Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II

210 trang huongle 9610

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

kinh_nghiem_giai_toan_tren_may_tinh_casio_ii.pdf

Nội dung text: Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II

HOÀNG HỒ NAM (chủ biên) Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II In bản lần hai Phiên bản: 93.11.2 Năm học: 202011111111 2200112012201 222
Thân chào các bạn đọc! Với cuốn sách “ Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II ” phát hành vào năm 2009 đã nhận được rất phản hồi từ các bạn đọc. Tuy kiến thức nằm trong chương trình THCS nhưng nó cũng được các bạn THPT quan tâm, vì tài liệu trình bày nhiều phương pháp, thuật toán áp dụng vào được kiến thức THPT. Trong phiên bản cũ 93.09.1 đã có khá nhiều lỗi sai được phản hồi. Đặc biệt trong đó có 2 bài giải sai trầm trọng là bài 4.4.1 và 4.7.8. Ngoài ra, có một số dạng bài không thích hợp với môn học này. Phiên bản mới 93.11.2 tuy đã trễ nhưng tôi vẫn cố gắng hoàn thiện. Phiên bản 2 đã có một số cải tiến đáng kể, cập nhật thêm những phương pháp mới và một số dạng bài tập hay. Cập nhật thêm cách sử dụng chi tiết hai loại máy tính phổ biến nhất hiện nay là fx 570MS; fx 570ES và thêm các bài tập mở rộng khó. Để giúp bạn đọc dễ tiếp thu ngoài việc sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó, phiên bản mới còn chứng minh các công thức và nêu lên định nghĩa các định lý Bạn đọc hãy tự mình khám phá trong phiên bản mới này! Năm học 2012 – 2013, phương châm cho phiên bản mới 93.12.3 là “ Tính đúng, tính nhanh ” sẽ cập nhật thêm nhiều dạng bài tập mới hay, nhiều phương pháp tính toán và loại bỏ nhiều dạng bài tập không phù hợp trong phiên bản 93.1.2 Phiên bản mới này hứa hẹn đánh dấu bước nâng cao vượt bậc. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ bạn đọc gần xa. Chúc các bạn thành công trong cuộc sống và luôn luôn vui vẻ. Tác giả Hoàng Hồ Nam
PHẦN II HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY CASIO FX 570ms VÀ FX 570ES
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 1. CÁC CHỨC NĂNG CƠ BẢN Những quy ước mặc định: Các phím chữ màu trắng thì ấn trực tiếp . Các phím chữ màu vàng ấn sau phím: Các phím chữ màu đỏ ấn sau phím: I, CÁC PHÍM CHUNG TT Các chức năng Fx 570MS Fx 570ES 1 Mở máy . . 2 Tắt máy . . 3 Nhập từng chữ số Ngăn cách phần nguyên và 4 phần thập phân Các phép tính cộng, trừ, 5 nhân, chia và dấu bằng Mở ngoặc, đóng ngoặc . . . . 6 Dấu trừ của số âm . . Di chuyển con trỏ đến vị trí 7 qua lại trên màn hình để sữa chữa, thay thế 8 Xem lại các biểu thức đã tính . . . . 9 Xóa 1 kí tự vừa nhập . . . . 10 Xóa hết kí tự vừa nhập . . . . Những lưu ý: - Các dấu ngoặc cuối cùng của biểu thức có thể bỏ qua. - Các nhập một số và các phép tính thông thường: TT Nhập Fx 570MS Fx 570ES 2011 1 Phân số 2012 . . 9 2 Hỗn số 1993 3 . . 3 Tính 3×( 6 + 25 ) . . 4+ 8 4 Tính 5× 73 . . - Đối với máy fx 570MS một số biểu thức phức tạp cần thêm dấu “(“ Trang 5 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II II, PHÍM HÀM TT Các chức năng Fx 570MS Fx 570ES Tính giá trị sin, cos, tan của 1 góc. Giá trị ngược chỉ góc (Từ 0 0 , , , , đến 180 0) tướng ứng với sin, 2 cos, tan của nó. 3 Bình phương, lập phương . , . , 4 Mủ . . . . 5 Căn bậc hai, căn bậc ba , . , 6 Căn bậc x . . . . 7 Giai thừa x! = 1.2.3. . .(x-1).x . . . . 8 Ngịch đảo . . . . Chuyển ra dạng a ×10 n với n 9 giảm Chuyển ra dạng a×10 n với n 10 giảm 11 Giá trị tuyệt đối (Abs) . . Logarit thập thân, logarit tự 12 , , nhiên () 13 Logarit với cơ sô ba át kì () Không có . . Đổi tọa độ Đề Các ra tọa độ 14 có cực – Pol( () Đổi tọa độ có cực ra tọa độ 15 Đề Các– Rec( () 16 Lấy số ngẫu nhiên - RAN# . . . . Những lưu ý: - Các nhập một hàm thông thường: TT Nhập Fx 570MS Fx 570ES 1 Tính sin42° 24' 2 Tính 12 3 3 Tính 3 2012− 284 4 Tính 5 −30 + 365 5 Tính 1.2.3 2012 . 1 6 Tính . . 2012 - Cần thao tác nhiều để biết thứ tự ưu tiên các phép tính. Trang 6 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II III, PHÍM NHỚ TT Các chức năng Fx 570MS Fx 570ES 1 Biến nhớ Ans (Kết quả sau khi ấn tự động gán vào) 2 Các biến nhớ A, B, C M. , , Mặc định giá trị của biến là:0 3 Cộng thêm vào biến nhớ M . . . . 4 Trừ bớt ra ở biến số M . . . . 5 Xem giá trị biến nhớ (Biến . , . , A, B M) 6 Gán giá trị vào biến nhớ - STO (Ví dụ gán vào biến A). 7 Xóa giá trị biến nhớ . . . . Ví dụ tính: (10+× 11 12) ×( 13 + 14 ) Cách 1: Sử dụng biến nhớ Ans + Tính kết quả của (10+ 11 × 12) và tự động nó sẽ lưu vào biến Ans: + Tiếp theo ta sử dụng kết quả đó nhân tiếp với (13+ 14 ) : Cách 2: Sử dụng các biến nhớ A, B, C M + Tính kết quả của (10+ 11 × 12) và lưu vào biến A: + Tính kết quả của (13+ 14) và lưu vào biến B: + Tiếp theo ta lấy biến A nhân cho biến B: IV, CÁC MODE TÍNH TOÁN TT Chức năng MODE Tên MODE Fx 570MS Fx 570ES 1 Tính toán chung (Mặc định) COMP . . . . 2 Tính toán với số phức () CMPLX . . . . 3 Thống kê SD, STAT . . . . 4 Hồi quy () REG, STAT . . . . 5 Hệ đếm cơ số N () BASE N . . . . Giải phương trình bậc 2, bậc 3. 6 EQN Hệ phương trình bậc nhất 2, 3 ẩn. 7 Ma trận () MATRIX . . . 8 Toán vectơ () VECTOR . . . 9 Lập bảng số theo biểu thức TABLE Không có . . Trang 7 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II IV, CÀI ĐẶT MÁY TT Chức năng Tên Fx 570MS Fx 570ES Định dạng nhập/xuất (Math: Biểu thị MthIO Không có 1 giống SGK. Linear: Phân số, biểu thức hiện thị chung 1 dòng) LineIO Mặc định Deg (Độ) Tính toán với các đơn vị góc 2 Rad () (Mặc định ở đơn vị độ) Gra () Làm trịn 0~9 chữ số ở Fix 0~9? phần thập phân. Hiện thị 1~10 chữ số Sci 0~9? Ghi số x dưới dạng giới hạn ấn định: Dạng −2 10 -Norm 1: 10≤x < 10 Norm 3 hi ện -Norm 2: 10−9≤x < 10 10 1~2? th ị Ngoài giới hạn thì ghi bằng: a ×10 b Phân số Hỗn số (Mặc định) Mode 4 Hiện thị kết quả số phức () Không có CMPLX Mode 5 Hiện thị cột tần số trong thống kê Không có STAT Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân ở 6 kết quả bằng dấu “.” Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân ở 7 kết quả bằng dấu “,” 8 Chỉnh độ tương phàn màn hình Không có 9 Xóa các mode đã cài đặt 10 Xóa tất cả (Mode cài đặt, biến nhớ) Đổi phân số, hỗn số và số thập phân (Máy ở chế độ mặc định) TT Chức năng Fx 570MS Fx 570ES 1 Đổi qua lại hỗn số (phân số) và số thập phân 2 Đổi qua lại phân số và hỗn số Trang 8 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 2. CÁC CHỨC NĂNG NÂNG CAO I, THAO TÁC SỬA, XÓA BIỂU THỨC: Thông tin cần biết: Màn hình máy tính có khả năng nhận một biểu thức không quá 79 bước. Khi ta ấn một phím số hay một phím toán học thỉ con trỏ trên màn hình dịch chuyển một bước, ấn phím hay không dịch chuyển bước nào. Các biểu thức có độ dài hơn 79 bước cần tách ra các biểu thức nhỏ và thêm vào sử dụng các biến nhớ để tính toán. Sử dụng các phím để di chuyển con trỏ đến chỗ cần sữa hoặc thay thế: 1. Ấn phím dể xóa một kí tự hoặc hàm. 2. Ấn phím để chuyển con trỏ sang trạng thái thay thế. Để thoát khỏi chế độ chèn ta ấn phím hoặc ấn phím II, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2, 3 ẨN 1, Phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng:  a1x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2 Để giải ta cần vào mode EQN (Unknowns: 2) và nhập các hệ số a1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2. Quy trình thực hiện Fx 570MS Fx 570ES Bước 1: Vào EQN (Unknowns: 2) Bước 2: Nhập hệ số a1, b 1, c 1, a 2, a1 b1 c1 a2 b2 a1 b1 c1 a2 b2 b2, c 2 c2 c2 Bước 3: Xem nghiệm Dùng phím: Dùng phím: Chú ý: Máy báo lỗi “ Math ERROR ” là hệ có vô số cặp nghiệm hoặc vô nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình:  x + 2y = 3  x + 2y = 3 a,  b,  4x + 5y = 6 2x + 4y = 6 Câu Quy trình máy fx 570MS Quy trình máy fx 570ES Kết quả x = −1 a   y = 2 Vô số cặp b nghiệm thõa. 2, Phương trình bậc nhất 3 ẩn có dạng:  a1x + b1 y + c1z = d1  a2 x + b2 y + c2 z = d2  a3 x + b3 y + c3 z = d3 Để giải ta cần vào mode EQN (Unknowns: 3) và nhập các hệ số a1, b 1, c 1, d 1 a2, b 2, c 2, d 2, a 3, b3, c 3, d 3. Quy trình thực hiện Fx 570MS Fx 570ES Bước 1: Vào EQN (Unknowns: 2) Bước 2: Nhập hệ số a1, b 1, c 1, a 2, a1 b1 c1 d1 a1 b1 c1 d1 Trang 9 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II b2, c 2 a2 b2 c2 d2 a3 a2 b2 c2 d2 b3 c3 d3 a3 b3 c3 d3 Bước 3: Xem nghiệm Dùng phím: Dùng phím: Chú ý: Máy báo lỗi “ Math ERROR ” là hệ có vô số cặp nghiệm hoặc vô nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình: 1x + 2y + 3z = 4  2x + 3y + 4z = 5  5x + 6y + 3z = 4 Quy trình máy fx 570MS Quy trình máy fx 570ES Kết quả x = −1   y = 1   z = 1 III, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA 1, Phương trình bậc hai có dạng: a.x 2 + b.x + c = 0 Để giải ta cần vào mode EQN (Degree: 2) và nhập các hệ số a, b, c. Quy trình thực hiện Fx 570MS Fx 570ES Bước 1: Vào EQN (Degree: 2) Bước 2: Nhập hệ số a, b, c a b c a b c Bước 3: Xem nghiệm Dùng phím: Dùng phím: Chú ý: Trong chương trình THCS không học số phức. Nếu có nghiệm dạng a+bi, ta coi là không tồn tại nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình: a, x 2 − 3x + 2 = 0 b, x 2 + x +1 = 0 Câu Quy trình máy fx 570MS Quy trình máy fx 570ES Kết quả  x1 = 1 a  x2 = 2 b Vô nghiệm. 2, Phương trình bậc ba có dạng: a.x 3 + b.x 2 + c.x + d = 0 Để giải ta cần vào mode EQN (Degree: 3) và nhập các hệ số a, b, c, d. Quy trình thực hiện Fx 570MS Fx 570ES Bước 1: Vào EQN (Degree: 3) Bước 2: Nhập hệ số a, b, c a b c d a b c d Bước 3: Xem nghiệm Dùng phím: Dùng phím: Trang 10 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Chú ý: Trong chương trình THCS không học số phức. Nếu có nghiệm dạng a+bi, ta coi là không tồn tại nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình: x3 − 6x 2 +11x − 6 = 0 Quy trình máy fx 570MS Quy trình máy fx 570ES Kết quả  x1 = 1 x = 2  2  x 3 = 3 IV, THỐNG KÊ Xét bảng thông kê 5 biến lượng: Biến lượng x1 x2 x3 x4 x5 Tần số n1 n2 n3 n4 n5 Quy trình thực hiện Fx 570MS Fx 570ES Bước 1: Vào mode thống kê . . . . (Thêm x1 n1 x2 cột tầm số) x 1 x2 n2 x3 n3 Bước 2: Nhập số liệu vào máy x3 x4 x5 x4 n4 x5 n1 n2 n3 n5 n4 n5 Tổng bình phương các biến ∑ x 2 Tổng các biến ∑ x Tổng tần số (n) Trung bình x Bước 3: Độ lệch chuẩn χση Xuất kết Phương sai (Bình quả cần phương độ lệch chuẩn) tìm Độ lệch chuẩn hiệu chỉnh Phương sai hiệu chỉnh Giá trị lớn nhất của biến Không có lượng (max) Giá trị nhỏ nhất của Không có biến lượng (min) Chỉnh sửa số liệu Dùng phím hiệu chỉnh Trang 11 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Ví dụ: Cho mẫu số liệu dưới. Tính x và phương sai. Biến lượng 63 15 17 4 7 Tần số 14 5 9 1 2 Fx 570MS Fx 570ES Kết quả . . . . x ≈ 36,387 Phương sai: ≈ 592,302 (giá trị TB) (giá trị TB) (Phương sai) (Phương sai) V, TÌM HIỂU CHỨC NĂNG CALC, SOLVE 1, Chức năng CALC: Dùng để lặp lại biểu thức nhập vào máy tính Xét ví dụ: 2, Chức năng SLOVE: Dùng để tìm nghiệm gần đúng của một phương trình phức tạp Xét ví dụ: VI, TÌM HIỂU CHỨC NĂNG CHIA LẤY PHẦN NGUYÊN (Mới) Fx 570MS Fx 570ES Chú ý: Đây thực chất là phép tính toàn trên hệ cơ số 10 nhưng nhờ vào chức năng này ta có thể thực hiện phép chia lấy phần nguyên, ứng dụng vào làm nhiều bài tập hay! Ví dụ: Thực hiện lấy phần nguyên của phép chia 2012 cho 93: Fx 570MS Fx 570ES Kết quả là phần nguyên của phép chia. Trang 12 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
PHẦN III Làm quen các bài toán đơn giản
