Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Biến đổi Z

Nội dung text: Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Biến đổi Z

1. Xử lý số tín hiệu Chương 5: Biến đổi Z
2. 1. Biến đổi Z  Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc x(n): X (z) x(n)z n n  Biến đổi Z của một chuỗi rời rạc là hội tụ khi: | X (z) | | x(n)z n | n x(n)z n  Tập hợp các giá trị của z làm cho  n hội tụ được gọi là miền hội tụ (ROC: region of convergence) .
3. 1. Biến đổi Z (tt) VD: Tìm biến đổi Z và ROC của: a. x(n)=[-1, 2, 0, 2, 3] b. x(n)=δ(n) c. x(n)=anu(n) d. x(n)=-anu(-n-1)
4. 1. Biến đổi Z (tt) Giải: a. X (z) x(n)z n 1 2z 1 2z 3 3z 4 , n ROC :z 0 b. X (z) x(n)z n 1.z 0 1, n ROC :z Vậy: x(n)  (n)Z X (z) 1
5. 1. Biến đổi Z (tt) n c. X (z) an z n az 1 n 0 n 0 Để X(z) hội tụ thì: |az-1| |a|. Lúc đó: 1 X (z) Im 1 az 1 ROC Mặt phẳng z n Z 1 Vậy: a u(n) 1 , 1 az Re ROC :| z | | a | a
6. 1. Biến đổi Z (tt) 1 n d. X (z) an z n 1 a 1z n n 0 Để X(z) hội tụ thì: |a-1z|<1 hay |z|<|a|. Lúc đó: 1 1 Im X (z) 1 1 1 1 a z 1 az Mặt phẳng z 1 Vậy: anu( n 1)Z , ROC 1 az 1 Re a ROC :| z | | a |
7. 2. Tính chất của biến đổi Z Z  Giả sử ta đã có: x(n) X (z), ROC Rx x (n)Z X (z), ROC R 1 1 x1 x (n)Z X (z), ROC R 2 2 x2 1. Tính tuyến tính: a x (n) a x (n)Z a X (z) a X (z), ROC R  R 1 1 2 2 1 1 2 2 x1 x2 VD: Tìm biến đổi Z và ROC của n n 1 1 x(n) u(n) u( n 1) 3 2
8. 2. Tính chất của biến đổi Z (tt) 2. Tính trễ x(n n )Z z n0 X (z), ROC R 0 x VD:  (n m)Z z m 3. Nhân cho chuỗi luỹ thừa z n Z z0 x(n) X , ROC | z0 | Rx z0 Ghi chú: Giả sử R x a 1 | z | a 2 thì ROC | z0 | Rx | z0 | a1 | z | | z0 | a2 n VD: Tìm biến đổi Z và ROC của x(n) r cos(0n)u(n), r 0
9. 2. Tính chất của biến đổi Z (tt) 4. Đạo hàm của X(z) dX (z) nx(n)Z z , ROC R dz x 5. Lấy liên hợp của chuỗi phức x*(n)Z X *(z*), ROC R x 6. Đảo thời gian * Z * 1 x ( n) X , ROC 1/ Rx z*
10. 2. Tính chất của biến đổi Z (tt) 7. Tích chập Z x1(n)*x2 (n) X1(z)X 2 (z), ROC Rx  Rx 1 2 VD: Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín hiệu ngõ vào sau: h = [1, 2, -1, 1] x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
11. 3. Tính nhân quả và ổn định 1. Điểm cực và zero: P(z) X (z) Q(z) Điểm zero: các giá trị của z làm cho P(z)=0. Điểm cực: các giá trị của z làm cho Q(z)=0. Ký hiệu:
12. 3. Tính nhân quả và ổn định (tt) 2. Tính nhân quả Im Xét tín hiệu nhân quả có dạng: ROC Mặt phẳng z N x(n) A pnu(n) k 1 k k p1 Re Tín hiệu này có biến đổi Z là: p3 p2 N A X (z) k k 1 1 1 pk z Miền hội tụ: ROC=|z|>|pk|, k=1, ,N Hay: ROC=|z|>max{|p1|, ,|pN|} Vậy: x(n) nhân quả: có ROC nằm ngoài max(p1, ,pN)
13. 3. Tính nhân quả và ổn định (tt) Xét tín hiệu phản nhân quả có dạng Im N n x(n) A p u( n 1) Mặt phẳng z k 1 k k p1 p2 Tín hiệu này có biến đổi Z là: ROC Re N Ak X (z) p3 k 1 1 1 pk z Miền hội tụ: ROC=|z|<|pk|, k=1, ,N Hay: ROC=|z|<min{|p1|, ,|pN|} Vậy x(n) phản nhân quả: có ROC nằm trong min(p1, ,pN)
14. 3. Tính nhân quả và ổn định (tt) VD: Xác định biến đổi Z và miền hội tụ của a. x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n) b. x(n) = (0.8)nu(n) – (1.25)nu(-n – 1 ) c. x(n) = – (0.8)nu(-n-1) + (1.25)nu(n) d. x(n) = – (0.8)nu(- n – 1) – (1.25)nu(-n – 1)
15. 3. Tính nhân quả và ổn định (tt) 3. Tính ổn định: x(n) ổn định ⇔ ROC tương ứng chứa vòng tròn đơn vị. Hệ quả:  Nếu x(n) nhân quả và ổn định: | z | 1 ROC  | pi | 1 | z | max i{| pi |}  Nếu x(n) phản nhân quả và ổn định: | z | 1 ROC  | pi | 1 | z | min i{| pi |}
16. 4. Biến đổi Z ngược  Công thức của biến đổi Z ngược: x(n) X (z)zn 1dz C Trong đó, C là một đường kín trong miền hội tụ của biến đổi Z. Cho những chuỗi thông thường hay các hệ thống LTI, người ta thường dùng các quy trình đơn giản hơn để tìm biến đổi Z ngược.
