Giáo trình Lôgic mờ và ứng dụng trong hệ thông tin địa lý - Nguyễn Trường Xuân

Nội dung text: Giáo trình Lôgic mờ và ứng dụng trong hệ thông tin địa lý - Nguyễn Trường Xuân

1. LÔGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG TRONG HỆ THÔNG TIN ĐỊA LÝ NGUYỄN TRƯỜNG XUÂN, LÊ VĂN HƯNG, NGUYỄN HOÀNG LONG Trường Đại học Mỏ - Địa chất Tóm tắt: Nhiều đối tượng không gian có các ranh giới không rõ ràng. Trong phân tích không gian, ta cũng thường dùng các khái niệm như “dốc vừa phải”, “rất gần”, ; đây là những khái niệm không rõ ràng, còn gọi là các khái niệm mờ. Việc biểu diễn các đối tượng và phân tích không gian như trên trong hệ thông tin địa lý (GIS) dựa trên lý thuyết tập hợp kinh điển là không còn phù hợp. Lôgic mờ là công cụ quan trọng và được sử dụng rộng rãi nhất để mô hình hóa tính mờ. Bài báo này giới thiệu các khái niệm và nguyên lý cơ bản của lôgic mờ (tính mờ, tập mờ, các dạng hàm liên thuộc, các phép toán trên tập mờ, biến ngôn ngữ và gia tử) cũng như các ứng dụng của nó trong việc biểu diễn các đối tượng có ranh giới không rõ ràng và phân tích không gian mờ trong GIS. 1. Mở đầu Lôgic mờ [5], được phát triển từ lý Nhiều sự vật và hiện tượng thể hiện thuyết tập mờ [4], cho phép các độ thuộc một mức độ nào đó sự không rõ ràng hay mềm dẻo vào các lớp (tập). Thông không chắc chắn và do đó không thể biểu thường, độ thuộc của một phần tử vào diễn được một cách chính xác bằng các một lớp có giá trị nằm trong đoạn [0,1], lớp (tập) kinh điển với ranh giới rõ ràng. với 0 chỉ ra rằng nó hoàn toàn không Trong phân tích che phủ đất, đôi khi thuộc vào lớp và 1 nói rằng nó là thành chúng ta không thể đưa ra các ranh giới viên đầy đủ. Bất kỳ một giá trị nào nằm rõ nét, ví dụ giữa khu vực rừng và đồng giữa 0 và 1 cũng có thể là độ thuộc của cỏ; chỗ nào là nơi đồng cỏ kết thúc và một phần tử vào lớp. Áp dụng lôgic mờ rừng bắt đầu? Nói cách khác, ranh giới cho bài toán xây nhà, ta có thể xem xét này là không rõ ràng hoặc mờ. những vị trí chỉ sai khác so với tiêu chuẩn Trong các ứng dụng thực tế, ta có thể một vài mét và vì vậy không bỏ sót những phải tìm một địa điểm thích hợp để xây vị trí tương đối tốt. nhà. Các tiêu chuẩn cho địa điểm cần tìm Phần còn lại của bài báo được tổ chức có thể được phát biểu như sau. Địa điểm như sau. Phần 2 trình bày các nguyên lý xây nhà cần phải: (1) có độ dốc vừa phải; cơ bản của lôgic mờ. Phần 3 giới thiệu (2) có hướng ưa thích; (3) có độ cao vừa các ứng dụng của lôgic mờ trong biểu phải; (4) gần một hồ nước; (5) xa bãi rác; diễn ranh giới và phân tích không gian và (6) không nằm trong khu vực cấm. Tất mờ trong GIS. Phần 4 kết luận bài báo. cả các điều kiện trên (ngoại trừ điều kiện 2. Lôgic mờ cuối) là không rõ ràng, nhưng giống như 2.1 Tính mờ (fuzziness) cách con người tư duy và phát biểu bằng Trong tư duy và ngôn ngữ của con ngôn ngữ. Với cách tiếp cận kinh điển, người, ta thường sử dụng các khái niệm các điều kiện nói trên sẽ được chuyển không rõ ràng hoặc không chắc chắn gọi thành các lớp rõ, chẳng hạn: (1’) độ dốc là các khái niệm mờ (fuzzy) hơn là ở dưới 10o; (2’) hướng nằm trong góc từ dạng nhị phân như đen/trắng, không/một, 135o đến 225o; (3’) độ cao từ 1.500 