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 1. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Dạng 1: Xây dựng quy trình ấn phím bình thường: A =1+ 2 + 3 + +15 B = (6492 +13×1802 )2 −13× (2× 496 ×180)  1 2   3 6   2  C = 1 + 2  ÷ 1 −  ÷  5,1 + 2 + 7,3   3 5   4 4   5  D = 3 3 5 − 3 4 − 3 2 − 3 20 + 3 25 3 54 18 3 E = 3 200 +126 2 + + 3 − 6 2 1+ 3 2 1+ 3 2 Giải 112 Đáp số: A = 120; B = 1; C = ; D = 2,63070; E = 8 57 Lưu ý đối với câu D, E nếu bạn dùng máy tính fx 570MS thì phải chú ý thêm mở ngoặc và đóng ngoặ. Nếu không có máy tính hiểu sai về thứ tự thực hiện các phép tính.Việc sử dụng máy tính fx 570ES hiện thị giống sách giao khoa rất dễ để làm các bài tập này Ví dụ quy trình bấm phím sai trên máy tính fx 570MS: 3 × shift 3 5 - shift 3 4 - shift 3 2 - shift 3 20 + shift 3 25 = (Đáp số sai: 1,285259478) Nguyên nhân là phải mở thêm ngoặc vì máy tính sẽ hiều nhầm biểu thức. Quy trình bấm phím đúng trên máy tính fx 570MS : 3 x ( shift 3 ( 5 - shift 3 4 ) ) - shift 3 2 - shift 3 20 + shift 3 25 = (Đáp số: 2,630704324) Dạng 2: Áp dụng công thức để tính: F = 1+ 2 + 3 + + 2012 G = 1+ 3 + 5 + + 2011 Gi ải Cách 1: Sử dụng công thức học được ở lớp 8 (ở bài luyện tập). Công thức nay ta có thể hiểu nông na là: - Lấy số cuối trừ số đầu chia cho bước nhảy của nó cộng thêm 1 là ra số số hạng của dãy. - Ta đem số đó chia cho 2 được số cặp có tổng băng nhau (Bằng số đầu cộng số cuối). - Ta đem số trên nhân với tổng số đầu và số cuối được kết quả cần tính.  2011 − 1  + 1 2012 −1+1   F = .()2012 +1 = 2025078 G =  2 .()2011 + 1 = 1012036 2  2      Cách 2: Sử dụng chức năng tính tổng xích-ma trên máy tính fx 570ES để tính: 2012 F = ∑ x có nghĩa là tổng các x khi x chạy từ 1 đến 2012 1 Quy trình ấn phím trên máy tính fx 570ES: shift alpha X 1 2012 = 1005 Tương tự: G = ∑()2x +1 có nghĩa là tổng (2x +1) khi x chạy từ 0 đến 1005. 0 Trang 15 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Dạng 3: Tách ra làm nhiều biểu thức nhỏ:  2  4  4   ,1 08 −  ÷ .8  × ,1 25 25 7 5 1 4 H =   +   + 5 + ()2,1 × 5,0 ÷  5 1  2 10 3 5 6 − 3 × 2 4,6 −  9 4  17 25 Giải Do máy tính chỉ nhận 79 bước mà biểu thức trên nhập hết vào sẽ tràn màn hình. Giải pháp đơn giản là tách biểu thức ra làm nhiều biểu thức nhỏ và sử dụng các phím nhớ.  2  4  ,1 08 −  ÷ 25 7 Tính   gán vào biến A.  5 1  2 6 − 3 × 2  9 4  17  4  .8  × ,1 25 5 Tính   gán vào biến B. 10 4,6 − 25 1 4 Tính 5 + ()2,1 × 5,0 ÷ gán vào biến C. 3 5 23 Kết quả: A + B + C (Đáp số: ) 3 Bài tập tự luyện: 3.1.1: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số:  1 2   3 6   2  A = 1 + 2  ÷1 −  ÷ 5,1 + 2 + 7,3   3 5   4 4   5  5  3 2 3  B =12 ÷1 ×1 + 3 ÷ 2  7  4 11 121  2  4  4   ,1 08 −  ÷ .8  × ,1 25 25 7 5 1 4 C =   +   + 5 + ()2,1 × 5,0 ÷  5 1  2 10 3 5 6 − 3 × 2 4,6 −  9 4  17 25 3.1.2: Thực hiện phép tính (Lấy hết kết quả hiện thị trên màn hình): 2 A = (6492 +13.1802 ) −13.( .2 649.180)2 B = 3 3 5 − 3 4 − 3 2 + 3 20 + 3 25 54 18 C = 200 +1263 2 + + − 63 2 1+ 3 2 1+ 3 2 π 3 816.132 D = 3 712,3517  1 1 1 2 2 2  1+ + + 2 + + +  3 9 27 3 9 27 91919191 E =182×  ÷ ×  4 4 4 1 1 1 80808080 4 + + + 1+ + +   7 49 343 7 49 343  Trang 16 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II  3 3  5 6 − 3  5. 5 14 6 3.1.3: Tính 5% của   21− ,1 25 ÷ 5,2 3.1.4.1: Tính giá trị gần đúng đến 7 chữ số ở phần thập phân: 3 4 5 6 7 8 A = 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 9 3.1.4.2: Tính và làm tròn đến 6 chữ số ở phần thập phân: 3÷ 4,0 − ,0 09 ÷ ( ,0 15 ÷ 5,2 ) ( 1,2 − ,1 965)÷ ( 2,1 × ,0 045) B = + ,0 32× 6 + ,0 03− ()3,5 − ,3 88 + ,0 67 ,0 00325 ÷ ,0 013  22 4  ()10,38× ,7 12 +10,382 × ,1 25× − × ,1 25 + 32,025 35 7 C =   ()()11,81+ ,819 × ,0 02 ÷ 9 ÷11,25 +13 3.1.4.3: Tính và làm tròn đến 5 chữ số ở phần thập phân:  13 7  7 1   1  D =  × 4,1 − 5,2 ×  ÷ 2 + 4 × 1,0  ÷70 5, − 528 ÷ 7   84 180  18 2   2  3.1.4.4: Tính giá trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân: E = 3211930 + 291945 + 2171954 + 3041975 Trang 17 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 2. TÍNH GIÁ TRỊ GÓC, LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức sau chính xác đến 0,0001: cos36°25'12 '' − cos 63°17'34 '' B = cos 40°22'20''+ cos 52°10'45'' Giải Quy trình ấm phím trên máy fx 570MS hoặc fx 570ES là: ( cos 36 o’” 25 o’” 12 o’” – cos 63 o’” 17 o’” 34 o’” ) ÷ ( cos 40 o’” 22 o’” 20 o’” + cos 52 o’” 10 o’” 45 o’” ) = (Đáp số: 0015’30,09” ≈ 0,2584) Dạng 2: Cho cosα = 5,0 . Tính các giá trị lương giác còn lại của góc α , biết α là góc nhọn (Làm tròn 4 chữ số ở phần thập phân). Giải - Ta tính góc α bằng cách nhấn : shift cos -1 0,5 = (Kết quả: 60) - Tính các giá trị lượng giác còn lại ta thực hiện tính giá trị lưỡng giác của góc 60 0. sinα ≈ ,0 866 tanα ≈ ,1 7321 cotα ≈ ,0 5774 Dạng 3: Cho α là góc nhọn với sinα = ,0 813. Tính: cos 5α (Lấy hết kết quả hiện thị ở màn hình). Giải Tính góc α rồi tính cos 5α . Quy trình bấm phím: shift sin 0,813 = (Kết quả: 54.39008374 thoã góc nhọn) cos ( 5 x Ans ) = (Đáp số: 0,03403465362). Bài tập tự luyện: 3.2.1: Cho α là góc nhọn. (Lấy hết kết quả hiện thị ở màn hình). sinα = ,0 831. Tìm cos5α cosα = ,0 1234cos. Tìm sin 2α 3.2.2: Cho cosA = 0,8516; tanB = 3,1725; sinC = 0,4351 (A, B, C nhọn). Tính (Aˆ + Bˆ − Cˆ ) 3.2.3: Tính A, B, C, biết: 22h 25 6,2'.'8' + 7 h 47'35 '' A = 9h 28'16'' 3°47'55 3'.' + 5°11'45 '' B = 6°52'17'' sin 34°36'− tan18°43' C = cos78°12''+cos2°13'17'' Trang 18 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ghi nhớ: Đối với các máy fx 570MS, fx 570ES thì các phương trình và hệ phương trình được viết dưới dạng tổng quát như sau: ax 2 + bx + c = 0 ; ax3 + bx 2 + cx + d = 0 Khi nhập vào máy ta nhấn a, b, c hoặc d.  a1x + b1 y = c1  Khi nhập vào máy ta nhấn a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2. a2 x + b2 y = c2  a1x + b1 y + c1z = d1  a2 x + b2 y + c2 z = d2 Khi nhập vào máy ta nhấn a 1, b 1, c 1, d 1 a2, b 2, c 2, d 2, a 3, b 3, c 3, d 3.  a3 x + b3 y + c3 z = d3 Dạng: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1. x 2 −11x + 30 = 0 2. x3 − 6x 2 +11x − 6 = 0  x y  12x −13y = 8  − =1 3. 4. 2 3   x y 37x + 29y =14  + = −1 2 2 4x + y − 2z = −1 x + y =12   5.  x + 6y + 3z =1 6. x + z = 22   5x + 4y + z = −7 y + z = 28 Giải Sử dụng chương trình cài sẵn trong máy để tính. 1. Vào EQU, Degree : 2 Nhập: 1 = -11 = 30 = (Đáp số: x1 = 5, x 2 = 6). 2. Vào EQU, Degree : 3 Nhập: 1 = -6 = 11 = -6 = (Đáp số: x1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3). 3. Vào EQU, 2 unknowns. 414 128 Nhập: 12 = -13 = 8 = 37 = 29 = 14 = (Đáp số: x = ; y = − ) 829 829  x y  1 1  − =1  .x − .y =1 x = 3 4. 2 3 ⇔ 2 3 Đáp số:  x y 1 1   + = −1  .x + .y = −1 y = 2 2 2 2 2 5. Vào EQU, 3 unknowns. 18 7 73 Nhập: 4 = 1 = -2 = -1 = 1 = 6 = 3 = 1 = 5 = 4 = 1 = -7 = . Đáp số: x = − ; y = ; z = − 7 3 21 x + y = 12 x + y + .0 z = 12  x = 3    6. x + z = 22 ⇔ x + .0 y + z = 22 Đáp số:  y = 9    y + z = 28  .0 x + y + z = 28 z =19 Trang 19 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Bài tập tự luyện: 3.3.1: Giải phương trình (Ghi kết quả đủ 9 chữ số ở phần thập phân): a, 2,343x 2 – 1,54x – 3,141 = 0 b, ,1 23785.x2 + ,4 35816.x − ,6 98753 = 0 3.3.2: Giải hệ phương trình:  ,1 372x − ,4 915y = ,3123 a,  (Ghi đủ 9 chữ số ở phần thập phân)  ,8 368x + ,5 214y = ,7 318  x y  x + y + z = 11 − =1   b, 2x − y + z = 5 c, 2 3   x 2y 3x + 2y + z = 24  + = −1  2 3 3.3.3: Giải hệ phương trình:  3,1 4,2 + =1  x − 2 y −1  1,3 5,4  + =1  x − 2 y −1 x 83249x +16571y =108249 3.3.4: Tính biết x và y là nghiệm của hệ:  y  16571x + 83249 y = 41751 Trang 20 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 4. CÁC BÀI TOÁN ĐỐ Ví dụ 1: Khi dùng máy tính Casio để thực hiện phép chia một số tự nhiên cho 48, được thương là 37, số dư là số lớn nhất có thể có được của phép chia đó. Hỏi số đó là bao nhiêu? Ví dụ 2: Tìm số nguyên x, biết rằng nếu nhân số đó với 12 rồi cộng thêm ½ số đó thì được bình phương số đó cộng với 21. Ví dụ 3: Cho 3 số nguyên nếu cộng hai số bất kì thì ta được các số sau: 12, 22, 28. Tìm ba số đó. Ví dụ 4: Tỉ số vốn của hai nhà kinh doanh là 0,6. Hỏi mỗi người có số vốn là bao nhiêu? Biết rằng người thứ nhất nhiều hơn người thứ hai là 100 triệu đồng. 2 Ví dụ 5: Một ao cá có 4800 con cá gồm ba loại trắm, mè, chép. Số mè bằng số trắm. Số 7 1 chép bằng số mè. Tính số lưỡng của mỗi loại cá trong ao. 2 Giải Ví dụ 1: Ta có số dư nhỏ hơn số chia 48, nên số dư lớn nhất có thể được trong phép chia một số tự nhiên cho 48 là 47. Do thương thu được là 37 nên số bị chia cần tìm là: 37 × 48 + 47 = 1823 Ví dụ 2: Theo đề bài ta có: 1 25 12x + x = x 2 + 21 ⇔ x 2 − x + 21 = 0 2 2  21 x = (loai) ⇔  2   x = 2 Vậy số nguyên x cần tìm là 2. Ví dụ 3: Gọi 3 số đó là x, y, z. (Điều kiện: x, y, z ∈ Z) Theo đề bài ta có: x + y = 12  x = 3   x + z = 22 ⇔  y = 9   y + z = 28 z = 19 Vậy ba số phải tìm là 3, 9, 19 . Ví dụ 4: Gọi số vốn của hai người là: a, b (triệu đồng) (Điều kiện: a, b > 0) Theo đề bài ta có:  x  = 6,0  x =150  y ⇔  y = 250 y − x =100 Vậy số vốn của hai người lần lượt là: 150, 250 triệu đồng. Ví dụ 5: Gọi số cá loại trắm, mè, chép lần lượt là: x, y, z (Điều kiện: z, y, z ∈ N*) Theo đề bài ta có: Trang 21 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II   x + y + z = 4800 x + y + z = 4800 x = 3360  2  2   y = x ⇔  x − y = 0 ⇔  y = 960  7  7  1 1  z = 480  z = y  y − z = 0  2  2 Vậy trong ao có 3360 con cá trăm, 960 con cá mè và 480 con cá chép. Bài tập tự luyện: 1 3.4.1: Một số nguyên a khi nhân với 12 rồi cộng với 12, cộng số tìm được với số phải tìm, 2 được bao nhiêu đem chia cho 3 được 54. Tìm số a ban đầu. 3.4.2: Anh Sáu đan xong 6 cái rổ hết 1 giờ, 20 cái rế hết 1 giờ 30 phút. Hỏi anh Sáu đan 100 cái rổ và 100 cái rế hết bao lâu? 3.4.3: Một người vào bưu điện để gửi tiền cho nguời thân ở xa, trong túi có 5 000 000 đồng. Chi phí dịch vụ hết 0,9% tổng số tiền gửi đi. Hỏi người thân nhận tối đa bao nhiêu tiền. 3.4.4: Cho 3 số nguyên nếu cộng hai số bất kì thì ta được các số sau: 4023, 2032, 2033. Tìm ba số đó. Trang 22 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 5. BÀI TẬP SỐ HỌC NHỎ Dạng 1: Tìm số dư khi chia 2012 cho 12: Giải - Ta thực hiện phép chia bình thường ấn: 2012 ÷ 12 = (Kết quả: 167,6666667) - Tìm số dư ấn tiếp: Ans – 12 × 167 = (Đáp số: 8) - Vậy số dư cần tìm là 8. Dạng 2: Số 2011 là số nguyên tố hay hợp số. Giải - Ta tính: 2011 ≈ 44,84417465 - Để kiểm tra 2009 là số nguyên tố hay là hợp số thì ta chỉ việc chia số 2011 cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 44. 2009 không chia hết cho 2 2009 không chia hết cho 3 2009 không chia hết cho 5 Do 2011 không chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn 44. Vậy 2011 là số nguyên tố Chú ý: Nếu số a phải kiểm tra quá lớn ta không thể xác định được các số nguyên tố nhỏ hơn a thì ta kiểm tra bằng cách chia số đó cho số 2 và các số lẻ nhỏ hơn a . Bài tập tự luyện 3.5.1: Tìm số dư khi chia 20092010 cho 999. 3.5.2: Số 4826809 là số nguyên tố hay là hợp số. Trang 23 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 6. ĐỀ BÀI TẬP CĂN BẢN Đề CB1: (Thang điểm 50) . Thời gian: 45 phút. Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu gì thì thí sinh phải lấy hết kết quả hiện thị trên màn hình. Bài 3.6.1.1: (5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: (Làm tròn 5 chữ số ở phần thập phân). A = 3 3 5 − 3 4 − 3 2 − 3 20 + 3 25. 20 3 54 18 3 B = 3 200 +126 2 + + 3 − 6 2 3 2 1+ 3 2 Bài 3.6.1.2: (5 điểm) Tính tổng của A sau: A = 6 + 8 + 10 + + 2012 Bài 3.6.1.3: (5 điểm) Tìm một số biết rằng 5% của số đó là: 6 ,1815 ,2. 