi.dq1 dpf ∫∫e εi.dpi. e dq1 dpf ε = −∞ = −∞ −∞ , i +∞ +∞ +∞ −β(εi + E') −βεi −βE' ∫ e dq1 dpf ∫∫e dpi. e dq1 dpf −∞ −∞ −∞ trong ñoù, caùc tích phaân thöù nhì ôû töû soá vaø maãu soá khoâng ñöôïc tính theo bieán pi, nhö vaäy, caùc tích phaân naøy gioáng nhau vaø ta coù theå ñôn giaûn ñeå coù
49. +∞ ∂ ⎛ +∞ ⎞ −βεi ⎜ e−βεi dp ⎟ ∫ e εi.dpi − ∫ i ∂β ⎜ ⎟ ∂ ⎛ +∞ ⎞ ε = −∞ = ⎝ −∞ ⎠ = − ln⎜ e−βεi dp ⎟ i +∞ +∞ ∂β ⎜ ∫ i ⎟ −βεi −βεi ⎝ −∞ ⎠ ∫ e dpi ∫ e dpi −∞ −∞ Khi ñieàu kieän ii) ñöôïc thoûa: +∞ +∞ 2 −1 +∞ 2 −βε i −βbp i 2 − by ∫ e εi .dp i = ∫∫e dp i = β e dy , − ∞ − ∞ − ∞ 1 2 vôùi bieán phuï y = β pi . Vaäy +∞ ∂ ⎡ 1 −by2 ⎤ 1 εi = − ⎢− lnβ + ln ∫ e dy⎥ = , ∂β ⎣⎢ 2 −∞ ⎦⎥ 2β vì soá haïng thöù nhì trong toång ñeå laáy ñaïo haøm khoâng phuï thuoäc β. Cuoái cuøng, ta coù 1 ε = kT i 2 . (III.39) 1 Töùc laø giaù trò trung bình cuûa moãi soá haïng toaøn phöông ñoäc laäp cuûa naêng löôïng laø baèng kT . 2 Keát quaû quan troïng treân ñöôïc goïi laø ñònh lí phaân boá ñeàu trong cô hoïc thoáng keâ coå ñieån. Chuù thích: Neáu thay vì heä thöùc (III.37a) cho ñoäng löôïng pi, ta laïi coù ñieàu kieän cho toïa ñoä qi nhö sau E = εi (qi ) + E'(q1,q2 , ,qi−1,qi+1, ,qf ,p1,p2 , , pf ) . (III.40a) vaø 2 εi (q i ) = bq i , (III.40b) thì baèng caùch tính töông töï, ta cuõng coù keát quaû sau: 1 ε = kT . i 2 Caàn chuù yù raèng ñònh lí phaân boá ñeàu chæ ñuùng trong giôùi haïn coå ñieån, töùc laø khi giaù trò trung bình cuûa khoaûng caùch giöõa caùc möùc naêng löôïng chung quanh giaù trò trung bình E laø raát nhoû ñoái vôùi naêng löôïng ñaëc tröng : ΔE << kT , töùc laø khi nhieät ñoä ñuû cao. Coøn khi nhieät ñoä T cuûa heä chæ cho ta : ΔE ≥ kT , ta khoâng theå söû duïng ñònh lí phaân boá ñeàu ñöôïc nöõa. ÖÙNG DUÏNG: a) Xeùt moät phaân töû cuûa moät khoái khí ( khoâng nhaát thieát laø khí lí töôûng ) ôû nhieät ñoä T. Neáu phaân töû naøy coù khoái löôïng m vaø khoái taâm coù ñoäng löôïng pr = mvr , vôùi vr laø vaän toác cuûa khoái taâm, ñoäng naêng cuûa phaân töû naøy laø: 1 K = ()p2 + p2 + p2 . 2m x y z Chuù yù raèng ñoäng naêng cuûa caùc phaân töû khaùc, theá naêng töông taùc giöõa caùc phaân töû, vaø caû noäi naêng do chuyeån ñoäng noäi taïi trong phaân töû (nhö dao ñoäng vaø chuyeån ñoäng quay, neáu laø phaân töû ña nguyeân 2 töû), ñeàu khoâng phuï thuoäc moãi thaønh phaàn pi . Vì vaäy, ta coù theå aùp duïng ñònh lí phaân boá ñeàu cho moãi thaønh phaàn cuûa ñoäng naêng, töùc laø