mét hay có/không. Theo lý thuyết tập hợp đến 2.000 mét; (4’) trong bán kính 1 km kinh điển, ta có thể định nghĩa rằng nếu từ hồ nước; và (5’) không nằm trong bán nhiệt độ trong ngày từ 38o trở lên thì là kính 2 km từ bãi rác. Nếu có một vị trí ngày nóng. Vậy một ngày có nhiệt độ cao nào đó thỏa mãn tất cả các tiêu chuẩn trên nhất là 37,9o có phải là ngày nóng không? chúng ta sẽ chọn nó. Ngược lại, nếu Theo định nghĩa trên thì ngày đó không không thỏa mãn một trong các điều kiện phải là nóng, nhưng ta cũng không thể nói (ngay cả khi rất gần với ngưỡng yêu cầu), rằng ngày đó là hoàn toàn mát. Bằng một nó cũng sẽ bị loại. cách thích hợp hơn ta có thể nói rằng
2. ngày đó là nóng với mức độ 0,9 (1 là hoàn toàn nóng và 0 là hoàn toàn mát). Như vậy, “nóng” là một khái niệm mờ. thấp trung cao Trong cuộc sống hàng ngày, ta gặp khái bình niệm mờ ở hầu như khắp mọi nơi. Các ví dụ khác về khái niệm mờ là “người cao”, “người trẻ” và “xe đẹp”. 2.2 Tập rõ và tập mờ Hình 1. Hàm liên thuộc của các lớp Một tập hợp theo nghĩa kinh điển, nghĩa là một phần tử hoặc thuộc vào tập Bảng 1. Độ thuộc của ba người hoặc không thuộc vào tập, được gọi là một tập rõ (crisp set). Thấp Trung bình Cao Một tập mờ (fuzzy set) A trên một tập A 0,00 0,60 0,50 vũ trụ X được xác định bằng hàm liên B 0,50 0,60 0,00 thuộc (membership function) C 0,00 0,56 0,53  A : X [0,1], với giá trị  A (x) là độ thuộc của phần tử x vào tập mờ A. Tập vũ Bảng 1 chỉ ra độ thuộc của ba người trụ X luôn là tập rõ. Nếu tập vũ trụ X là vào các lớp. Với cách tiếp cận này, ta có thể biểu diễn tốt hơn rằng A và C có rời rạc và hữu hạn X {x , x , ,x }thì 1 2 n chiều cao gần như nhau và cả hai có độ tập mờ A trên X được biểu diễn bằng thuộc vào lớp trung bình cao hơn so với A A (x1)/ x1 A (x2 )/ x2 A (xn )/ xn các lớp khác. n 2.3 Các dạng hàm liên thuộc hoặc A  (x )/ x , trong đó  (x )  A i i A i Có hai dạng hàm liên thuộc thông i 1 dụng là: (1) hàm liên thuộc tuyến tính và là độ thuộc của x vào A. Nếu tập vũ trụ i (2) hàm liên thuộc dạng sin. Hình 2 minh X là liên tục, thì tập mờ A trên X được họa hàm liên thuộc tuyến tính. Hàm này biểu diễn bằng A  (x)/ x. Chú ý có bốn tham số a, b, c và d xác định hình X A dạng của hàm. Bằng cách chọn các giá trị rằng “/” là ký tự phân cách; , là phù hợp cho chúng, ta có thể có các hàm phép kết hợp; và “+” là phép nối giữa các liên thuộc dạng chữ S (S-shaped), hình thành phần chứ không phải là phép chia, thang, tam giác và dạng chữ L (L- tổng, tích phân và cộng như thông shaped). thường. Ví dụ 1. Giả sử có 3 người A, B và C 0 x a x a với chiều cao tương ứng là 185cm, 165 a x b b a cm và 186cm, ta muốn phân họ vào các A (x) 1 b x c lớp người thấp, trung bình và cao. Nếu sử x d c x d dụng cách phân lớp kinh điển với các c d 1 x d mốc rõ như [120,165] cho lớp người thấp, (165,185] cho lớp trung bình và (185,220] cho lớp cao, thì A sẽ thuộc lớp trung bình, B thuộc lớp thấp và C thuộc lớp cao. Có thể thấy rằng A cao gần bằng B, nhưng họ lại thuộc hai lớp khác nhau. Nếu chọn cách tiếp cận tập mờ, ta có thể định nghĩa ba hàm liên thuộc như Hình 1. Hình 2. Hàm liên thuộc tuyến tính