7325 7 ,4 6214 2x −13y = 4 Bài 3.6.1.4: (5 điểm) Giải hệ phương trình:  7x + 9y =10 Bài 3.6.1.5: (5 điểm) Giải phương trình: 3x 2 – 9x = - 54 Bài 3.6.1.6: (5 điểm) Tìm số dư của 123456 cho 135. Bài 3.6.1.7: (5 điểm) Trình bày phương pháp kiểm tra số 881 là số nguyên tố hay là hợp số. Bài 3.6.1.8: (5 điểm) Tính giá trị của lượng giác sau: tan 4°26'12 '' + tan 77°41' A = cos 67°23'− sin 23°28' 6h47'29 '' −2h58'38 '' B = 1h31'42''.3 Bài 3.6.1.9: (5 điểm) Cho 3 số nguyên nếu cộng hai số bất kì thì ta được các số sau: 22, 32, 42. Tìm tích của 3 số đó. Bài 3.6.1.10: (5 điểm) Một bộ quần áo được bán như sau: Cái quần bán với giá 200 000 đồng trong đó số tiền lãi là 47 000 đồng. Cái áo bán với giá 150 000 đồng. Biết tỉ lệ tiền vốn của cái quần so với chiếc áo là 3/2. Hỏi tiền lãi thu được của bộ quần áo đó là bao nhiêu? Xem đáp án tự chấm điểm trang 152 Trang 24 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Đề CB2: (Thang điểm 50). Thời gian: 45 phút. Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu gì thì thí sinh phải lấy hết kết quả hiện thị thên màn hình. Bài 3.6.2.1: (5 điểm) Tính tổng của A sau: A = 8 + 12 + 16 + 20 + 2012 Bài 3.6.2.2: (5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: (Làm tròn 5 chữ số ở phần thập phân). A = 3 5 − 3 3 − 3 2 − 3 20 + 3 25 3 54 18 3 B = 3 2010 +126 2 + + 3 − 6 2 1+ 3 2 1+ 3 2  12x −13y + 8 = 0 Bài 3.6.2.3: (5 điểm) Giải hệ phương trình:  37x + 29y +14 = 0 Bài 3.6.2.4: (5 điểm) Giải phương trình: 2,354x 2 – 1,542x – 3,141 = 0 Bài 3.6.2.5: (5 điểm) Tìm 5% của số : 6 ,1815 ,2. 7325 7 ,4 6214 Bài 3.6.2.6: (5 điểm) Tìm số dư của 9999 cho 22. Bài 3.6.2.7: (5 điểm) Trình bày phương pháp kiểm tra số 157 là số nguyên tố hay là hợp số. Bài 3.6.2.8: (5 điểm) Tính giá trị của lượng giác sau: sin 4°26'+ tan 77°41'12 '' A = cot 67°23'− tan 23°28' 6050 ''2' −2038'39 '' B = 33033'33'' Bài 3.6.2.9: (5 điểm) Một bộ quần áo được bán như sau: Cái quần bán với giá 200 000 đồng trong đó số tiền lãi là 48 000 đồng. Cái áo bán với giá 150 000 đồng. Biết tỉ lệ tiền lãi của cái quần so với chiếc áo 3/2. Hỏi tiền vốn bỏ ra của bộ quần áo đó là bao nhiêu? Bài 3.6.2.10: (5 điểm) Cho 3 số nguyên nếu tích hai số bất kì thì ta được các số sau: 20, 24, 30. Tìm số lớn nhất trong 3 số đó. Xem đáp án tự chấm điểm trang 153 Trang 25 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
PHẦN IV Nâng cao các chuyên đeđềààà Giải toán
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 1. GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Công thức cần nhớ: n(n +1)(2n +1) n a, 12 + 22 + 32 + + n2 = = ∑ x 2 6 1 n 2 2n(n +1)(2n +1) b, 22 + 42 + 62 + ()2n = = ∑ 2x 3 1 2 n 2 2 2 2 n(4. n −1) c, 1 +3 +5 + +()2n−1 = =∑()2n−1 3 1 2 2 n n (n+1) 2 d, 13 +23 +33 + +n3 = =()1+2+3+ +n =∑x3 4 1 Ch ứng minh a, Chứng minh quy nạp: 1(1+1)( 1.2 +1) Với n = 1 thì: 12 = đúng. 6 2(2 +1)( 2.2 +1) Với n = 2 t thì: 12 + 22 = đúng. 6 k(k +1)(2k +1) Gi ả sử đẵng thức đúng với n = k ta cĩ: 12 + 22 + 32 + + k 2 = 6 Ta ch ứng minh đẵng thức đúng với n = k + 1: Với n = k+1 thì: 2 k(k +1)(2k +1) 2 12 + 22 + 32 + + k 2 + ()k +1 = + ()k +1 6 (k +1)[k(2k +1) + .6 (k +1)] (k +1)(2k 2 + 7k + 6) = = 6 6  3  ()k + .2.1 k + ()k + 2 2 ()()k +1 []k +1 +1 []2()k +1 +1 =   = 6 6 b, Ta cĩ: ⇒ 22 + 4 2 + 62 + (2n)2 = 1.4 2 + 2.4 2 + 3.4 2 + + .4 n 2 2n(n +1)(2n +1) = (1.4 2 + 22 + 32 + + n2 )= 3 c, Ta có: 12 +32 +52 + +(2n−1)2 =12 +(1+2)2 +(1+4)2 + +[1+2(n−1)]2 = (2n +1)+ [2.2 + 4 + + 2(n −1)]+ 22 + 42 + + [2(n −1)]2 2()n −1 − 2 +1 2()()n − n 1 2n −1 = n + .2 2 2. n + 2 3 2()()n − n 1 2n −1 n ()4. n 2 −1 = n + 2n()n −1 + = 3 3 d, Bạn đọc chứng minh theo phương pháp quy nạp. 1 8 93 321 Điều đặc biệt hay: = ,0 1111111 ; = ,0 88888888 ; ,0 939393 ; ,0 321321 9 9 99 999 Trang 29 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Dạng 1: Hãy tính giá trị của biểu thức: 2 + 2 x +1 1+ 5 với x = x 2 + 5 2 Giải 1+ 5 Ta nhập giá trị nhớ vào X, ấn phím như sau: 2 ( 1 + 5 ) ÷ 2 shift STO X. 2 + 2 x +1 Ta nhập biểu thức , ấn phím: x 2 + 5 ( 2 + 2 × ( alpha X + 1 ) ) ab/c ( alpha X x2 + 5) = Đáp số: 0,757724128 Dạng 2: Phân số nào sinh ra phân số thập phân tuần hoàn: 6,0(6) và 3,15(321) Giải 6 6 1 2.1: Ta có = ,0 ()6 ⇒ = = 0,0 ()6 9 90 15 1 91 Lấy: + 6 = = 0,6 ()6 15 15 91 Vậy phân số sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn 6,0(6) là 15 2.2 Không thể sử dụng dạng 2.1 vì phân số sinh ra tràn màn hình. Cách 1: Ta đặt: E = 3,15(321). Ta có: 1000E = 3153,21(321) − E = ,315(321) 999E = 3150,06 3150,06 52501 E = = 999 16650 52501 Vậy phân số sinh ra phân số thập phân tuần hoàn 3,15(321) là 16650 Cách 2: Tìm phần thập phân của số đó là phân số nào! 321 107 Ta có: = = ,0 00()321 99900 33300 107 2551 ⇒ ,0 15()321 = + ,0 15 = 33300 16650 2551 .3 16650 + 2551 52501 ⇒ ,315()321 = 3+ = = 16650 16650 16650 Nhận xét: Cách 2 sẽ tốt hơn vì tính ra được phân số tối giản. Dạng 3: Trình bày một phương pháp kết hợp máy tính và trên giáy để tính được giá trị của số: N = 2222244444 × 55555 M = 123456789 2 Giải 3.1 Ta có: N = (22222.10 5 + 44444) × 55555 N = 22222.55555.10 5 + 44444.55555 Trang 30 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Tính trên máy giá trị: A = 22222 × 55555 = 1234543210 B = 22222 × 55555 = 2469086420 Tính trên giấy: 10 5A + B Vậy N = 123 456 790 086 420 2 3.2 Ta có: M = 1234567892 = (12345×104 + 6789) = 123452 ×108 + 2×12345×104 × 6789 + 67892 Tính trên máy giá trị: A = 12345 2 = 152.399.025 B = 2.12345.6789 = 167.620.410 C = 6789 2 = 46.090.521 Tính trên giấy: 10 8 × A + 10 4 × B + C Vậy M = 15 241 578 750 190 521 1 1 1 Dạng 4: Tính: + + + 1.2 2.3 20011.2012 Giải Cách 1: Sử dụng công thức: 1 1 1 Ta có: = − với n là số nguyên. n()n +1 n n +1 Aùp dụng vào bài tập ta được: 1 1 1 + + + 2.1 3.2 2011 .2012 1 1 1 1 1 1 = − + − + + − 1 2 2 3 20011 2012 1 2011 = 1 − = ≈ ,0 9995029821 2012 2012 Cách 2: Sử dụng chức năng tính tổng xích-ma trên máy tính fx 570ES để tính: 1 1 1 20011 1 + + + = ∑ 2.1 3.2 2011.2012 1 x(x + )1 Quy trình ấn phím trên máy tính fx 570ES: shift 1 alpha X ( alpha X + 1 ) 1 2011 2011 = (Đáp số: ) 2012 Dạng 5: Tính giá trị biểu thức: 12 + 22 + 32 + +1002 Giải n(n +1)(2n +1) Cách 1: Áp dụng công thức: 12 + 22 + 32 + + n 2 = 6 Trang 31 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 100(100 +1)( .2 100 +1) Ta có: 12 + 22 + 32 + +100 2 = 6 = 338350 Cách 2: Sử dụng chức năng tính tổng xích-ma trên máy tính fx 570ES để tính: 100 12 + 22 + 32 + +1002 = ∑ x 2 1 Quy trình ấn phím trên máy tính fx 570ES: shift alpha X x 2 1 100 = 2011 (Đáp số: ) 2012 Nhận xét: Cách 1 bắt buộc ta phải nhớ công thức nhưng thời gian tính toán sẽ nhanh hơn cách 1. Còn cách 2 có thể giải nhiều bài tập khó khác nhưng thời gian máy tính khá lâu. Vì thế tùy vào trường hợp đưa ra cách giải quyết hợp lý. Dạng 6: Tính 1+ 2 + 22 + 23 + + 232 Giải Ta đặt A = 1+ 2 + 2 2 + 23 + + 232 Ta có: 2A = 2 + 22 + 23 + 24 + + 233 Lấy: 2A – A = 2( + 22 + 23 + 24 + + 233 ) - 1( + 2 + 22 + 23 + + 232 ) = A = 2 33 – 1 = 8589934591 Bài tập tự luyện: 4.1.1: Tính giá trị của các biểu thức sau (Tính chính xác): a, A = 12 + 2 2 + 32 + + 20112 + 2012 2 b, B = 13 + 23 + 33 + + 20013 + 20123 c, C = 12 − 22 + 32 − 42 + 52 − + 20112 − 20122 d, D =1+ 4 + 42 + 43 + + 415 e, E = 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + + 16 × 16! 4.1.2: Tính A = 12 + 22 + 32 + + 3532 . Sau đó sử dụng kết quả đó để tính tổng S = 2 2 + 4 2 + 6 2 + + 706 2 . Bạn hãy trình bày lời giải tính tổng S. 4.1.3: Phân số nào sinh ra phân số vô hạn tuần hoàn: 1,36(63) và 36,56(252) 4.1.4: a, Nếu F = 85,8353353353 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 353. Khi F được viết dưới dạng phân số tối giản thì tổng mẫu số và tử số bằng bao nhiêu? b, Nếu E = 93,1(993) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 993. Khi E được viết dưới dạng phân số nào để mẫu số lớn hơn tử số là 460536. 18 18 18 4.1.5: Tính: M = + + . ,0 19981998 ,0 019981998 ,0 0019981998 4.1.6: Nêu một phương pháp (Kết hợp trên giấy và máy tính) để tính kết quả đúng của phép tính sau: a, A = 12578963 × 16475 b, B = 4672093070 × 430043 c, C = 3333355555 × 3333377777 d, D = 2222266666 × 2222244444 e, E = 2222255555 × 2222266666 Trang 32 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II f, F = 2120092009 × 2120102010 g, H = 2120112012 2 h, I = 1023456 3 i, K = 1038471 3. 4.1.7: Tính và viết kết quả dưới dạng phân số: 1 1 1 a, A = + + + 1.2 2.3 123456.123457 1 1 1 1 b, C = + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 20011.2012.2013 1 1 1 1 c, B = + + + + 1.3 3.5 5.7 2011.2013  1  1   1  1  d, D =  −1 −1  −1 −1  9 10   2011  2012  12 22 32 10052 10062 e, E = + + + + + 1.3 3.5 5.7 2009.2011 2011.2013 1 1 1 4.1.8: Tính tổng: B = + + + 1 + 2 2 + 3 n + n +1 Áp dụng tính B khi n = 2012, làm tròn 5 chữ số ở phần thập phân. 4.1.9: Tính giá trị biểu thức: (Lấy hết kết quả hiện thị trên màn hình) x4 + x8 + x12 + x16 + x20 +1 a, A = tại x = 1111,2011 x2 + x6 + x10 + x14 + x18 + x 22 1 1 x3 − x 53 b, B = + + với x = x −1 − x x −1 + x x −1 9 − 2 7  5x + y 5x − y  x 2 − 25y 2  C =  +   c,  2 2  2 2  với x = 1,257; y = 2511,2009  x − 5xy x + 5xy  x + y  x 2 + y 2 − z 2 + 2xy 3 d, D = với x = − ; y = ;5,1 z = 13 4, x 2 − y 2 + z 2 + 2xz 4 4.1.10: Tính giá trị của biểu thức chính xác đến 5 chữ số ở phần thập phân. 4.5 15 9. 9 − 3.4 20 8. 9 210 6. 15 + 314.15 4. 13 a, A = b, B = 5.29.619 − 7.220.89 218.187.33 + 315.225 4.1.11: Tính (Ghi toàn bộ kết quả hiện thị trên màn hình máy tính). a, P = 7 + 77 + 777 + + 77 77 17chu.so 1 2 3 n b, G = + + + + với n = 15 3 32 33 3n 4.1.12: Tính: 2   1  1  2 1+  − x  4  x  Q = khi x = 3,6874496 2     1  1  1  1  1+  − x  −  − x  4  x  2  x  Trang 33 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 4.1.13: Tính và ghi kết quả ở dạng hỗn số: 1 1 a, 357 .579 579 357 b, 403,80689 ÷ ,0 404211+ 409465,843 ÷ 404,211 4.1.14: Thực hiện biến đổi toán học và kết hợp với máy tính. Tính số nghịch đảo của biểu thức:  1 1 1 1   1 7  a, A = 49. + + + +  ÷ −   9.2 .9 16 16.23 65.72   3 36  1 1 + 7 90 b, B = 3,0 ()()4 + ,1 62 ÷ 14 − 2 3 ÷ 11 8,0 ()5 11 Trang 34 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 2. GIÁ TRỊ GÓC, LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức sau chính xác đến 0.0001. sin 54°30 '' −sin 35°40 '' A = sin 72°18''+sin 20°15'' Giải Bài toán này trên chỉ có giá trị góc là độ và giây (Không có phút). Để tính ta có quy trình ấn phím trên máy fx 570MS như sau: ( sin 54 o’” 0 o’” 30 o’” – sin 35 o’” 0 o’” 40 o’” ) ÷ ( sin 72 o’” 0 o’” 18 o’” + sin 20 o’” 0 o’”15 o’” = Vậy giá trị của A ≈ 0,1820. Dạng 2: Cho tan y = tan38.tan39.tan40 tan52. Tính B = cot y. Giải Cách 1: Nhập hết biểu thức và tính. Cách 2: Áp dụng các công thức lượng giác tính. - Nếu α + β = 90° thì tanα = cot β - cotα.tanα = 1 Ta có: tan y = tan38.tan39.tan 40 tan52 = tan38.tan39.tan 40 cot39.cot38 = tan38.cot38.tan39.cot39 tan 45 = tan 45 ⇒ cot y = cot 45 =1 Vậy giá trị của B = 1 Dạng 3: Cho cosα = ,0 765 0( ° < α < 90°) . Tính chính xác đến 9 chữ số ở phần thập phân. cos3 α − sin 2 α − 2 cosα + sin 2 α Giải Sử dụng biến nhớ để tính, quy trình ấn phím trên máy 570MS: Tính góc α và nhớ vào A ấn: shift cos -1 0,765 = shift STO A. Tính giá trị của biểu thức ấn: ( ( cos alpha A ) shift x 3 – ( sin alpha A ) x 2 – 2 ) ÷ ( cos alpha A + ( sin alpha A ) x 2 = (Kết quả: -1.667333072) Vậy giá trị của biểu thức ≈ -1.667333072. Bài tập tự luyện: 4.2.1: Tính giá trị của biểu thức sau (Lấy hết kết quả hiện thị trên màn hình) cos 3 α 1( + sin 3 α ) + tan 2 α a, Cho sin α = 0,3456 (0 0 < α < 90 0). Tính: M = ()cos 3 α + sin 3 α .cot 3 α cos2 x − sin3 x − 2 b, Cho cosx = 0,7651 (0 0 < x < 90 0). Tính: A = cosx + sin2 x Trang 35 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 8 2sin 2 α + cos 2α c, Cho cotα = (0 0 < α < 90 0). Tính A = 15 2 a tan α − cos +1 3 2 3 2 3 2 0 0 sin α(1+ cos α )+ cos α(1+ sin α ) d, Biết cos α = ,0 5678 (0 < α < 90 ). Tính: N = (1+ tan 3 α )(1+ cot 3 α ) 1+ cos 4 α 4.2.2: Biết tan α = tan35 0.tan36 0. tan37 0 . Tan52 0. tan53 0 (0 0 < α < 90 0). Tính: tan 2 α (1 + cos 3 α )+ cot 3 α (1 + sin 3 α ) M = ()sin 3 α + cos 3 α ()1 + sin α + cos α 4.2.3: a, Tính giá trị của biểu thức M với α = 25°30 ;' β = 57°30' L = [(1+ tan 2 α )(1+ cot 2 β )+ (1− sin 2 α )(1− cos 2 β )] (1− sin 2 α )(1− cos 2 β ) (Kết quả lấy ở 4 chữ số thập phân). −2 1 −  1  ,0 75 −1 b, Tính: (),0 027 3 − −  + 256 − (tan 60°) + 5,5  6  Trang 36 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 3. LIÊN PHÂN SỐ Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó. a Xét phân số (a, b ∈ N và a > b) có thể viết dưới dạng: b ab 1 =a +0 = a + b0 b 0 b b0 Vì b 0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b 0. Lại tiếp tục biểu diễn phân số: bb 1 =a +1 = a + 1 1 b b0 b 0 0 b1 Cứ tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được: ab 1 =a +0 = a + 0 0 1 b b a + 1 1 a n− 2 + an Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn [a0 ,a 1 , ,a n ]. 