17. 4. Biến đổi Z ngược (tt) 1. Dùng các tính chất của biến đổi Z và các cặp biến đổi Z thông dụng 1 VD: Tìm biến đổi Z ngược của X (z) , | z | 1/ 2 1 1 1 z 2 2. Dùng khai triển phân số từng phần N(z) N(z) X (z) D(z) (1 p z 1)(1 p z 1) (1 p z 1) 1 2 M  Nếu bậc của N(z)< bậc của D(z): A1 A2 AM X (z) 1 1 1 1 p1z 1 p2 z 1 pM z Với A  1 p z 1 X (z) , i 1, 2, , M i i z pi
18. 4. Biến đổi Z ngược (tt) 1 2z 1 VD: Tìm biến đổi Z ngược của X (z) 1 0.8z 1 4z 2 1 2z 1 0.1 0.9 Giải: X (z) (1 2.4z 1)(1 1.6z 1) 1 2.4z 1 1 1.6z 1 (i) ROC=|z| 2.4: nhân quả. x(n)=0.1(2.4)nu(n)+0.9(-1.6)nu(n) (iii)ROC=1.6<|z|<2.4 x(n)=-0.1(2.4)nu(-n-1)+0.9(-1.6)nu(n)
19. 4. Biến đổi Z ngược (tt)  Nếu bậc của N(z)≥ bậc của D(z): N(z) R(z) Chia đa thức N(z) cho D(z): X (z) Q(z) D(z) D(z)  Q(z) là đa thức nguyên của N(z)/D(z) có thể dễ dàng tìm được biến đổi ngược q(n). 1 Z Q(z) a a z  q(n) a  (n) a  (n 1) 0 1 0 1  R(z) là đa thức dư của phép chia N(z)/D(z).  R(z) có bậc nhỏ hơn D(z).  Biến đổi Z ngược của R(z)/D(z) có thể tìm được như cách ở trên.
20. 4. Biến đổi Z ngược (tt) 3. Phương pháp “Khử - phục hồi”:  Đặt 1 W z X (z) N(z)W(z) D(z)  Khai triển phân số từng phần của W(z) VD: Tìm biến đổi Z ngược của 6 z 5 X (z) , ROC z z 0.5 1 0.25z 2 1 0.5 0.5  Đặt: W(z) 1 0.25z 2 1 0.5z 1 1 0.5z 1 n n w(n) 0.5(0.5) u(n) 0.5( 0.5) u(n)  Mặt khác : X (z) 6 z 5 W(z) 6W(z) z 5W(z) x(n) 6w(n) w(n 5)
21. 5. Phổ tần số  Công thức biến đổi DTFT: X () x(n)e jn n  Công thức biến đổi Z: X (z) x(n)z n n X () x(n)e jn X (z)  Nhận xét: n z e j ⇒ Biến đổi DTFT chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị (z=ejw).
22. 5. Phổ tần số (tt)  Tính chất của biến đổi DTFT: tương tự như tính chất của biến đổi Z. 1. Tuyến tính: ax(n) by(n)DTFT aX () bY() DTFT jnd 2. Trễ: x(n nd ) e X () 3. Điều chế: j0n DTFT e x(n) X ( 0 ) DTFT 4. Đảo thời gian: x( n) X ( ) dX () 5. Vi phân: nx(n)DTFT j d 6. Tích chập: x(n)* y(n)DTFT X ()Y() 1 7. Định lý Parseval: | x(n) |2 | X () |2 d n 2 1 x(n)y* (n) X ()Y * ()d n 2
23. 5. Phổ tần số (tt)  Phổ tần số tuần hoàn với chu kỳ 2π X ( k2 ) x(n)e jne j2 k X () n  Khoảng Nyquist: -π≤ω≤π  Chia thành các miền tần số thấp, trung bình và cao: π/2 MEDIUM High Medium low Medium High HIGH LOW π 0 -π -3π/4 -π/4 0 π/4 3π/4 π MEDIUM -π/2
24. 5. Phổ tần số (tt)  Phổ biên độ của X(ω): Xét một biến đổi Z đơn giản có 1 cực và 1 zero. 1 1 z1z z z1 X (z) 1 1 p1z z p1  Phổ tần số: e j z X () X (z) 1 z e j j e p1  Phổ biên độ: e j z X () 1 j e p1
25. e j z X () 1 5. Phổ tần số (tt) j e p1 |z-p1| ejω |z-z | 1 |X(ω)| pole p1 z 1 ω1 zero φ1 1 0 0 φ1 ω1 ω jw  Nhận xét: Khi e z1: |X(w)| giảm. jw Khi e p1: |X(w)| tăng.
26. BÀI TẬP  Bài 5.1-5.9