3. Các phép toán trên tập mờ được định Nếu dạng đường cong là thích hợp nghĩa tương tự như các phép toán trên tập hơn, ta nên chọn hàm liên thuộc dạng sin rõ, bao gồm hợp, giao và bù. (Hình 3). Cũng như với hàm liên thuộc Độ cao của tập mờ A là giá trị độ tuyến tính, ta có thể có hàm liên thuộc thuộc lớn nhất của A, ký hiệu hgt(A). Nếu dạng chữ S, dạng chuông (bell-shaped) và hgt(A) = 1, tập mờ được gọi là chuẩn. Ta dạng chữ L bằng cách chọn các tham số có thể chuẩn hóa một tập mờ bằng cách thích hợp. chia tất cả độ thuộc cho độ cao của nó. Tập mờ A là bao trong (tập con của) 0 x a tập mờ B (viết A  B) nếu 1 x a 1 cos a x b x X, A (x) B (x) . Tập mờ A bao 2 b a A (x) 1 b x c trong tập mờ B nếu đồ thị của A hoàn 1 x c 1 cos c x d toàn được phủ bởi đồ thị của B (Hình 5). 2 d c 0 x d Hình 3. Hàm liên thuộc dạng sin. Hình 5. Bao trong của tập mờ Trường hợp đặc biệt của hàm liên Có nhiều cách xác định phép hợp của thuộc hình chuông là hàm Gauss (Hình 4) hai tập mờ. Sau đây là các phép hợp sinh ra từ hàm mật độ xác suất của phân thông dụng nhất, với mọi x X : phối thường với hai tham số c (giá trị 1.  AB (x) max  A (x), B (x) trung bình) và  (độ lệch chuẩn). Mặc dù 2.  AB (x)  A (x) B (x)  A (x) B (x) xuất phát từ lý thuyết xác xuất, hàm này 3.  (x) min 1, (x)  (x) cũng được sử dụng làm hàm liên thuộc AB A B Phép max được gọi là không tương tập mờ. tác (non-interactive) theo nghĩa độ thuộc của hai tập mờ không tương tác với nhau. (x c)2 2 Cụ thể, một tập mờ có thể hoàn toàn bị bỏ  (x) e 2 A qua trong phép hợp nếu nó bao trong tập còn lại. Hai phép toán còn lại là tương tác do độ thuộc của phép hợp được xác định bởi cả hai độ thuộc thành phần. Hình 6 minh họa phép hợp dạng 1 của các tập mờ thấp và trung bình trong Ví dụ 1. Hình 4. Hàm liên thuộc Gauss 2.4 Phép toán trên tập mờ
4. Khác với các biến thông thường, thường lấy giá trị số, một biến ngôn ngữ (linguistic variable) có giá trị là các từ ngôn ngữ (linguistic term). Chẳng hạn, đối với biến ngôn ngữ “chiều cao”, các giá trị ngôn ngữ của nó có thể là “thấp”, “trung bình” và “cao”. Các giá trị ngôn ngữ thường được biểu diễn bằng một tập Hình 6. Phép hợp tập mờ dạng 1 mờ. Ngữ nghĩa của một từ ngôn ngữ có thể được tăng giảm bằng cách sử dụng Phép giao của hai tập mờ A, B được các từ như very (rất) và somewhat (một tính theo một trong các phép toán sau: chút), như trong các biểu thức “very tall”, 1.  AB (x) min( A (x), B (x)) “somewhat average” Các từ như vậy 2.  AB (x)  A (x) B (x) được gọi là gia tử (hedge). Chúng có thể được biểu diễn bằng các phép toán trên 3.  AB (x) max(0, A (x) B (x) 1) Phép min là không tương tác, hai tập mờ như trong Bảng 2. phép toán còn lại là tương tác. Hình 7 minh họa phép giao dạng 1 của các tập Bảng 2. Gia tử và phép toán. mờ thấp và trung bình. Gia tử Phép toán very 2 very A(x) A(x) somewhat somewhatA(x) A(x) not not( A) (x) A (x) 1 A(x) 3. Ứng dụng lôgic mờ trong GIS 3.1 Biểu diễn các ranh giới mờ Trong ứng dụng thực tế, ta có thể cần xác định những vị trí có độ cao là cao Hình 7. Phép giao tập mờ dạng 1 trong khu vực được bao phủ bởi một bản đồ địa hình. Giả sử độ cao được coi là Phép bù của tập mờ A được xác định: cao khi nó trên 1700 mét. Ta biểu diễn x X, (x) 1  (x) . Hình 8 minh A A các đối tượng cao bằng một tập mờ với họa phần bù của tập mờ trung bình. hàm liên thuộc dạng sin (Hình 9) như sau: 0 x 1700 1 x 1700 cao (x) 1 cos 1700 x 2000 2 300 1 x 2000 Hình 8. Phần bù của tập mờ trung bình 2.5 Biến ngôn ngữ và gia tử