1 a Nhận xét: Việc biểu diễn liên phân số a + về dạng . Dạng toán này được gọi là 0 1 a + b 1 1 a n− 1 + an tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó. Dạng 1: Lập quy trình nhấn phím liên tục để tính giá trị của liên phân số. Tính giá trị của liên phân số đó. (Làm tròn đến 4 chữ số ở phần thập phân). 1 M = 3+ 1 7 + 1 15 + 1 1+ 292 Giải Cách 1: Tính từ dưới lên. Quy trình ấn phím là: 1 + 1 ab/c 292 = x -1 + 15 = x -1 + 7 = x -1 + 3 = Giá trị của M ≈ 3,1416 Cách 2: Tính một lượt từ trên xuống. Quy trình ấn phím là: 3 + 1 ab/c ( 7 + 1 ab/c ( 15 + 1 ab/c ( 1 + 1 ab/c 292 = Giá trị của M ≈ 3,1416 Trang 37 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 12 1 Dạng 2: Cho A = 30 + Viết lại A = a + 5 0 1 10 + a + 2003 1 1 + an−1 + an Viết kết quả theo thứ tự. Giải 12 24036 4001 1 1 Ta có: A = 30 + = 30 + = 31+ = 31+ = 31+ . Tiếp tục làm 5 20035 30 10 + 20035 20035 5 + 2003 4001 4001 1 như vậy, cuối cùng ta được: A = 31+ 1 5 + 1 133+ 1 2 + 1 1+ 1 2 + 1 1+ 2 Bài tập tự luyện 3 1 4.3.1: Viết quy trình ấn phím tính: A =17 + + 12 5 1+ 23+ 1 1 1+ 3+ 12 1 17 + 7 + 2009 2010 Giá trị tìm được của A là bao nhiêu? (Làm tròn 2 chữ số ở phần thập phân) 4.3.2: Tính và viết kết quả dưới dạng phân số. 20 2 A = ; B = 1 1 2 + 5 + 1 1 3 + 6 + 1 1 4 + 7 + 5 18 329 1 4.3.3: Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng: = 1 1051 3+ 1 5 + 1 a + b 4.3.4: Giải phương trình sau: x x 4 + = 1 1 1+ 4 + 1 1 2 + 3+ 1 1 3+ 2 + 4 2 Trang 38 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 4. DÃY SỐ n n 11+ 13 − 11− 13 Dạng 1: Cho dãy số: U = ( ) ( ) với n = 0, 1, 2, 3 n 2 13 a, Tính 10 số hạng đầu tiên của dãy số. b, Lập công thức truy hồi tính giá trị U n+2 theo U n+1 và U n. c, Viết một quy trình ấn phím liên tục tính giá trị U n+2 theo công thức truy hồi vừa tìm được ở câu trên. Giải a, Giá trị của 10 số hạng đầu tiên của dãy là: U0 = 0 U5 = 89 104 U1 = 1 U6 = 1 323 520 U2 = 22 U7 = 19 494 208 U3 = 376 U8 = 285 932 416 U4 = 5 896 U9 = 4 185 138 688 b, Để lập công thức truy hồi tính giá trị Un+2 theo U n+1 và U n. Ta đặt: U n+2 = aU n+1 + bU n + c Khi n = 0 thì 22 = a + 0.b + c Khi n = 1 thì 376 = 22a + b + c Khi n = 2 thì 5896 = 376a + 22b + c  a + 0b + c = 22  a = 22   ⇒  22a + b + c = 376 ⇔ b = −108   376a + 22b + c = 5896  c = 0 Vậy công thức truy hồi là: U n+2 = 22U n+1 - 108U n c, Quy trình ấn phím liên tục tính giá trị U n+2 theo công thức truy hồi vừa tìm được ở câu trên là: Cách 1: Chỉ sử dụng các biến nhớ (Tham khảo nay rất ít dùng) Gán giá trị U 0 vào A: 0 shift STO A Gán giá trị U 1 vào B: 1 shift STO B Lập lại quy trình ấn phím sau để tính các giá trị tiếp theo của dãy: 22 × alpha B – 108 × alpha A shift STO A 22 × alpha A – 108 × alpha B shift STO B Nhược điểm : Ta khó biết giá trị tìm được là số hạng của dãy. Cách 2: Sử dụng vòng lặp CALC + biến nhớ: Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha C alpha = 22 × alpha B – 108 × alpha A alpha : alpha A alpha = alpha B alpha : alpha B alpha = alpha C CALC Máy hỏi M? 2 = Máy hỏi B? 1 = Máy hỏi A? 0 = Nhấn: = = = = = = = = M là biếm đếm n cho ta biết giá trị C là giá trị thứ mấy trong dãy. Trang 39 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Ưu điểm: Tiết kiệm được thời gian khi tính nhiều giá trị. Sử dụng biến đếm M để biết được đó là số hạng thứ mấy của dãy. n n 5 + 7 − 5 − 7 Dạng 2: Cho dãy số: U = ( ) ( ) với n = 0, 1, 2, 3, n 2 7 a, Tìm 5 số hạng đầu tiên cũa dãy. b, Chứng minh rằng: U n+2 =10U n+1 −18U n . Giải a, Giá trị của 5 số hạng đầu tiên cũa dãy: n 0 1 2 3 4 Un 0 1 10 82 640 b, Chứng minh công thức: Đặt: a = 5 + 7 ; b = 5 − 7 . Khi ấy a + b = 10; ab = 18. n n (5 + 7 ) − (5 − 7 ) 1 n n Và U n = = ()a − b 2 7 2 7 Ta lại có: a n+2 − b n+2 = (a n+1 − b n+1 )(a + b)− ab n+1 − ba n+1 = (a n+1 − b n+1 )(a + b)− ab(a n − b n )=10(a n+1 − b n+1 )−18(a n − bn ) a n+2 − bn+2 10 a n+1 − bn+1 −18 a n − bn a n+1 − bn+1 a n − bn Nên U = = ( ) ( ) =10.( ) −18 ( ) =10U −18U n+2 2 7 2 7 2 7 2 7 n+1 n ⇒ Điều phải chứng minh. Lưu ý: Cách chứng minh công thức này có thể ứng dụng lập công thức truy hồi, sẽ trình bày ở phần bài tập tự luyện. 2 7 x n + 3 Dạng 3: Cho dãy số: x n+1 = 2 ( n ≥ ,1 n ∈ N ) x n + 2 a, Cho x 1 = 1,5. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị x n b, Tính x 100. Bài này có thể sử dụng vòng lặp CALC. Ngoài ra ta có thể sử dụng phím Ans. Giải a, Do có một biến nên ta chỉ cần dùng biến nhớ Ans để tính. Quy trình ấn phím là: Gán giá trị x 1 vào Ans ấn: 1,5 = Tính giá trị tiếp theo ấn: ( 7 × Ans x 2 + 3 ) ÷ ( Ans x 2 + 2 ) = = = = = Dấu “=” đầu tiên tương ứng với giá trị x 2, các dấu “=” tiếp theo tương ứng với các giá trị kế tiếp. b, Giá trị x 100 = 6,770035041 (Chỉ cần ấn khoảng 10 lần dấu “=” vì tới lúc đó các giá trị sau sấp xỉ bằng nhau). x0 =1 2 2 Dạng 4: Cho cặp số (x 0;y 0) với  là nghiệm của phương trình 2x – y = 1. y0 =1 a, Chứng minh rằng: xn = 3xn−1 + 2yn−1 2 2 Cặp số (x n;y n) với  cũng là nghiệm của phương trình 2x – y = 1. (n ≥1) yn = 4xn−1 + 3yn−1 b, Viết quy trình ấn phím liên tục tính giá trị cặp số (x n;y n). c, Tính cặp số (x n;y n) với n = 1, 2, 3 13. Trang 40 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Giải a, Chứng minh theo phương pháp quy nạp: Giả sử n = 1 thì x 1 = 3.1 + 2.1 = 5, y 1 = 4.1 + 3.1 = 7 thoã là nghiệm của phương trình 2x 2 – y2 = 1. Giả sử n = 2 thì x 2 = 3.5 + 2.7 = 29, y 2 = 4.5 + 3.7 = 41 thoã là nghiệm của phương trình 2x 2 – y2 = 1. 2 2 Giả sử cặp giá trị x n-1, y n-1 thoã là nghiệm của phương trình, tức là 2xn−1 − yn−1 = 1 x = 3x + 2y Xét cặp giá trị n n−1 n−1 ta có: yn = 4xn−1 + 3yn−1 2 2 2 2 2xn − yn = 2(3xn−1 + 2yn−1 ) − (4xn−1 + 3yn−1 ) 2 2 2 2 =18xn−1 + 24xn−1 yn−2 + 8yn−1 −16xn−1 − 24xn−1 yn−1 − 9yn−1 2 2 = 2xn−1 − yn−1 =1 Thoã mãn là nghiệm của phương trình. ⇒ Điều phải chứng minh. b, Quy trình ấn phím liên tục trên 570MS là: Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha X alpha = 3 × alpha A + 2 × alpha B alpha : alpha Y alpha = 4 × alpha A + 3 × alpha B alpha : alpha A alpha = alpha X alpha : alpha B apha = alpha Y CALC Máy hỏi M? 0 = Máy hỏi A? 1 = Máy hỏi B? 1 = = = = = = = M là biến đếm giá trị n. c, Các cặp giá trị được tính là: n 1 2 3 4 5 6 7 8 xn 5 29 169 985 5741 33461 195025 1136689 yn 7 41 239 1393 8119 47321 275807 16007521 n 9 10 11 12 13 xn 6625109 38613965 225058681 1311738121 7645370045 10 yn 9369319 54613965 31281039 1855077841 1,081218601 ×10 Bài tập tự luyện n n  3+ 5   3− 5  4.4.1: Cho dãy số: U =   +   − 2 với n = 0, 1, 2, n      2   2  a, Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1. b, Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+1 trên máy tính Casio. 4.4.2: Cho U 0 = 2, U 1 = 10, U n+1 = 10U n – Un-1; n = 1, 2, a, Lập quy trình ấn phím để tính U n+1 . b, Tìm công thức tổng quát của U n () Trang 41 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II n n 4.4.3: Cho dãy số (U n) được xác định bởi: U n = (3+ 2 5) + (3− 2 5) a, Chứng tỏ công thức: U n+2 = 6U n+1 +11U n b, Tính các giá trị U 9, U 10 . 4.4.4: Giả sử {a n} là một dãy số được xác định như sau: an−1 + an+1 an +1 a0 = a 1 = 5, a = (n = 1, 2, 3, ) và A = n 98 n 6 a, Hãy lập một quy trình ấn phím liên tục vừa tính giá trị của a n và A n. b, Tính a n và An với n = 1, 2, 3, 7. 5 + an 4.4.5: Cho dãy số an+1 = với n > 0 và a 1 = 1. 1+ an a, Viết quy trình ấn phím trên máy tính tính an+1 . b, Tính a 4; a 5; a 25 ; a 2009 ; a 2010 4.4.6: Cho dãy số: U 1 = 144; U 2 = 233; Un+1 = U n + U n-1. Tính U 12 , U 37 ; U 38 ; U 39 . Viết quy trình tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy số sao cho: 9696 U = n + n n2 4.4.7:() Với mỗi số nguyên dương c, dãy số u c được xác định như sau: 2 u1 = 1; u 2 = c; u n = (2n + 1)u n−1 − (n − 1)u n − 2 , n ≥ 3 Tìm những giá trị của c để dãy số có tính chất: u j chia hết cho u i với mọi i ≤ j ≤ 5 . Trang 42 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 5. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giải phương trình nghiệm nguyên: Có rất nhiều phương pháp, dưới đây là 3 phương pháp cốt lõi, dễ ứng dụng nhất: 1, Phương pháp suy luận: Ta biểu diễn một ẩn theo các ẩn khác, từ đó suy luận để phương trình có nghiệm nguyên. 2, Phương pháp đưa về phương trình tích: Đưa phương trình đã cho về dạng một vế là tích của các biểu thức chứa ẩn còn vế kia là một số nguyên. 3, Phương pháp vận dụng tính chất chia hết của số nguyên. Dạng 1: (Phương trình phức tạp). Tính giá trị của x từ phương trình sau:  3 2 4  (),0 15 2 + ,0 35 2 ÷ ()3x + 2,4 . + .  4 3 5 1   = 3 ÷ ()2,1 + ,3 15 2 3  12  2 12 5, − . : ()5,0 − ,0.3,0 75 ÷ 3 5  17  Giải Ta chia nhỏ ra từng cụm rồi giải tìm x: 1 70 Vế phải = 3 ÷ ()2,1 + ,315 = shift STO A 2 87 2 3  12 4291 Mẫu số = 12 5, − . ÷ ()5,0 − ,0.3,0 75 ÷ = shift STO B 3 5  17 374  3 2 4  Lấy: alphaA × alphaB ÷  + .  = shift STO C  4 3 5  Tính tiếp: 0,15 2 + 0,35 2 = ÷ alpha C = - 4,2 = ÷ 3 (Kết quả: x ≈ − ,1 393280754 ) 7 Vậy giá trị x cần tìm là . 5 Dạng 2: Giải hệ của phương trình:  x  = ,0 681  y (x, y > 0) 2 2 x + y = 19.32 Giải  x  = ,0 681  x = ,0 681y  x = ,0 681y Ta có:  y ⇔  2 2 ⇔  2 2 2 (),0 681y + y = 19,32  ,1 463761y = 19,32 x + y = 19,32 Do x, y > 0 nên y ≈ 3,633025743 ⇒ x ≈ 2,474090531 Vậy nghiệm gần đúng (x;y) của hệ phương trình là (8,988434587;13,19887605) Dạng 3: Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình: x − x = 1 Giải Đề tìm nghiệm gần đúng ta sử dụng chương trình cài sẵn trong máy là shift SOLVE. Nhập vào máy là: alpha X - x alpha X alpha = 1 shift SOLVE Trang 43 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Máy hỏi giá trị gán X? 0 = Nghiệm tìm được là: x ≈ 2,618033989 Vậy một nghiệm gần đúng của phương trình là x = 2,618033989 Dạng 4: a, Cho phương trình sau, tính x theo a, b (với a > 0; b > 0) a + b x = 2 + a − b x b, Aùp dụng tính x khi a = 24205; b = 25206. (Làm tròn đến số thập phân thứ 7) Giải a, Đặt y = b x (Điều kiện: a > y; x > 0) a + b x = 2 + a − b x ⇔ a + y = 2 + a − y ⇔ a + y − a − y = 2 {‘Cần phải chuyển vế’} ⇔ 2a − 2 a 2 − y 2 = 4 2a − 4 ⇔ a 2 − y 2 = 2 ⇔ a 2 − y 2 = a 2 − 4a + 4 ⇔ y = 4a − 4 = 2 a −1 2  2 a −1    Vậy: x =    b  b, Khi a = 24205; b = 25206 thì x ≈ 0,0001524. Dạng 5: (Phương trình nghiêm nguyên). 5.1 Tìm x, y, z nguyên dương sao cho: 3xyz – 5yz + 3x + 3z = 5. Giải Ta có: 3xyz − 5yz + 3x + 3z = 5 ⇔ 3()()xyz + x + z = 5 1+ yz Vì x, y, z là những số nguyên dương nên:  1+ yz = 3  hay: 3x + z = 5 xyz + x + z = 5 Suy ra: y =1; z = 2; x = 1. x + y + z =100  5.2 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: z 5x + 3y + = 60  5 Giải x + y + z =100 x =100 − y − z   z ⇔ z 5x + 3y + = 60 5()100 − y − z + 3y + = 60 Ta có:  5  5 24z 5y − 8 ⇒ 2y + = 440 ⇔ z = 91− 5 12 5y − 8 Do x, y, z ∈ N* nên ∈ N * 12 Trang 44 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 5y − 8 8 Nếu = 0 thì y = (loại). 12 5 5y −8 Nếu = 1 thì y = 4 => z = 90 => x = 6. 12 5y −8 Nếu = 2 thì y = 6,4 (loại) 12 5y −8 Nếu = 3 thì y = 8,8 (loại). 12  x = 6  Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:  y = 4  z = 90 Bài tập tự luyện: 4.5.1: Tìm x biết: 15 ,0.2, 25 − 48,51÷14 7, x a, =  13 2 5 5  5  1   − − ÷  ÷ 2,3 + .8,0 5 − ,3 25  44 11 66 2  6  2    1   3  1   x − 4  ÷ ,0 003  3,0 −  1.  2 20 2  1 b,    −    ÷ 62 +17,81÷ ,0 0137 =1301  1  1  3  1  20 3 − ,2 65 4. ÷  ,188 + 2 .  20  5  25  8  4.5.2: Tìm x làm tròn đến 4 chữ số ở phần thập phân.  1 1 1 1   + + + + ×140 + ,1 08 ÷[]3,0 ×()x −1 =11  21× 22 22× 23 23× 24 29.30  4.5.3: Tìm nghiệm của phương trình. (Tính chính xác) 4 1 2 + = 4 + 1 8   2 + 1+   1     3+ 9  2  4 2 + x − 1+  4 4  1   1+  2 +    7   5   1+   8   x  = ,1125 4.5.4: Cho hai số dương x và y thoã mãn điều kiện:  y 2 2 x − y = ,2 456 Hãy trình bày lời giải tìm giá trị của x và y. Tìm giá trị x, y 4.5.5: Giải hệ phương trình: (x + y)(y + z) =187  (y + z )(z + x ) =154 với x, y, z là những số dương.  (z + x )(x + y ) = 238 4.5.6: Cho các điều kiện sau: x y z = = và 3x + 2y – 5z = 12,24. Tính x, y, z. 5 3 7 Trang 45 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 4.5.7: Cho phương trình: 3 2 2x + mx + nx +12 = 0 có hai nghiệm x 1 = 1; x 2 = - 2. Tìm m, n và nghiệm còn lại. 4.5.8: Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình: a, x − x = 1 b, 4 x + 5 x = 6 x x x 4.5.9: Giải phương trình: (5 − 2 6) + (5 + 2 6) = 10 4.5.10: Giải phương trình sau, tính x theo a và b với a, b > 0. a + b 1− x =1+ a − b 1− x Cho biết a = 250204, b = 260204. Tính giá trị của x. 4.5.11: Giải phương trình: x +178408256 − 26614 x +1332007 + x +178381643− 26612 x +1332007 =1 4.5.12: Cho phương trình: ,2 145x 2 + ,5 125x − ,7 456 = 0 a, Viết quy trình ấn phím liên tục để tính và tìm nghiệm x 1, x 2. (Không sử dụng chương trình cài sẵn trên máy). 1 1 b, Không giải phương trình tính: 2 2 và 3 3 (Lấy toàn bộ kết quả ở màn hình) x1 + x2 x1 + x2 4.5.13: Cho phương trình: ,3 62x3 − ,1 74x 2 − ,1 65x + m = 0 a, Biết phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm m. b, Tìm các nghiệm còn lại của phương trình với giá trị của m vừa tìm được. 4.5.14: Tìm cặp số tự nhiên (x;y) với x nhỏ nhất có 3 chữ số và thoã mãn phương trình: x3 – y2 = xy. 4.5.15: Tìm cặp số tự nhiên (x;y) với x là số tự nhiên nhỏ nhất và thoã mãn phương trình: 3 156x 2 + 807 + ()12x 2 = 20y 2 + 52x + 59 4.5.16: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoã x + y = 1989 4.5.17: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoã x + y = 2012 4.5.18: Cho bốn số nguyên, nếu cộng ba số bất kì ta được các số là: 2129, 2130, 4062, 4102. Tìm số lớn nhất của các số nguyên đó. 4.5.19: Cho 4 số nguyên nếu cộng ba số bất kì ta được các số là: 180, 197, 208, 222.Tính tích của các số nguyên đó. 4.5.20: Cho 4 số nguyên nếu tích ba số bất kì ta được các số là: 336, 378, 432, 504. Tìm số bé nhất trong các số nguyên đó. 4.5.21: Cho phương trình: x 2 6. − x + 6 x + 2 = x 2 6. x + 6 2− x . Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình. Tính S 15 . (Chính xác) Trang 46 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 6. HÀM SỐ 1. Giới thiệu sơ đồ Hocner: 5 4 3 2 Xét đa thức: P()x = a0 x + a1x + a2 x + a3 x + a4 x + a5 = 0 và x = k là ngiệm phương trình thì: a0 a1 a2 a3 a4 a5 x = k a0 a0.k + a1 = b0.k + a2 = b1.k + a3 = b2.k + a4 = r = b 3.k + a5 = b0 b1 b2 b3 0 4 3 2 ⇒ P()x = (x − k)(a0 x + b0 x + b1x + b2 x + b3 ) Sơ đồ Hocner ngoài phân tích đa thức ra còn có nhiều ứng dụng khác như tìm số dư r, tìm hệ số của thương hai đa thức . 2. Định lý Buzoul: Số dư trong phép chia đa thức f()x cho nhị thức g ()x = x − a là hằng số bằng f ()a 4 3 2 Dạng 1: Cho P()x = x + ax + bx + cx + d . Biết P (1) = 5; P (2) = 7; P (3) = 9; P (4) = 11. Tính P (10) ; P(11) ; P (12) ; P (13) . Giải Cách 1: Đồng nhất thức. Đặt P()x = (x −1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)+ a'(x −1)(x − 2)(x − 3)+ b'(x −1)(x − 2)+ c'(x −1)+ d' Với x = 1 thì P (1) = d’ = 5 Với x = 2 thì P (2) = c’ + 5 = 7 ⇒ c’ = 2 Với x = 3 thì P (3) = 2b’ + 4 + 5 = 9 ⇒ b’ = 0 Với x = 4 thì P (4) = 6a’ + 6 + 5 = 11 ⇒ a’ = 0 4 3 2 Do đó : P()x = (x −1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)+ (2 x − )1 + 5 = x − 8x + 35x − 48x + 30 Vậy giá trị của: P(10) = 3047 P(11) = 5065 P(12) = 7947 P(13) = 11909 Cách 2: Lập hệ phương trình. Ta có: x = 1 ⇒ 1 + a + b + c + d = 0 (1) x = 2 ⇒ 16 + 8a + 4 b + 2c + d = 7 (2) x = 3 ⇒ 81 + 27a + 9b + 3c + d = 9 (3) x = 4 ⇒ 256 + 64a + 16b + 4c + d =11 (4) Từ (1) ⇒ d = 4 – a – b – c thay vào phương trình (2), (3), (4). Ta được:  7a + 3b + c = −13 a = −10    26a + 8b + 2c = −76 ⇔  b = 35 ⇒ d = 27   63a +15b + 3c + −249 c = −48 4 3 2 Do đó : P()x = (x −1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)+ (2 x − )1 + 5 = x − 8x + 35x − 48x + 30 Vậy giá trị của: P(10) = 3047 P(11) = 5065 P(12) = 7947 P(13) = 11909 Cách 3: Tìm quy luật số dư. Ta có: 5 = 2.1 + 3 7 = 2.2 + 3 Trang 47 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 9 = 2.3 + 3 11 = 2.4 + 3 ⇒ 5, 7, 9, 11 là giá trị của 2x + 3 khi x chạy từ 1 đến 4. P(1) – 2.1 + 3 = 0 P(2) – 2.2 + 3 = 0 P(3) – 2.3 + 3 = 0 P(4) – 2.4 + 3 = 0 Đặt Q (x) = P (x) – (2x + 3) ⇒ Q(1) = Q (2) = Q (3) = Q (4) = 0 Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) 4 3 2 Suy ra: P()()x = Q x + 2( x + 3 = (x −1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)+ (2 x − )1 + 5 = x − 8x + 35x − 48x + 30 Vậy giá trị của: P(10) = 3047 P(11) = 5065 P(12) = 7947 P(13) = 11909 Nhận xét về 3 cách làm: Cách 1 và 2 thì chỉ sử dụng được cho giá trị của đa thức lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức đó. Cách 3 ta khó tìm được quy luật số dư. Trong 3 cách trên thì học cần nắm vững cách 1 dễ ứng dụng vào bài tập, không gây phức tạp. Dạng 2: Cho phương trình : x5 − 8x4 + 21x3 − 34x2 + 80x − 96 . Hãy phân tích đa thức này thành nhân tử. Giải Phân tích đề: Để phân tích đa thức thành nhân từ thì ta cần phải tìm nghiệm của chúng mà đây là một phương trình bậc 5 trong máy tính không giải được. Bài này cần áp dụng cách dò tìm nghiệm SOLVE + sơ dồ Hocner. Ta đặt: x5 −8x 4 + 21x3 − 34x 2 + 80x − 96 = 0 và tìm nghiệm của phương trình này bằng chương trình SLOVE. Nhập đa thức x5 − 8x4 + 21x3 − 34x2 + 80x − 96 vào máy và nhấn tiếp shift SOLVE . Kết quả cho x = 2. Tiếp theo cần phải sử dụng sơ đồ Hocner để hạ bậc đa thức. 1 -8 21 -34 80 -96 x = 2 1 1. 2 + (-8) -6. 2 + 21 9. 2 + (-34) -16. 2 + 80 r = 48. 2 + (-96) = -6 = 9 = -16 = 48 = 0 4 3 2 ⇒ f()x = (x − 2)(x − 6x + 9x −16x + 48) Nhập đa thức (x4 − 6x3 + 9x2 −16x + 48) vào máy rồi nhấn tiếp shift SOLVE . Kết quả cho x = 4 Dùng sơ đồ Hocner hạ bậc tiếp. 1 -6 9 -16 48 x = 4 1 1. 4 + (-6) = -2 -2. 4 + 9 = 1 1. 4 + (-16) = -12 r = -12. 4 + 48 = 0 3 2 ⇒ f()x = (x − 2)(x − 4)(x − 2x + x −12) Bậc cao nhất bây giờ chỉ là bậc 3. Ta chỉ việc giải nghiệm trong EQN. Kết quả có 1 nghiệm bằng 3 và 2 nghiệm kia thuộc số phức. Trong chương trình cấp II ta không đề cập tới. Chỉ hiểu là vô nghiệm. Dùng Hocner hạ bậc tiếp. 1 -2 1 -12 x = 3 1 1. 3 + (-2) = 1 1. 3 + 1 = 4 4. 3 + (-12) = 0 Vậy: 2 f()x = (x − 2)(x − 3)(x − 4)(x + x + 4) Trang 48 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Chú ý: Khi sử dụng shift SOLVE để dò tìm nghiệm thì giá trị nghiệm không tuân thủ theo thứ tự nào cả, có khi ta không tìm thấy nghiệm vì giá trị gán . Khi ta nhập đa thức đề bài x5 − 8x 4 + 21x3 − 34x 2 + 80x − 96 mà gán biến x là 0 thì sẽ tìm ra nghiệm là x = 2. Gán x là 6 thì tìm ra nghiệm là x = 4. Vì vậy một số bài ta chọn giá trị gán cho phù hợp. 3 2 Dạng 3: Cho P(x) = 6x − 7x −16x + m . Với điều kiện nào của m để P (x) chia hết cho 2x + 3. Giải Để P (x) chia hết cho 2x + 3 thì P−3 = 0 nên: 2 3 2  − 3  − 3   − 3 .6   − .7   −16.  + m = 0  2   2   2  ⇒ m = 12. Vậy m = 12 thì P (x) chia hết cho 2x + 3. Giải thích: P(x) chia hết cho 2x + 3 thì P (x) = Q (x) .(2x + 3) − 3 Khi x = thì Q (x) .(2x + 3) = 0 ⇒ P−3 = 0 2 2 3 2 Dạng 4: Tìm số dư trong phép chia: Px = (3x − 7x + 5x − 20) cho (4x – 5) Giải Số dư r trong phép chia P x cho (4x – 5) là: 3 2  5   5  5 1205 r = P5 = .3   − .7   + .5 − 20 = − 4  4   4  4 64 1205 Vậy số dư: r = − 64 Giải thích: Px chia cho (4x – 5) thì P x = Q x(4x – 5) + r 5 Khi x = thì Q x(4x – 5) = 0 ⇒ r = P5 4 4 Dạng 5: Tìm phần dư khi chia đa thức x100 − 2x51 +1 cho x 2 −1. Giải 100 51 2 Gọi thương của phép chia x − 2x +1 cho x −1 là một đa thức Q (x) phần dư là (ax + b). 100 51 2 Ta có: x − 2x +1 = (x − )1 .Q (x) + (ax + b). (*) Thay x = 1 và x = -1 vào (*) ta có:  0 = a + b a = −2  ⇔  4 = −a + b  b = 2 Vậy phần dư của phép chia đa thức x100 − 2x51 +1 cho x 2 −1 là -2x + 2 Lưu ý: Đa thức chia là một đa thức bậc hai nên phần dư của phép chia là đa thức bậc nhất. Vậy đa thức chia là một đa thức n thì phần dư của phép chia đa thức là một đa thức bậc n-1. 5 2 2 Dạng 6: Cho đa thức: f()x = x + x +1có 5 nghiệm là x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. Kí hiệu p()x = x −81. P = p p p p p Hãy tìm tích: ()()()()()x1 x2 x3 x4 x5 Giải Trang 49 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 5 2 Ta có: f()x = x + x +1 có 5 nghiệm là x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 nên 5 2 f()x = x + x +1 = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 )(x − x5 ) 2 2 2 2 2 P = p()()()()()1 p 2 p 3 p 4 p 5 1 = (x1 − 81)(x2 − 81)(x3 − 81)(x4 − 81)(x5 − 81) = −(9 − x )(9 + x )(9 − x )(9 + x )(9 − x )(9 + x )(9 − x )(9 + x )(9 − x )(9 + x ) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 = (9 − x1 )(9 − x2 )(9 − x3 )(9 − x4 )(9 − x5 )(− 9 − x1 )(− 9 − x2 )(− 9 − x3 )(− 9 − x4 )(− 9 − x5 ) 5 2 5 2 = f()()9 . f −9 = []9 + 9 + .1 []()()− 9 + − 9 +1 = −3486777677 Vậy P = −3486777677 Bài tập tự luyện. 4.6.1: Cho phương trình x3 + ax 2 + bx −1= 0 . 7x1 + 5x2 + 3 = 0 Tìm a, b ∈ Q. Biết phương trình có hai nghiệm là  . 3x1 + 5x2 + 7 = 0 4.6.2: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x4 − 2x3 + 2x2 + 2x − 3 b, 2x 4 − 3x 3 −14x 2 − x +10 4.6.3: Với a là số nguyên. 5 4 3 2 a, Chứng minh rằng: P()a = a −8a + 21a − 34a + 80a − 96 chia hết cho 6 với mọi a ∈ Z. b, Tìm số dư trong phép chia P (a) : (a – 2,652). c, Tìm hệ số của a 2 trong đa thức thương của phép chia trên. 4.6.4: Tìm số dư trong phép chia: x 5 − ,6 723x 3 + ,1857x 2 − ,6 458x + ,4 319 a, x + ,2 318 b, x5 − ,7 834x3 + ,7 581x 2 − ,4 568x + ,3194 cho (x – 2,652). 