5. Hình 9. Hàm liên thuộc cho độ cao cao + Dùng request trong ArcView GIS Spatial Analyst map calculator (Hình 11). Mô hình số độ cao (DEM) được nhập vào ArcGIS ở dạng lưới ô vuông (raster) ELEVATION. Để chuyển sang mô hình mờ với lưới FELEVATION, ta có thể thực hiện một trong những cách sau: + Dùng ArcInfo GRID (trong phiên bản mới nhất của ArcGIS, ArcInfo được gọi là ArcGIS for Desktop Advanced). Để tính giá trị mờ, ta dùng một AML script (AML là ngôn ngữ macro của ArcGIS) chạy từ ArcInfo GRID với khối DOCELL như sau: /* high elevation docell Hình 11. Sử dụng Map calculator if (elevation le 1700) ~ felevation = 0 if (elevation gt 1700 & ~ Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng công elevation le 2000)~ cụ Fuzzy Membership của ArcGIS 10 felevation=0.5*(1-COS(3.14 ~ như ở mục 3.2. *(elevation - 1700)/300)) Hình 12 và 16 cho thấy kết quả bằng if (elevation gt 2000) ~ felevation = 1 cách tiếp cận mờ và tiếp cận rõ. Ta có thể end thấy rằng bản đồ theo cách tiếp cận mờ Ta cũng có thể sử dụng lệnh GRID CON: thể hiện không gian chi tiết hơn nhiều so /* high elevation với tiếp cận rõ. Nó cũng thể hiện sự thay felevation = con(elevation le ~ đổi dần dần chứ không phải đột ngột tại 1700, 0, elevation gt 1700 & ~ ranh giới của các vùng. elevation le 2000, 0.5*(1- ~ COS(3.14*(elevation -1700)/ ~ 300)),1) + Dùng raster calculator của ArcMap Spatial Analyst (Hình 10). Hình 12. Tiếp cận mờ Hình 10. Sử dụng Raster calculator
6. càng thích hợp. Quá trình này được gọi là mờ hóa (fuzzification). Sau đó, công cụ Fuzzy Overlay được dùng để kết hợp các độ thuộc đã tính bằng cách sử dụng một phép toán mờ và sinh ra tập dữ liệu raster đầu ra. Fuzzy Overlay giúp xác định các ô có độ thuộc cao nhất vào phép kết hợp của tất cả các lớp; trong trường hợp mô hình hóa tính thích hợp, đây là những vị trí thích hợp nhất [3]. Trong mô hình tìm vị trí thích hợp để xây nhà, do độ dốc vừa phải là một trong những tiêu chuẩn, Fuzzy Membership được dùng để chuyển mỗi giá trị độ dốc thành một độ thuộc vào lớp độ dốc vừa phải. Tất cả các tiêu chuẩn còn lại như hướng ưa thích, gần hồ nước, cũng Hình 13. Tiếp cận rõ được mờ hóa tương tự. 3.2 Phân tích không gian mờ Ngoài Fuzzy Gaussian và Fuzzy Do ưu điểm của cách tiếp cận mờ Linear, Fuzzy Membership còn cung cấp trong phân tích không gian, từ ArcGIS các dạng hàm liên thuộc mờ sau: 10, chức năng ArcGIS Spatial Analyst đã + Fuzzy Large và Fuzzy MS Large bổ sung một số công cụ mới để làm việc (Hình 14) được dùng khi giá trị đầu vào với lôgic mờ. Hai công cụ mới hỗ trợ càng lớn thì càng thích hợp. Chúng được thực hiện phân tích chồng xếp mờ cho các xác định dựa trên hai tham số: giá trị bài toán ra quyết định đa tiêu chí là Fuzzy trung bình và độ lệch chuẩn. Trong mô Membership [1] và Fuzzy Overlay [2]. hình thích hợp cho xây nhà, các hàm này Đây là lựa chọn thay thế cho các phương có thể sử dụng cho tiêu chuẩn xa bãi rác. pháp chồng xếp theo trọng