4.6.5: Tìm thương và số dư trong phép chia: 2x 6 + x 5 – 3x 2 + 1 cho (x – 7) 5 4 3 2 4.6.6: Cho đa thức f()x = x + ax + bx + cx + dx + e. Biết f(1) = 5; f(2) = 5; f(3) = 9; f(4) = 17; f(5) = 29. Tính f(6); f(7); f(8); f(9); f(10); f(11). 4.6.7: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức: 3 2 P()x = ax + bx + cx − 2010 để P (x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3. (Kết quả lấy 2 chữ số ở phần thập phân). 35x 2 − 37x + 59960 a bx + c 4.6.8: Cho P = ;Q = + x3 −10x 2 + 2010x − 20100 x −10 x 2 + 2010 2009 a, Tính giá trị của P khi x = − (Làm tròn 4 chữ số thập phân). 2010 b, Với giá trị nào của a, b, c thì P = Q đúng với mọi x thuộc tập xác định. 4 3 2 2 4.6.9: Cho đa thức: P()x = x − 4x −19x +106x + m . Tìm m để P (x) chia hết cho x + 2x −15 . 1 1 13 82 32 4.6.10: Cho đa thức: P = x9 − x7 + x5 − x3 + x ()x 630 21 30 63 35 a, Tính giá trị của P (x) khi x = -4, -3, -2, 3, 4. b, Chứng minh rằng P (x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. Trang 50 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 7. TOÁN ĐỐ Dạng 1:(Lãi kép) Một người gửi vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất là m% một tháng. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi cuối tháng thứ n người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi? Giải Sau 1 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a + a.m% = a.(1 + m%) Sau 2 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a.(1 + m%) + a.(1 + m%).m% =a.(1 + m%) 2 Sau 3 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a.(1 + m%) 2 + a.(1 + m%) 2.m% =a.(1+m%)3 Sau n tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a.(1+m%) n Dạng 2:(Gửi cộng dồn) Một người gửi hàng tháng vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất là m% một tháng. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi cuối tháng thứ n người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi? Giải Sau 1 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a + a.m% = a.(1 + m%) Sau 2 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: a.(2 + m%) + a(2 + m%).m% = a.(2 + m%)(1+m%) a (1 + m % ). (1 + m % )2 − 1 = [ ] m % a (1 + m % ). (1 + m % )2 − 1 Sau 3 tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: [ ]+ a + m % a (1 + m % ). (1 + m % )2 − 1 = ( [ ] + a ). m % m % a (1 + m % ). (1 + m % )3 − 1 = [ ] m % a (1 + m % ). (1 + m % )n − 1 Sau n tháng thì số tiền cả gốc lẫn lãi là: [ ] m % Dạng 3: Một người mua một món đồ với số tiền là A đồng và trả góp hàng tháng với số tiền là a đồng, lãi suất là m%/tháng. Hỏi sau bao lâu người đó trả hết tiền. Giải Sau 1 tháng số tiền nợ còn lại là: (A – a).(m% + 1) = A(m% +1) - a(m% + 1) Sau 2 tháng số tiền nợ còn lại là: [A(m% +1) – a(m% + 1) - a ].(m% + 1) = A.(m%+1) 2 – a[(m% + 1) 2+(m% + 1)] Sau 3 tháng số tiền nợ còn lại là:{A.(m% + 1) 2 – a[(m%+1) 2+(m%+1)] - a}.(m% +1) Trang 51 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II = A.(m% +1) 3 – a[(m% + 1) 3+(m% + 1) 2+(m% + 1)] (m% +1)4 − (m% +1) = A.(m% + )1 3 − a. m% (m% +1)n+1 − (m% +1) Sau n tháng số tiền nợ còn lại là: A.(m% + )1 n − a. m% (m% +1)n+1 − (m% +1) Khi người ấy trả hết nợ tức là: A.(m% + )1 n − a. = 0 m% Dạng 4: Một người được lãnh lương khởi điểm là a đồng/tháng. Cứ t tháng (1 bậc) anh ta lại được tăng lương thêm m%. Hai sau nt tháng (n bậc) làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền. Giải Sau t tháng số tiền mà anh ta nhận được tất cả là: a.t Sau 2t tháng số tiền mà anh ta nhận được tất cả là: a.t + a.t(1 + m%) = a.t(2 + m%)  (1 + m % )2 − 1 = a t    m %  2 (1 + m%) − 1 2 Sau 3t tháng số tiền mà anh ta nhận được tất cả là: a t   + a.t()1 + m%  m%   (1 + m % )3 − 1 = a t    m %   (1 + m % )n − 1 Sau n bậc số tiền mà anh ta nhận được tất cả là: a t    m %  Chú ý: Đây là 4 dạng bài tập hay ra trong thi (Nhất là dạng 1,2). Phía trên là trình bày dưới dạng tổng quát. Khi làm bài nên lưu ý đọc kĩ đề bài xem có yêu cầu trình bay tường bước không! Đa số các bài tập thì chỉ cần ta thuộc công thức và áp dụng vào là xong. Dạng 5: Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10 000 người. Người ta dư tính 2 năm nữa dân số xã Hậu Lạc là 10 404 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm. Hỏi sau 10 năm nữa dân số xã Hậu Lạc là bao nhiêu? Giải Cách 1: Gọi x% là tỉ lệ phần trăm tăng dân số trung bình mỗi năm. Theo đề bài ta có: Dân số xã Hậu Lạc sau 1 năm là: x 10000 + .10000 =10000 +100x. 100 Dân số xã Hậu Lạc sau hai năm là: x 10000 +100x + ()10000 +100x =10000 + 200x + x 2 =10404 100 Trang 52 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Giải phương trình ta có: x 1 = 2, x 2 = -202 (loại). Vậy tỉ lệ gia tăng dân số của xã Hậu Lạc là 2%. Cách 2: Áp dụng công thức: Dân số sau n năm là: a(1 + m%) n. Trong đó: a là số dân hiện tại, m% tỉ lệ gia tăng dân số. 10000 (1. + m%)2 = 10404 ⇒ m = 2% b, Áp dụng công thức: Ta có dân số xã Hậu Lạc sau 10 năm là: 10000 (1. + 2%)10 ≈12190 (người) Dạng 6: Bốn người góp vốn buôn chung. Sau 5 năm, tổng số tiền lãi nhận được là 9 902 490 255 đồng và được chia theo tỉ lệ giữa người thứ nhất và người thứ hai là 2:3, tỉ lệ giữa người thứ hai và người thứ ba là 4:5, tỉ lệ giữa người thứ ba và người thứ tư là 6:7. Hỏi số tiền mỗi người nhận được là bao nhiêu? Giải Phân tích: Bài này ta gọi 4 ẩn rồi giải phương trình 4 ẩn cũng sẽ ra. Nhưng để đơn giản ta gọi 1 ẩn, rồi biểu diễn các giá trị còn lại theo ẩn này, giải sẽ nhanh hơn. Gọi số tiền lãi mà người thứ nhất nhận được là: a (Điều kiện : 0 < a < 9 902 490 255) Theo đề bài ta có: 3a Số tiền người thứ hai nhận được là: 2 3a 5 15a Số tiền người thứ ba nhận được là: . = 2 4 8 15a 7 35a Số tiền người thứ tư nhận được là: . = 8 6 16 3a 15a 35a Giả lại: a + + + = 9 902 490 255 2 8 16 ⇒ a = 1.508.950.896 Số tiền lãi của người thứ nhất là: 1 508 950 896 đồng Số tiền lãi của người thứ hai là: 2 263 426 344 đồng. Số tiền lãi của người thứ ba là: 2 829 282 930 đồng. Số tiền lãi của người thứ tư là: 3 300 830 085 đồng. Dạng 7: Một người dự định bỏ thóc vào 20 ô theo nguyên tắc: Ô thứ nhất bỏ 1 hạt thóc, ô thứ hai bỏ 3 hạt thóc, ô thứ ba bỏ 9 hạt thóc, ô thứ tư bỏ 27 hạt thóc cho đến ô thứ 20. Bạn hãy giúp người đó tính số thóc cần vừa đủ để bỏ thóc theo nguyên tắc trên. Giải Số thóc cần có để đáp ứng đúng cách bỏ theo nguyên tắc trên là: 320 −1 1+ 3+ 32 + 33 + 319 = =1743392200 (hạt thóc) 2 Dạng 8.1: Một nguời bán một vật trị giá 32 000 000 đồng. Người đó ghi giá bán, định thu lợi 10% giá ở trên. Tuy nhiên ông ta đã hạ giá 0,8% so với dự định. Tìm: a, Giá đề bán. b, Giá bán thực tế. c, Số tiền mà ông ta đuợc lãi. Trang 53 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Giải a, Giá đề bán: 32 000 000 + 32 000 000 × 10% = 35 200 000 đồng. b, Giá bàn thực tế: 35 200 000 – 35 200 000 × 0,8% = 34 918 400 đồng. c, Số tiền lãi mà ông ta thu được là: 34 918 400 – 32 000 000 = 2 918 400 đồng. Dạng 8.2: Một người bán lẻ mua một món hàng với giá 24.000 đồng giảm 12,5%, sau đó 1 người bán hàng với số tiền lời bằng 33 % giá vốn sau khi đã giảm bớt 20% giá niêm yết. 3 Hỏi anh ta đã niêm yết món hàng đó giá bao nhiêu? Giải Phân tích đề: Đọc có vẻ phức tạp nhưng chỉ cần tính từ từ từng bước là ra được đáp án. Theo đề bài ta có: Người bán lẻ đã mua mán hàng đó giá: 24000 (1. −12 5, %) = 21000 (đồng) 1 Tiền lãi mà người này thu được sau khi bán mòn hàng là: 21000.33 % = 7000 (đồng) 3 21000 + 7000 Giá tiền mà người bán lẻ này niên yết là: = 35000 (đồng) 1− 20% Dạng 9: Để làm xong một một cái chiếu, anh Hai làm một mình hết 4,5 (giờ), chị Ba là một mình mất 3 giờ 15 phút. Hỏi hai người làm chung thì mất mấy giờ để xong 5 cái chiếu. Giải Gọi thời gian hai người làm chung thì xong một cái chiếu là x. Theo đề bài ta có:    1 1  x. +  =1⇔ x =1h53'13,55 ''  5,4 1   3   4  Vậy thời gian hai người làm chung xong 5 cái chiếu là 5 × 1h53’14’’ = 9 h26’10’’. Bài tập tự luyện: 4.7.1: Cô Anh gửi tiết kiệm vào ngân hàng một số tiền là 20 000 000 đồng với lãi suất là 0,8% một tháng (lãi kép). Hỏi sau tròn 5 năm số tiền trong sổ tiết kiệm của cô là bao nhiêu (Chính xác đến hàng đơn vị). 4.7.2: Cô Hạnh gửi hàng tháng vào ngân hàng một số tiền là 1 000 000 đồng với lãi xuất là 0,8%. Sau 12 tháng cô Hạnh nhận được bao nhiêu tiền lãi? (Chính xác đến hàng đơn vị). 4.7.3: Cô Hạnh được lãnh lương khởi điểm là 1700 000 đồng/tháng. Cứ 1 năm thầy lại được tăng lương thêm 7%. Hai sau 12 năm dạy học thầy được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền. (Lấy chính xác đến hàng đơn vị) 4.7.4: Thầy Quý gửi một số tiền 58 000 USD được gửi tiết kiệm theo lãi suất kép. Sau 25 tháng thì số tiền cã vốn lẫn lãi là 84 155 đô la. Tính lãi suất. 4.7.5: a, Thầy Lộc gửi tiết kiệm vào ngân hàng 10.000 USD theo mức kì hạn là 6 tháng với lãi suất 2,5%/kì. Hỏi sau 10 năm thầy nhận được bao nhiêu tiền cả góc lẫn lãi ở ngân hàng. Biết rằng thầy không rút lãi ở tất cả các kì. Trang 54 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II b, Nếu với số tiền trên thầy gửi tiết kiệm theo mức kì hạn là 3 tháng với lãi suất 1,2%/kì thì sau 10 năm thầy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫm lãi ở ngân hàng. Biết rằng thầy không rút lãi ở tất cả các định kì.(Tất cả làm tròn ở hàng đơn vị). 4.7.6: Anh Nam muốn sau 2 năm phải có 450 000 000 đồng để mua một ngôi nhà. Hỏi hàng tháng anh Nam phải gửi vào ngân hàng nột khoản tiền như nhau là bao nhiêu? Biết lãi xuất tiết kiệm là 0.35%/tháng. (Lấy chính xác đến hàng đơn vị). 4.7.7: Thầy Cương mua một mảnh đất trên Gia Lai trị giá 200 000 000 đồng. Theo phương thức trả góp hàng tháng: a, Nếu ông ta chịu lãi suất 0,4%/tháng và mỗi tháng phải trả 20 000 000 đồng. Hỏi sau bao lâu ông ta trả hết tiền. b, Nếu mỗi tháng phải trả 30 000 000 đồng trong vòng 9 tháng. Hỏi lãi suất hàng tháng ông ta phải chịu là bao nhiêu? 4.7.8: Ông Hai Lúa có 100 000 USD muốn gửi tiết kiệm vào ngân hàng trong khoảng 10 năm. Có 2 ngân hàng cho ông Hai lựa chọn là: Ngân hàng An Phú với trả lãi suất 5%/năm. Ngân 5 hàng Tân Lợi trả lãi suất % /tháng. Ông Hai không biết lựa chọn ngân hàng nào để có lời 12 nhiều hơn hết? Bạn giúp ông Hai chọn ngân hàng có lãi nhiều hơn. 4.7.9: Lãi suất tiền lãi gửi tiết kiệm của một ngân trong một thời gian thay đổi liên tục. Anh Lịch gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15%/tháng trong nữa năm tiếp theo và anh Lịch tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9%/tháng, anh Lịch tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền anh Lịch được tất cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng. Hỏi anh Lịch đã gửi tiết kiệm trong bao nhiêu tháng? 4.7.10: Dân số của một nước là 65 triệu người, mức tăng dân số trong một năm là 1,2%. a, Viết công thức tính dân số sau n năm. b, Viết quy trình ấn phím tính dân số sau 20 năm. c, Dân số nước đó sau n năm sẽ vượt 100 triệu. Tìm số n bé nhất. 4.7.11: Sáu người góp vốn mở một cửa hàng kinh doanh. Sau một thời gian, số tiền lãi thu được là 9 876 543 210 đồng và chia ra theo tỉ lệ giữa người thứ nhất và người thứ hai là 1 : 2, người thứ hai và người thứ ba là 3 : 4, người thứ ba và người thứ tư là 5 : 6, người thứ tư và người thứ năm là 7 : 8, người thứ năm và người thứ sáu là 9 : 10. Hỏi số tiền lãi của mỗi người sau khi chia ra là bao nhiêu? (Lấy chính xác đến hàng đơn vị) 4.7.12: Để đắp một con đê, địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm: học sinh, nông dân, công nhân và bồ đội. Thời gian là việc như sau (Giả sử thời gian làm việc của mỗi người trong một nhóm là như nhau). Nhóm bồ đội mỗi người làm việc 7 giờ; nhóm công nhân mỗi người làm việc 4 giờ; nhóm nông dân mỗi người làm việc 6 giờ và nhóm học sinh mỗi em làm việc 0,5 giờ. Địa phương cũng đã chi tiền bồi dưỡng như nhau cho từng người trong một nhóm theo cách: Nhóm bồ đội mỗi người nhận 50 000 đồng; nhóm công nhân mỗi người nhân 30 000 đồng; nhóm nông dân mỗi người nhân 70 000 đồng và nhóm hõc sinh mỗi em được nhận 2 000 đồng. Cho biết: Tổng số người của 4 nhóm là 100 người. Trang 55 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Tổng thời gian làm của của bốn nhóm là 488 giờ. Tổng số tiền của bốn nhím nhận là 5 360 000 đồng. Tìm số người trong từng nhóm là bao nhiêu người. 4.7.13: Một hình vuông được chia thành 16 ô (Mỗi cạnh 4 ô). Ô thứ nhất được đặt 1 hạt thóc, ô thứ hai được đặt 4 hạt thóc, ô thứ ba được đặt 16 hạt thóc và đặt liên tiếp như vậy đến ô cuối cùng theo quy luật là ô tiếp theo gấp 4 lần ô trước. Tính tổng hạt thóc được đặt vào 16 ô của hình vuông. 4.7.14: Lịch sử kể lại rằng: Có một người ở Hy Lạp đã nghĩ ra trò chơi cờ vua. Được nhà vua rất thích và ban thưởng cho người đã phát minh ra. Khi được nhà vua ban thưởng ông ta muốn có nhiều thóc và số thóc đặt theo quy luật là: Ô thứ nhất bàn cờ được đặt 1 hạt thóc, ô thứ hai bàn cờ được đặt 2 hạt thóc, ô thứ ba bàn cờ được đặt 4 hạt thóc và đặt liên tiếp như vậy đến ô cuối cùng (Ô tiếp theo gấp đôi ô trước). Biết rằng bàn cờ vua có 64 ô. Nhà vua cười mỉn, không suy nghĩ nhiều nhà vua liền đồng ý và ra lệnh cho cho các quan tính số thóc thưởng cho ông ta. Nhưng khi nghe số thóc phải thưởng thì nhà vua giật mình không biết tại sao? Bạn thử tính số thóc cần thưởng xem tạo sao nhà vua lại giật mình. 4.7.15: Một người bỏ bi vào hộp theo quy tắc: ngày đầu 1 viên, ngày sau bỏ gấp đôi ngày trước đó. Cùng lúc đó cũng lấy bi ra khỏi hộp theo nguyên tắc: ngày đầu và ngày thứ hai lấy 1 viên, ngày thứ ba trở đi mỗi ngày lấy ra số bi bằng tổng hai ngày trước đó. Tính số bi có được sau 15 ngày. Để số bi trong hộp lớn hơn 1000 cần bao nhiêu ngày? Trang 56 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 8. THỐNG KÊ Ghi nhớ: Phương sai bằng bình phương độ lệch tiêu chuẩn. Trong máy chỉ có hàm độ lệch chuẩn, để tính phương sai ta tính độ lệch chuẩn sau đó bình phương. Dạng 1: Cho bảng điểm của các bạn trong lớp 12A2 môn Toán như sau: Điểm 4 6 7 8 9 10 Tần số 1 5 9 20 3 1 Tính x và phương sai. Giải Quy trình ấn phím trên máy fx 570MS: Vào mode (SD): mode mode 1 Nhập dữ liệu vào máy: 4 DT 6 shift ; 5 DT 7 shift ; 9 DT 8 shift ; 20 DT 9 shift : 3 DT 10 shift ; 1 DT Shift 1 2 ( x ) = (Kết quả: 7,538461538) Shift 2 2 ( χση ) x 2 = (Kết quả: 1,120315582) Vậy số trung bình ≈7,538461538 và phương sai ≈1,120315582. Bài tập tự luyện: 4.8.1: Điểm môn Toán của 12 học sinh trong tổ 1 như sau: 3,4; 3,6; 4,5, 4,8; 5,1; 5,2; 5,7; 6; 6,4; 7,2; 7,8 Tính điểm trung bình tổng kết môn toán của tổ đó. Tính độ lệch tiêu chuẩn và phương sai đối với tổ đó. (Tất cả làm tròn 2 chữ số thập phân). 4.8.2: Cho bảng số liệu: Biến lượng 173 52 81 37 Tần số 3 7 4 5 Tìm số trung bình và phương sai (Kết quả lấy 6 chữ số ở phần thập phân) 4.8.3: Cho bảng số liệu: Biến lượng 7 4 15 17 63 Tần số 2 1 5 9 14 Tính số trung bình và phương sai. (Kết quả làm tròn 4 chữ số thập phân). Trang 57 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II BÀI 9. SỐ HỌC 1. DẤU HIỆU CHIA HẾT: Chia hết 2 là số tạn cùng là chữ số chẵn (0, 2, 4, 6, 8). Chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Ví dụ: 123 có tổng các chữ số: 1 + 2 + 3 = 6 M 3 ⇒ 123 M 3 Chia hết cho 4 là số có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4. Ví dụ: 128, hai chữ số tạn cùng là: 28 M 4 ⇒ 128 M 4 Chia hết cho 5 là số có tận cùng là: 0 hoặc 5. Chia hết cho 6 là số vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3. Chia hết cho 9 là số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Chia hết cho 10 là số có tận cùng là 0. Chia hết cho 11 là những số có tổng các chữ số ở vị trí lẽ bằng tổng những chữ số ở vị trí chẵn. 2. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC: Định nghĩa: Cho a, b là các số ngyuên và n là số nguyên dương. Ta nói, a đồng dư với b theo modum n và kí hiệu là a ≡ b(mod n) nếu a, b cùng có số dư khi chia cho n. Ứng dụng của đồng dư thức là tìm các chữ số tận cùng hoặc tìm số dư. Để làm được bài tập ta phải nắm một số tính chất sau để ứng dụng: Tính chất 1: a ≡ b(mod n) ⇒ a + c ≡ b + c(mod n), ∀c ∈ Z a ≡ b(mod n) ⇒ ac ≡ bc(mod n) a ≡ b(mod n) ⇒ a k ≡ b k (mod n), ∀k ≥ 1 Tính chất 2: Số có tận cùng là 9376 hay 0625 khi luỹ thừa lên bậc bất kì cũng được số tận cùng là chính nó. (Ta cũng có thể suy ra được số 376, 76, 6, 625, 25, 5 cũng có tính chất tương tự nhưng chỉ xét 3, 2 hay 1 chữ số). Ngoài ra còn có một số tính chất khác: a ≡ a(mod n ), ∀a a ≡ b(mod n) ⇒ b ≡ a(mod n) a ≡ b(mod n),b ≡ c(mod n) ⇒ a ≡ c(mod n) ac ≡ bc(mod n)va`(c, n) = 1 ⇒ a ≡ b(mod n) (a + b)n ≡ b n (mod a)(a > 0) 3. TÌM ƯCLN VÀ BCNN: A a A A.B = ⇒ UCLN()A,B = ; BCNN()A,B = A.b = B b a UCLN()A,B 4. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ: Cách phân tích: Ta tính căn bậc hai (SQRT) của số đó: A ≈ k,k ∈ N Chia số đó cho số 2 và các số lẽ 3, 5, 7, 9 bé hơn A . (Hiểu là chia cho các số nguyên tố bé hơn A ) Trang 58 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Ví dụ: Phân tích 1035 ra thừa số nguyên tố. Ta có: 1035 ≈ 32 Thực hiện phép chia thử: Số 1035 không chia hết cho 2. Lấy 1035 chia cho 3 được 345. Lấy 345 chia cho 3 được 115. Số 115 không chia hết cho 3. Lấy 115 chia cho 5 được 23. Vậy 1035 = 2.3.3.23 Dạng 1: Tìm số dư trong phép chia: 1234567890987654321 : 123456 Giải Ta thực hiện tìm số dư của 123456789 : 123456 là 789 Tìm tiếp số dư của: 7890987 ÷ 123456 là 113259 Tìm tiếp số dư: 113259654 ÷ 123456 là 50502 Số dư cuối cùng là: 50502321 ÷ 123456 là 8817 Vậy số dư là : 8817 Dạng 2: Tìm số dư của 2 2010 chia cho 9. Tìm 4 chữ số cuối cùng của số M = 5 2009 Giải 2.1 Áp dụng đồng dư thức, ta có: 23 ≡ -1 mod 9 670 22010 ≡ (23 ) ≡ (-1) 670 ≡ 1 Vậy số dư của 2 2010 chia cho 9 là 1. 2.2 Phân tích: Cũng là một ứng dụng của đồng dư thức, ta tìm số dư khi chia cho 10 000. Áp dụng đồng dư thức để tìm 4 chữ số tận cùng, ta có: 54 ≡ 0625 mod 10.000 55 ≡ 3125 (mod 10.000) {‘Từ bước này có thể bỏ (mod 10000)’} 52000 ≡ (5 4)500 ≡ (0625) 500 ≡ 0625 52009 ≡ 52000 .5 5.5 4 ≡ 0625.3125.0625 ≡ 3125 Vậy 4 chữ số tận cùng của M = 5 2009 là 3125 Dạng 3: Tìm tất cả các số có dạng 34x5y chia hết cho 36. Giải Ta có: 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9. (4; 9) = 1 ⇒ 5yM4 y ∈ {2; 6} Mà (3 + 4 + x + 5 + y) M 9 ⇔ 12 + x + y M 9 Xét y = 2 thì x = 4. Xét y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9. Vậy tất cả các cặp số (x; y) thoã mãn đề bài là: (4; 2), (0; 6), (9; 6). Trang 59 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 1 Dạng 4: Tìm chữ số thập phân thứ 2010 của 49 Giải 1 = 0,(02040816326530612244897959183673469 3877551) 49 Ta có phân số này viết ra số thập phân có chu kì tuần hoàn là 42, mà 2010 : 42 dư 37. 1 Vậy số phận phân thứ 2010 của cũng là số thập thứ 37 là số 3 49 Hướng dẫn cách tính chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn: - Lấy 1 : 49 được 0,020408163 Ta thực hiện phép nhân: 0,020408163 × 49 (Không được sử dụng Ans để thay cho 0,020408163). Kết quả được 0,999999987 Lấy 1 – Ans ( Ans = 0,999999987 ). Ta được 1,3 x 10 -8 (Ta phải biết 1,3 x 10 -8 = 13 x 10 -9){Vì ta đã lấy 9 chữ số thập phân} - Lấy 13 : 49 được 0,265306122 Ta thực hiện phép nhân: 0,265306122 x 49. Kết quả được 12,999999978 Lấy 13 – Ans ( Ans = 12,99999998). Ta được 2,2 x 10 -8 ( Ta phải biết 2,2 x 10 -8 = 22 x 10 -9). Ta sẽ tìm được chu kì của nó. Giải thích : Ta hiểu là: 1 : 49 = 0,020408163 + 0,00000000013:49 Ta lấy 13 : 49 nghĩa là tìm chữ phần thập phân tiếp theo của thương. = 0,020408163 + 0,000000000265303122 + 0,00000000000000000022:49 Quy tắc tìm giống như chia cột tính của chương trình toán lớp 5. Xem hình dưới đây: Ngoài ra còn có hai cách làm khác nhanh hơn cách trình bày trên, sẽ được hướng dẫn trong bài tập tự luyện. 3 2 32 23 Dạng 5: So sánh: 2 và 3 Giải Phân tích đề: Biểu thức ta hiểu nông na: cái mủ mủ cái mủ và mủ cái mủ. Nếu bấm: 2 ^ 3 ^ 2 ^3 = (Kết quả: 262144) là giá trị sai. Cách giải như sau: Ta có: Trang 60 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 23 8 23 = 23 = 26561 32 9 32 = 32 = 3512 Sử dụng tính chất bắt cầu , ta có: 128 128 128 > 81 ⇔ 27 > 34 ⇔ (27 ) > (34 ) ⇔ 2896 > 3512 6561 896 Giả lại 2 > 2 3 2 32 23 Vậy: 2 > 3 Dạng 6: Tìm ước số chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của 5782 và 9374. Giải Cách 1 : Lập tỉ số: Lập tỉ số giữa 2 số: 2891 5782 ÷ 9374 = (Kết quả là: ) 4687 5782 ⇒ ƯCLN (5782,9374) = = 2 2891 ⇒ BCNN(5782,9374) = 5782.4687 = 27100234 Cách 2: Sử dụng tiên đề Ơ-Clit. Phát biểu tiên đề Ơ-Clit: Gọi r là số dư của số A chia cho số B thì ƯCLN (A,B) = ƯCLN (B,r) Áp dụng tiên đề Ơ-Clit ta có: 9374 ÷ 5782 được số dư là 3592 ƯCLN (9374,5782) = ƯCLN (5782,3592) 5782 ÷ 3592 được số dư là 2190 ƯCLN (5782,3592) = ƯCLN (3592,2190) 3592 ÷ 2190 số dư là 1402 . ⇒ ƯCLN (9374,5782) là 2. 9374.5782 ⇒ BCNN (9374,5782) là = 27100234 2 Cách 3: Phân tích ra thừa số nguyên tố: Ta có: 9374 = 2.43.109 5782 = 2.7.7.59 ⇒ ƯCLN(9374,5782) là 2. ⇒ BCNN (9374,5782) là 2.43.109.7.7.59 = 27100234. Bài tập tự luyện 4.9.1: Viết quy trình ấn phím và tính số dư khi chia 201220122012 cho 2011 4.9.2: Tìm ước chung lớn nhất của bốn số sau: 22222, 505606, 714714, 999999. 4.9.3: Tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của 1996 và 2012. 4.9.4:Tính tổng tất cả các ước lẽ dương của 2010. 4.9.5: Tìm ước nguyên tố có một chữ số của: 230 −1 4.9.6: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 215 2 + 314 2 Trang 61 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II  3 3 3  4.9.7: Cho số M =  + + .670 . Phân tích M ra thừa số  ,0 20102010 ,0 020102010 ,0 0020102010  nguyên tố. 4.9.8: Có bao nhiêu số tự nhiên m là ước số của: N = 1890 × 1930 × 1945 × 1954 × 1969 × 1975 × 2010 nhưng không chia hết cho 900. 4.9.9: Tìm 4 chữ số tận cùng của: a, A = 201120123 +1 b, B = 415116213 −11 4.9.10: Tìm 3 chữ số tận cùng của 8 240 4.9.11: Tìm hai chữ số tận cùng của: a, 22011 + 22012 + 22013 b, 62011 + 6 2012 + 62013 4.9.12: Tìm chữ số hàng chục của 232012 4.9.13: Tìm số dư trong phép chia: 715 : 2012 4.9.14: Thực hiện phép chia số 1 cho số 23 ta được một số thập phân vô hân tuần hoàn. Tìm chu kì của nó. 4.9.15: Tìm chữ số thập phân thứ 2012 của: 3 95 a, b, 49 59 4.9.16: Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 13511, 13903, 14589 cho a được cùng một số dư. 4.9.17: Tìm n để n!≤ .5,5 1028 ≤ (n +1)! 4.9.18: Cho số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) sao cho an = 20203+ 21n cũng là số tự nhiên. a, Khi ấy a n phải nằm trong khoảng nào? b, Chứng minh rằng a n chỉ có thể là một trong các dạng: an = 7k +1 hoặc an = 7k −1(k ∈ N) c, Tìm các số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) sao cho an = 20203+ 21n cũng là một số tự nhiên. 4.9.19: Tìm x, y biết: 34x5yM36 4.9.20: Biết số có dạng A =1235679x4y chia hết cho 24. Tìm tất cả các số A. 4.9.21: Tìm các chữ số a, b, c, d để ta có: a .5 bcd = 7850 4.9.22: Tìm các chữ số a, b, c, d, để có: ab.bcd = 7850 4.9.23: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất có dạng D = 2x3yz6t với 0 ≤ x, y, z,t ≤ ;9 x, y, z,t ∈ N . Biết D chia hết cho 29. 