số (Weighted Overlay) và tính tổng theo trọng số (Weighted Sum) dựa trên tiếp cận rõ. Các công cụ này đặc biệt có ích cho các bài toán tìm địa điểm (site selection) và mô hình hóa tính thích hợp (suitability modeling). Như trong hầu hết các phân tích chồng xếp, các lớp raster quan trọng được phân lớp lại (reclassify) hoặc được chuyển đổi về cùng một tỉ lệ, sau đó được kết hợp với nhau để xác định vị trí tối ưu cho các đối tượng đang nghiên cứu. Đầu tiên, công cụ Fuzzy Membership Hình 14. Fuzzy Large được dùng để chuyển đổi các dữ liệu đầu vào thành các giá trị độ thuộc nằm trong + Fuzzy Small và Fuzzy MS Small đoạn [0,1] bằng cách sử dụng một hàm (Hình 15) được sử dụng khi giá trị đầu liên thuộc mờ. Các giá trị này thể hiện vào càng nhỏ thì càng thích hợp. Hai hàm mức độ thuộc của mỗi ô trên lưới vào các này được định nghĩa dựa trên giá trị trung lớp, với các giá trị càng gần 1 được coi là bình và độ lệch chuẩn. Trong mô hình
7. thích hợp cho xây nhà, chúng có thể được Sau khi Fuzzy Membership chuyển sử dụng cho tiêu chuẩn gần hồ nước. đổi các dữ liệu đầu vào thành các độ thuộc vào các lớp, Fuzzy Overlay được sử dụng để xác định những ô đáp ứng tốt nhất tất cả các tiêu chuẩn. Trong mô hình thích hợp để xây nhà, ta cần tìm các vị trí thích hợp nhất theo các tiêu chuẩn về độ dốc, hướng, khoảng cách tới hồ nước Fuzzy Overlay kết hợp các dữ liệu raster mờ với nhau bằng cách dùng một trong các kiểu chồng xếp (phép toán mờ) sau: + Fuzzy And trả lại giá trị nhỏ nhất trong tất cả các độ thuộc vào các lớp cho từng ô. Kiểu chồng xếp này hữu ích khi ta muốn xác định giá trị thích hợp nhỏ nhất Hình 15. Fuzzy Small đối với tất cả các tiêu chuẩn. Ví dụ, trong mô hình thích hợp để xây nhà, ta muốn + Fuzzy Near (Hình 16), tương tự như tìm các vị trí có giá trị thích hợp ít nhất là Fuzzy Gaussian, rất hữu ích cho trường 0.8 đối tất cả các tiêu chuẩn; đây là các vị hợp giá trị đầu vào càng gần một giá trị trí tương đối tốt. Fuzzy And sử dụng hàm cụ thể nào đó thì càng tốt. Hàm được xác tính toán sau: định dựa trên hai tham số: giá trị trung fuzzyAndValue = min(arg1, , argn) tâm và độ rộng. Trong mô hình thích hợp + Fuzzy Or trả về giá trị lớn nhất cho xây nhà, nó có thể sử dụng cho tiêu trong tất cả các độ thuộc vào các lớp của chuẩn có hướng ưa thích với hướng chính từng ô. Kiểu chồng xếp này hữu ích khi ta nam (180o) là thích hợp nhất. muốn xác định giá trị thích hợp lớn nhất đối với tất cả các tiêu chuẩn. Ví dụ, trong mô hình thích hợp để xây nhà, ta muốn tìm tất cả các vị trí thỏa mãn hoàn toàn (có giá trị 1) với ít nhất một tiêu chuẩn. Fuzzy Or sử dụng hàm tính toán sau: fuzzyOrValue = max(arg1, , argn) + Fuzzy Product trả về giá trị là tích của tất cả các độ thuộc vào các lớp của từng ô. Kết quả nhận được sẽ bé hơn bất kỳ độ thuộc thành phần nào. Khi có nhiều lớp, giá trị trả về có thể rất nhỏ. Vì vậy, Hình 16. Fuzzy Near Fuzzy Product ít được sử dụng. Fuzzy Product sử dụng hàm tính toán sau: Cú pháp của hàm FuzzyMembership fuzzyProductValue = product(arg1, , như sau: argn) out_raster = FuzzyMembership( in_raster,{fuzzy_function},{hedge}) + Fuzzy Sum sử dụng hàm tính toán: Trong đó, in_raster là tập dữ liệu raster fuzzySumValue = 1 - product(1 - arg1, , 1 - argn) vào, fuzzy_function là hàm liên thuộc Giá trị trả về tăng khi số lớp tăng. Fuzzy mờ sử dụng, hedge (NONE, Sum thường ít được sử dụng. SOMEWHAT, VERY) là gia tử áp dụng + Fuzzy Gamma sử dụng hàm tổng cho hàm liên thuộc và out_raster là tập quát sau: dữ liệu raster ra. µ(x) = (FuzzySum)γ *(FuzzyProduct)1-γ