4 4.9.24: Tìm hai số tự nhiên thoã: (ag) = a g . Trong đó là 5 những số không ấn định điều kiện. 4.9.25: Tìm các số a, b, c: abc = 10(a 2 + b 2 + c 2 ) 4.9.26: Tìm 9 cặp hai số tự nhiên nhỏ nhất (Kí hiệu là a và b, trong đó số a là số lớn, số b là số nhỏ) có tổng là bội của 2010 và thương của chúng bằng 5. Trang 62 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 4.9.27: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn đồng thời các điều kiện: - Số được tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu một đơn vị. - Số đó là số chính phương. 4.9.28: Một số có 6 chữ số trong hệ cơ số 10 được gọi là số gần vuông. Nếu nó thoã mãn các điều kiện sau: - Không chứa chữa số 0. - Là số chính phương. - Hai chữ số đầu, hai chữ số giữa và hai chữ số cuối đều tao thành những số chính phương có 2 chữ số. 4.9.29: Kí hiệu [x] là phần nguyên của x. Giải phương trình: [3 1]+ [3 2]+ + [3x 3 −1]= 855 4.9.30: Cho a = 1.2.3 17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp, bắt đầu từ số 1). Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó: - Lập phương của một số tự nhiên. - Bình phương của một số tự nhiên. 4.9.31: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thoã mãn điều kiện: chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia cho 7 dư 6, chia cho 8 dư 7, chia cho 9 dư 8, chia cho 10 dư 9. 4.9.32: Tìm tất cả các số mà khi bình phương sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay không các số mà khi bình phương sẽ có tận cùng là bốn chữ số 4. 4.9.33: Giả sử a là một số tự nhiên cho trước. a, Tìm hai chữ số tận cùng của a để bình phương của a có tận cùng là 89. b, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a mà bình phương của nó là một số bắt đầu bằng số 19 và kết thúc bằng số 89. c, Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 2 là một số 12 chữ số có dạng: n 2 = 2525 89 (Trong đó sáu dấu * biểu thị sáu chữ số, có thể giống và khác nhau). Tìm các số đó. 4.9.34: Tìm bốn chữ số tận cùng của n để n 3 có tận cùng là bốn chữ số 1. 4.9.35: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n 3 là một số có ba chữ số đầu và ba chữ số cuối đều bằng 1, tức là n3 = 111 1111. Tìm số đó và lập phương của nó. Trang 63 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 10. ĐỒ THỊ MẶT PHẲNG CÔNG THỨC CẦN NHỚ: 1, Đồ thị hàm số trong mặt phẳng: 2 2 A()()()()x1 ; y1 ; B x 2 ; y 2 ⇒ AB = x1 − x 2 + y1 − y 2  b  2, Đỉnh của Parabol (P) :  − ;−   2a 4a  3, Đồ thị hàm số trong không gian (Tham khảo). 2 2 2 A()()()()()x1; y1; z1 ; B x2 ; y2 ; z2 ⇒ AB = x1 − x2 + y1 − y2 + z1 − z2 Bài tập tự luyện 3 2 5 4.10.1: Cho hai hàm số: y = x + 2 (1) và y = − x + 5 (2). 5 5 3 Vẽ đồ thị của hai hàm số trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Tìm toạ độ của giao điểm A(x A;y A) của hai đồ thị. (Để kết quả dưới dạng phân số và hỗn số). 4.10.2: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm A(1;3), B( 2 3 ;-5), C(-4;- 3 3 ). Tính các khoảng cách AB; AC; BC. (Làm tròn 2 chữ số ở phần thập phân). Tính gần đúng diện tích ABC. (Làm tròn 3 chữ số ở phần thập phân). 4.10.3: Viết đúng phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm  2009 2010   2929 2020  A ; ;B− ;−   29 20   209 210  2 4.10.4: Cho (P) có phương trình y = 4,7x – 3,4x - 4,6. Tìm toạ đo đỉnh S(x 0;y 0) của (P). 4.10.5: Cho (P) y = ax 2 + bx + c đi qua điểm (-3;7) có đỉnh là (1;-12).Tìm các hệ số a, b, c. 4.10.6: Tính giá trị gần đúng với 5 chữ số thập phân của hoành độ giao điểm của (P) y = 4,7865x 2 – 3,5746x – 10,4972 với đường thẳng (d) y = 15x + 23 4.10.7: Xác định giá trị đúng của m và n để hai đường thẳng mx – (n + 1)y – 1 = 0 và nx + 2my + 2 = 0 cắt nhau tại điểm A(-1;3) 4.10.8: Tìm m, n biết khi chia đa thức x 2 + mx + n cho (x – m) và (x – n) số dư lần lượt là m và n. Hãy biểu diễn cặp giá trị m và n theo thứ tự m trên Ox và n trên Oy thuộc mặt phẳng Oxy. Tính khoảng cách giữa các điểm có toạ độ (m; n). Trang 64 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 11. HÌNH HỌC A. CÔNG THỨC, ĐỊNH LÝ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG: 1, Định lý hàm số sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C 2, Định lí hàm số cos: RẤT QUAN TRỌNG , ỨNG DỤNG NHIỀU a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2accos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C b.sin A a.sin B ⇒ a = ;b = sin B sin A 3, Đường trung tuyến: 2 2 2 a b + c − 2 2 2 2c + 2b − a m = 2 = a 2 2 4, Đường phân giác trong: 2 d = bcp()p − a a b + c 5, Đường phân giác ngoài: 2 d = bc(p −b )(p − c ) a b − c 6, Đường cao: a.sin B.sinC h = b.sinC = c.sin B = a sin A 7, Khoảng cách giữa 2 tâm của đường tròn ngoại và nội tiếp: R(R − 2r ) 8, Diện tích tam giác: S = p(p −a)(p −b)(p −c) abc abc S = ⇒ R = 4R 4S 1 1 1 S = .a b sin C = b c sin A = .a c sin B 2 2 2 S S = 2R2.sinA.sinB.sinC ⇒ R = .2 sinA.sinB.sinC S S = p.r ⇒ r = p 1 a2.sinB.sinC S = a.h = 2 a 2.sinA Trang 65 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 9, Ba đường phân giác cắt 3 cạnh tại A 1, B 1, C 1 thì: 2abc.S S = ABC A1B1C1 (a + b )(a + c )(b + c ) 11, Diện tích hình bình hành và hình thoi: S ABCD = AB.AD.sin α 12, Diện tích của hình thang cân có hai đường chéo vuông góc: 2  a + b  1 S =   = l 2 (l là đường chéo).  2  2 13, Diện tích tứ giác lồi nội tiếp khi biết 4 cạnh: S = p(p−a)(p−b)(p−c)(p−d) 14, Góc tạo bởi hai đường chéo: 2S sinα = ac + bd B. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Tên hình Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần Thể tích Hình trụ S = .2 π.R.h S = .2 π.R.h + .2 π.R 2 V = π.R 2 .h 1 Hình nón S = π.R.l S = π.R.l +π.R 2 V = .π.R 2 .h 3 Hính nón 1 2 2 S = π (R + R ).l S = π (R + R ).l +π.R 2 +πR 2 V = .π h (R + R + R .R ) cụt 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 4 Hình cầu S = .4 π.R 2 = π.d 2 V = .π.R3 3 Chứng minh: Định lý hàm số Sin và Cos trong tam giác. 1. Cho ABC có AB = c, AC = b, BAˆC = α . Tính cạnh BC theo b, c và α . Giải Trong tam giác vuông HBC, ta có: BC 2 = CH 2 + BH 2 (1) Trong tam giác vuông ACH, ta có: CH 2 = AC 2 – AH 2 Thay BH = |AB – AH| (Xét cà 2 trường hợp góc B nhỏ hơn và lớn hơn 90 0), ta được: BH 2 = |AB – AH| 2 = AB 2 + AH 2 – 2AB.AH (3) Từ (1), (2) và (3) ta đươc: BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB.AH = AB 2 + AC 2 – 2AB.AC.CosA Hay: BC = b 2 + c 2 – 2bcCos α 2. Cho ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Nội tiếp (O;R). Chứng minh rằng: a = 2R nếu Aˆ là góc nhọn.w SinA Trang 66 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II Giải b, )Ta có: ) ) ) BAC = BDC ⇒ sin BAC = sin BDC ) BC a Mà: sin BDC = = BD 2R ) a ⇒ sin BAC = 2R a Nên: = 2R SinA ⇒ Điều phải chứng minh. 1. Bài tập trắc nghiệm: Giúp chúng ta nắm bắt và vận dụng tốt các công thức. Những bài tập nhỏ này cần áp dụng một công thức, bấm máy tính thật nhanh là ra luôn kết quả. 1. Tính số đo các góc của ABC biết rằng: 21Aˆ =14Bˆ = 6Cˆ . Số đo của các góc A, B, C lần lượt là: a, 30, 60, 90 b, 40, 60, 140 c, 30, 45, 105 d, 40, 75, 90 2. Cho ABC có: Bˆ = 82,35°;Cˆ = 57°18' và a + b + c = 58 (cm). Độ dài mỗi cạnh của là: a, 14; 24; 20 b, 7,85; 9,24; 24,91 c, 15,14; 23,18; 19,68 d, 5; 10; 15 3. Cho tam giác ABC có 3 cạnh là: a = 8,32; b = 7,61; c = 6,95. Số đo góc A bằng độ, phút, giây là: a, 45 025’35” b, 69 031 ’50” c, 69 031’49” d, 96 024’64” 4. Cho tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3 4 (cm) và 4 3 (cm). Bình phương độ dài các đường trung tuyến của là: a, 0,726 (cm) b, 1,063 (cm) c, 4,252 (cm) d, 0,532 (cm) 5. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 6 (cm), AC = 12 (cm), BC = 16 (cm). Độ dài đường trung tuyến ứng với góc A là: a, 7,089 (cm) b, 12,063 (cm) c, 4,252 (cm) d, 5,099 (cm) 6. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 15 (cm), BC = 26 (cm). Kẻ đường phân giác trong AI. Độ dài đường phân giác AI là: a, 14,74 (cm) b, 13,25 (cm) c, 12,43 (cm) d, 14,05 (cm) 7. Cho ABC có AB = 6 (cm), AC = 12 (cm), A = 120 0. Kẻ đường phân giác AD của góc A. Độ dài AD là: a, 1,971 (cm) b, 0,972 (cm) c, 2,23 (cm) d, 3,012 (cm) 8. Một tam giác có ba cạnh ứng với độ dài là 30,735 (cm); 40,98 (cm); 51,225 (cm). Diện tích của tam giác đó là: a, 567,45 (cm 2) b, 75,26 (cm 2) c, 629,76 (cm 2) d, 356,76 (cm 2) 9. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Biết AB = 4,5 (cm), AC = 9,6 (cm) và số đo góc A bằng 60 0. Diện tích tam giác là: a, 18,7 (cm 2) b, 20,32 (cm 2) c, 9,64 (cm 2) d, 28,03 (cm 2) 10. Cho ABC có 3 cạnh: a = 15 (cm); b = 13 (cm); c = 12 (cm). Ba đường phân giác trong các 3 cạnh tai A 1, B 1, C 1. Tính diện tích tam giác A 1B1C1. a, 18,53 (cm 2) b, 20,32 (cm 2) c, 10,96 (cm 2) d, 28,03 (cm 2) Trang 67 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam
Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính Casio II 11. Diện tích hình tròn nội tiếp trong tam giác đều có cạnh a = 12,46 (cm) là: a, 40,64 (cm 2) b, 20,32 (cm 2) c, 32,05 (cm 2) d, 74,46 (cm 2) 12. C hu vi hình tròn ngoại tiếp đều có cạnh a = 4,6872 là: ĐS: P = 17 a, 27 (cm) b, 13 (cm) c, 28 (cm) d, 17 (cm) 13. Cho tam giác ABC có chu vi 58 (cm); số đo góc B bằng 58 020’, số đo góc C = 82 035’. Hãy tính độ dài đường cao AH của tam giác đó. 14. Một tam giác có chu vi là 49,49 (cm); các cạnh tỉ lệ 20: 21: 29. Tính khoảng cách tử giao điểm của 3 đường phân giác tới mỗi cạnh của tam giác. a, 7,244 (cm) b, 6,421 (cm) c, 4,242 (cm) d, 5,341 (cm) 15. Cho tam giác ABC có Bˆ =120° , BC = 12 (cm), AB = 6 (cm). Phân giác trong của góc B cắt cạnh AC tại D. Diện tích tam giác ABD là: a, 2,52 (cm 2) b, 12,52 (cm 2) c, 10,96 (cm 2) d, 10,39 (cm 2) 16. Cho một tam giác nội tiếp trong đường tròn. Các đỉnh của tam giác chia đường tròn thành ba cung có độ dài là 3, 4, 5. Diện tích tam giác đó là: a, 3,142 (cm 2) b, 4,315 (cm 2) c, 10,96 (cm 2) d, 8,03 (cm 2) 17. Cho ABC có AB = 6,75 (cm); AC = 8,42 (cm); BC = 10,27 (cm). Các đường phân giác trong của góc A cắt đường thẳng BC ở D. Độ dài đoạn BD là: a, 6,254 (cm) b, 6,421 (cm) c, 4,57 (cm) d, 3,124 (cm) 18. Hình chữ nhật có bình phương độ dài cạnh nhỏ là 2 (cm), và diện tích của hình chữ nhật là 40 (cm 2). Độ dài cạnh còn lại là: a, 20 (cm 2) b, 28,28 (cm 2) c, 10 (cm 2) d, 12,76 (cm 2) 19. Một hình chữ nhật có diện tích 360 m 2. Nếu tăng mỗi cạnh thêm 1 (m) thì diện tích tăng 40 (m 2). Hai kích thướt của hình chữ nhật là: a, 16 (cm); 22,5 (cm) b, 36 (cm); 10 (cm) c, 12 (cm); 30 (cm) d, 15 (cm); 24 20. Diện tích của hình cầu có đường kính d = 12,508 (cm) là: a, 419,5 (cm 2) b, 28,28 (cm 2) c, 42,05 (cm 2) d, 262,71 (cm 2) 21. Bán kính của hình cầu có V = 137,45 cm 3 là: a, 3,2 (cm) b, 4,2 (cm) c, 5,6 (cm) d, 3,1 (cm) 22. Cho ABC vuông tại A quay cạnh AC. Biết BC = 5,025 (cm) và góc B = 68 0. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón được tạo thành là: a, 16 (cm 2) 22,5 (cm 3) b, 29,7 (cm 2)17,3 (cm 3) c, 12,24 (cm 2); 30,4 (cm 3) d, 15 (cm 2); 24 23. Cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh BC. Biết BC + CD = 15,24 (cm) và BC 2 = . Diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ tạo thành lần lượt là: CD 3 a, 875,59 và 1601,28 b, 252,34 và 656,65 c, 234,43 và 1236,23 d, Kết quả khác 24. Cho bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác lần lượt là 5 (m) và 2 (m). Khoảng cách giữa 2 tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác là: a, 3,2 (m) b, 2,236 (cm) c, 5,6 (m) d, 2,236 (m) Trang 68 Biên soạn: Hoàng Hồ Nam