8. Cụ thể, hàm Fuzzy Gamma được viết như 4. Kết luận sau: Nhiều sự vật và hiện tượng thể hiện ở fuzzyGammaValue = pow(1 - ((1 - arg1) một mức độ nào đó sự không rõ ràng hay * (1 - arg2) * ), Gamma) * không chắc chắn và do đó không thể biểu pow(arg1 * arg2 * , 1 - Gamma) diễn được một cách chính xác bằng các Nếu gamma = 1, kết quả giống như lớp (tập) kinh điển với ranh giới rõ ràng. Fuzzy Sum; nếu gamma = 0, kết quả Các khái niệm như "dốc vừa phải" và "rất giống như Fuzzy Product. Fuzzy Gamma gần", thường được dùng trong phân tích trung hòa xu hướng tăng của Fuzzy Sum không gian, có thể được biểu diễn tốt hơn và xu hướng giảm của Fuzzy Product. Ta bằng tập mờ so với cách phân lớp có thể sử dụng Fuzzy Gamma để trả về có/không. Việc ứng dụng lôgic mờ trong một giá trị lớn hơn Fuzzy Or nhưng bé GIS cho thấy khả năng biểu diễn tốt hơn hơn Fuzzy Sum. Hình 17 cho thấy mối các ranh giới không rõ ràng, đồng thời quan hệ của gamma (γ) đối với Fuzzy cho phép ta thực hiện các bài toán phân Sum, Fuzzy Product, Fuzzy Or và Fuzzy tích không gian đa tiêu chí gần giống như And. cách tư duy của con người. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] ArcGIS Resource Center (2012). How Fuzzy Membership works. Available at 0.0/help/index.html#/How_Fuzzy_Memb ership_works/009z000000rz000000/ [2] ArcGIS Resource Center (2012). How Fuzzy Overlay works. Available at 0.0/help/index.html#/How_Fuzzy_Overla y_works/009z000000s0000000/ [3] ArcGIS Resource Center (2012). Hình 17. Quan hệ giữa Fuzzy Gamma Applying fuzzy logic to overlay rasters. với các kiểu chồng xếp mờ khác 0.0/help/index.html#/Applying_fuzzy_lo Cú pháp của FuzzyOverlay như sau: gic_to_overlay_rasters/009z000000rv000 out_raster = FuzzyOverlay( 000/ in_rasters,{overlay_type},{gamma}) [4] Zadeh, L.A. (1965). Fuzzy sets. Trong đó, in_rasters là danh sách của Information and Control, 8, 338-353. các raster vào, overlay_type là kiểu kết [5] Zadeh, L.A. (1988). Fuzzy logic. hợp (AND, OR, PRODUCT, ), gamma Computer, 21, 83-93. chỉ dùng khi kiểu kết hợp là GAMMA và out_raster là tập dữ liệu raster ra. SUMMARY Fuzzy Logic and its Applications in GIS Nguyễn Trường Xuân, Lê Văn Hưng, Nguyễn Hoàng Long University of Mining and Geology Many spatial features do not have clearly defined boundaries. Also, in spatial analysis, we usually use concepts such as “somewhat steep” and “very close”, which are vague or uncertain, called fuzzy concepts. The representation of such features and spatial analysis involving fuzzy concepts in GIS using the classical set theory are not appropriate. Fuzzy logic is the most important and widely used tool for modeling fuzziness. This paper presents the basic notions and principles of fuzzy logic and its applications to the representation of fuzzy boundaries and fuzzy spatial analysis in GIS.